1.第八节导数的概念与运算 【热点】导数是高中数学的重要内容。 导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，无论是研究函数的性质还是解决证明问题和不等式方程。 导数在求根或求解曲线的切线问题中起着非常重要的作用。 因此，近年来的高考题型中，衍生品的考试逐渐加强，出题数量和难度都有很大提高。 一大进步，全国高考卷子里都有衍生品题了。衍生品的考试形式多种多样，有难的，也有简单的。 它们可以出现在多项选择题和填空题中。 主要考察导数的运算、导数的几何意义、导数的应用（主要研究单调性、极值和最大值等）； 它也可以出现在解决问题中，有时作为结局问题。 这时主要考的是导数的综合应用，往往与函数、方程、数列、解有关。
2.解析几何等联系在一起。 【基础知识】 1.利用定义求函数的导数。 (1)求函数的变化量y； (2)求平均变化率； (3) 取极限，得到导数(x0)=。 2、导数 几何意义和物理意义 几何意义：曲线f(x)在某一点(x0,y0)的导数是通过该点(x0,y0)的切线的斜率。 物理意义：如果物体的运动方程为s=s(t)，则P点(i0,s(t0))处的导数的意义就是t=t0时的瞬时速度。 3 常见基本初等函数的导数公式及常用导数计算公式：（C为常数）；，nN+；；； ; 。 规则一（和差的导数等于导数的和差） 规则二（领先领先不领先于领先，落后领先不领先领先于领先高中物理导数，有加号中间的符号）规则3（分母的平方一定要记住，上领先和下领先不领先）领先，下领先不领先，中间有一个减号）4中这对
3、理解导数概念时，要特别注意 和 的区别，它代表函数在 处的导数值，不一定为0； 它是函数值的导数，而函数值是常数，它的导数必须为0，即=0。 【课前训练】1（2006四川卷）曲线在一点的切线方程为（）（A）（B）（C）（D）2 切线上斜率等于1的直线A曲线y=x3的直线不存在B存在，C只有一个，D恰好有两个，但数量不确定。 3 曲线 y=x3+x2 在 P0 点的切线与直线 y=4x1 平行，则 P0 的坐标为 () A.(1,0) B.(1,0) 或 (1, 4) C.(1,0)或(1,4) D.(1,4)4某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），则其在t2s时的速度为5。两条曲线 y
4、=x2+1与y=3x2交点处两条切线夹角的正切值为。 【试题分析】 【例1】有两个点A(4, 0)，B(2, 4)。 求：（1）割线AB的斜率kAB和直线AB的方程； (2) 曲线AB上是否存在C点，使得过C点的切线与直线AB平行？ 如果存在，求C点坐标； 如果不存在，请说明原因。 【例2】已知函数在处的导数值与函数值相反，求该值。分析可以先求函数的导函数，然后根据条件建立相关方程来解决它。 点评 衍生品的运行是衍生品应用的前提。 因此，应熟练掌握导数的运算规则和常用函数的求导公式。 近年来的高考题中，等函数的导数考得比较频繁，所以应该掌握与这两个函数相关的导数运算。 [实施例3]已
5.了解曲线。 (1)求曲线在一点处的正切方程； (2)求通过该点的曲线的正切方程。 分析“通过该点的曲线的切线”和“曲线在该点的切线方程”是有区别的：在通过点的切线上，该点不一定是切点； 在该点的切线上，该点就是切点。 说明 (1)求函数图上某点的切线方程的关键是确定该点切线的斜率。 由导数的几何意义可知。 因此，当存在时，切线方程就是求曲线的切线。 注意“过点的点”“切线”和“一点处的切线”的区别。 对于穿过一点的切线，该点不一定是切点，也不一定是已知曲线上的点； 对于一点的切线，该点是切点。 (2)要准确理解曲线切线的概念。 例如，直线和曲线之间的公共点的数量并不是切线的本质特征。 一方面，直线和曲线只有一个共同点。 直线是曲线的切线。 例如：抛物线及其抛物线的对称轴。 有且只有一个
6.交点，但对称轴不是抛物线的切线； 另一方面，直线是曲线的切线。 直线和曲线只有一个共同点。 例如，在这道题中，曲线和它的切线有两个公共点。 另一个例子是曲线和它的切线有两个公共点。 公众号无数！ 曲线可能不在其切线的“同一侧”。 例如，虽然一条直线“穿过”曲线，但它是曲线在点(0,0)处的切线。 （3）要深刻理解切线定义中运动变化的思想：两个不同的公共点，两个公共点无限接近，这两个公共点重合（切线点）； 正割切线。 【例4】曲线y=x3x上有两个点O(0,0)和A(2,6)。 求圆弧OA上点P的坐标，使AOP的面积最大化。 本题分析主要考查数字与形状结合的数学思想以及导数的几何意义。 自 |OA| 为固定值，如果将点 P 的位置转换为与曲线 y=x3x 相切且平行于 OA 的位置，则该点
7. P 到 |OA| 的距离是最大的; 您还可以设置一个点并构造一个目标函数来找到最大值。 点评：利用导数求曲线的正切方程几乎是每年新课高考的必修部分。 它可能出现在选题、填空题中，也可能出现在答题中。 在这类问题中物理资源网，导数的任务是求其切线的斜率。 这类题的核心部分是考察函数的思维方法和解析几何的基本思想。 【例5】若直线y=3x+1是曲线y=x3a的切线，求实数a的值。 [例6] 给定抛物线，或者，如果直线也是和的正切，则称其为和的公切线。 ，公切线上两切点之间的线段称为公切线段。 (1) 总和只有一条公切线时的值是多少？ 写出该公切线的方程； (2) 若 和 有两条公切线，则证明对应的两条公切线段互相平分。分别分析并求出曲线和的正切方程，有
8、由于存在且只有一条公切线，我们可以列出方程组，求解数值，得到公切线方程； 而对于证明对应的两条公共切线段互相平分的问题，我们只需要证明这两条切线的中点是同一个点即可。 点评：可以利用导数求出曲线的正切方程。 由于函数的导数表示的是曲线在该点处的切线的斜率，因此可以求出曲线在该点处的切线方程如下 求得：首先求函数在 处的导数，即曲线在该点的切线的斜率； 其次，在已知切点坐标和切线斜率的情况下求切线方程； 如果该点处的曲线切线平行于轴上时（此时导数不存在），由切线的定义可知，切线的方程为 。 【练习】1y=ln高中物理导数，则y等于()。 B.-x CD 2 已知f(x)=sinx ，则f(1)=( )A .+cos1 B. s
9. in1+cos1 C. sin1-cos1 D.sin1+cos13 (2006安徽卷) 若曲线的切线垂直于直线，则方程为 A BC D4 在曲线的切线上 y=x3 +3x2+6x10，斜率最小正切方程为() A.3x+y10=0B.3xy11=0C.x=1D。 5(2006国二)过点(1, 0)的抛物线不存在切线，则其中一条切线为 ( A) (B) (C) (D) 6 (福建卷2006)则为已知直线与抛物线相切，则曲线7（湖南卷2006）及其交点的两条切线以轴为界。 三角形面积为0.8（2006年湖北卷）。 半径为r的圆面积为S(r)r2，周长为C(r)=2r。 若将r视为(0,)上的变量，则(r2)
10. 2r (1) 式(1)用语言可以描述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。 对于半径为R的球，若将R视为(0,)上的变量，请写出类似于(1)的公式： (2) 式(2)可用语言描述为： 。 9（2004年高考重庆试卷）给定曲线，求过点P(2, 4)的切线方程。 10 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=2x21相切，求点P坐标的方程。 第8节参考答案【课前训练】1答案：D 分析：曲线，导数，该点切线的斜率为，故切线方程为，选D.2 答案：C3 答案：B4 答案：20m / s5答案：【试题精解析】【例1】解：（1）kAB=2，y=2（x4） 割线AB所在直线的方程为2x+y8=0。 (2)=2x+4, 2x+4=2, 得
11.x=3，y=32+34=3。 C点坐标为(3, 3)，切线方程为2x+y9=0。 【例2】解：、so、and，根据题意Get，即得到。 【例3】解： (1) 切线的斜率为 ，故曲线的切线方程为 (2) 假设曲线与过该点的切线与该点相切，则正切 为 ，切线方程为 ，因为该点在切线上，所以解为 或，所以切线的方程为： 或 [例 4] 解： 解 1 因为 kOA=3，所以斜率圆弧OA上通过点P的直线的k=kOA=3。 所以k=y=3x21=3。 所以 3x2=4。 所以 x= 或 x= （丢弃）。 所以x=,y=，即P(,)。 解2：假设P(a, a3a) , O(0,0), A(2,6)，直线OA的方程为3xy=0。 点P到它的距离为d=|a34a|,0
12、a2,4aa3.d=(4aa3).(d)=(43a2)，令43a2=0，得到a=或a=.0a2，当x=a=时取最大值，此时y=( )3 =.P(,)。 【例5】 解：假设切点为P(x0,y0)，y=x3a的导数为=3x2，3x02=3.x0=1。 (1)当x=1时，P(x0,y0)在y=3x+1，y=31+1=4上，即P(1,4)。 并且 P(1,4) 也在 y=x3a, 4=13a.a =3 上。 (2) 当x=1时，P(x0,y0)在y=3x+1，y=3(1)+1=2上，即P(1,2)。 同样 P(1, 2) 同样在 y=x3a, 2=(1)3a.a=1 上。 由上式可知，实数a的值为3或1。 【例6】解：（1）函数的导数为，曲线在点处的切线
13、方程为：，即函数的导数为，曲线在该点的切线方程为：，即若直线是经过该点的公切线与和，则它们都是直线方程，所以有一个消去方程，由 ，我们得到。 此时，积分之和是一致的。 因此，此时sum有且只有一条公切线。 该公切线的方程为。 (2) 由(1)可知，此时sum有两条公切线。 设其中一条公切线为 和 上的切点分别为 ，则公切线段的中点相同。 可以证明，另一条公切线段的中点也是，所以公切线段 和 互相平分。 【练习题】1 答案：D2 答案：B3 解：垂直于直线的直线为，即某点的导数为4，并且，所以(1, 1)处的导数为4，且此时的切线为 ，所以选A4 分析：本题考查导数和普通函数导数的几何意义。 答案：B 分析：y=3x2+6x+6=3(x+1)2+3。 当x=1时，y
14. 分钟=3，y=1+3610=14。 斜率为3，过点(1, 14)的直线方程为y+14=3(x+1)，即3xy11=0.5 解：，设切点坐标为，那么切线的斜率为2，切线方程为，因为点(1, 0)在切线上，所以可以解为0或4，可以验证代入是正确的。 选择D6进行分析：直线与抛物线相切。 将y=x1代入抛物线方程可得，a=7。 分析：曲线及其交点的坐标为(1, 1)，两个切线方程为y=x+2。 且y=2x1，它们与轴围成的三角形面积为.8 解：V球体，可填入公式（2）。用语言描述为“体积函数的导数”球体等于球体的表面积函数。” 9 解：P(2, 4) 在曲线上。 当切点为P(2, 4)时，过点P(2, 4)的切线方程为： 当切点不是 P (2, 4) 时，设切点为 ，则 ， ， ， 即 ， ，即切点为 ， 过点 P (2 , 4) 是。 综上，可得经过点P(2,4)的切线方程为 或 .10 解：(方法一)设P(x0,y0)。 从题中我们知道曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1x02，而这条直线与曲线y=2x21相切，且切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2x02=0 = (2x02)=0的判别式。 解为x0=,y0=。 点P的坐标为（，）或（，）（方法2）设，分别为切线的切点和曲线的和。 那么，通过消元法，P点的坐标为(,)或(,)。