什么是抛物线？ 这真的是弹丸的轨迹吗？ 本文简要介绍了抛物线的数学背景，并重点介绍了其在物理学中的应用。
01
抛射运动轨迹
抛物线的字面意思很简单：当一个物体被抛出时，它在空气中画出一条曲线。 学过高中物理的人都知道，抛射体在水平和垂直方向上分别以匀速和加速度运动。
假设其初速度
对角向上，与水平方向的夹角为
，但
消除时间
获取其图像和功能的形式为
图像是一致的。 因此，人们把(1)形式的二次函数的曲线称为抛物线。
02
抛物线的定义
作为平面曲线，抛物线可以通过多种方式定义。
第一个也是在高中数学中定义的，涉及一条直线（准线）和一个不在直线上的点（焦点），一个与准线和焦点在它们确定的平面上等距的点。 轨迹是抛物线。
另一个定义与圆锥相关，因此称为圆锥曲线。 作为圆锥曲线的一种，它与椭圆（包括圆）和双曲线有相同的起源，即某个平面与两个相对圆锥体的曲面的交线。
如下图所示，当一个平面平行于圆锥的任意母线时，它只与其中一个圆锥面相交，交线为抛物线。
下面给出一个简单的推导。
圆锥面
考虑任何通过原点的平面，并根据下式获得两个方程之间的交线方程
取该值与1的关系，我们得到三个不同的圆锥曲线，即
椭圆形
抛物线
双曲线
如果你认为
它是连续变化的，即上面动画中的曲面连续旋转，因此可以认为三个圆锥曲线也是依次相互靠近的。
例如，当旋转平面与圆锥体的母线趋于平行时，交线可以理解为一个椭圆，其长轴（焦点）逐渐延伸（移动）到无限长（远），即抛物线。 换句话说，当椭圆的长轴很长时，沿着长轴一端的部分更接近于抛物线。
上述定义来自古希腊数学家阿波罗尼乌斯。
关于古希腊数学家，大家可能都知道毕达哥拉斯，但是却没有听说过这位数学家。 顺便说一下，阿波罗尼乌斯被公认为古希腊最伟大的三位数学家之一，另外两位是欧几里得和阿基米德。
在他的《论圆锥曲线》一书中，他几乎穷尽了圆锥曲线的性质。 近两千多年来，没有后人插手的余地。 直到17世纪，法国的帕斯卡和笛卡尔才获得新的突破。
从数学上定义圆锥曲线上一点与焦点和准线的距离之比
是偏心率。显然，上面第一个定义是基于
定义抛物线如果
小于或大于 1 分别定义椭圆和双曲线。 在第二个定义中，
正是与
相应地，这两个定义本质上是相同的。
03
抛物线标准方程
如上式(1)所示，
关于
一个变量的二次函数表示
具有对称轴的平面中的抛物线，当
为正（负），则开口向上（向下），其最低（高）点坐标为
虽然这个用二次函数表示的抛物线方程简单实用，但从定义上来说它并不是标准的抛物线方程。
根据抛物线准线和焦点的定义，设准线到焦点的距离为
，以焦点到准线的垂线中点为原点，根据两轴与准线的关系，分别在平行和垂直于准线的方向上画出两条轴
和
通过不同的对应关系，可得到如下四种标准方程。 通过坐标转换，式(1)形式的抛物方程与标准形式可以相互转换。例如，式(1)可以化简为标准形式
通过比较可以看出，只要以抛物线的顶点作为新坐标系的原点，只需进行坐标平移即可得到标准方程。
虽然方程（1）不是标准方程，但其形式给出了数学中最简单的非线性关系。 我们知道
这是一个线性关系。 对于单个自变量，添加二次项使其呈非线性。 因此，抛物线是非线性科学中最原始的数学模型。
04
第一个小测试示例
好了，抛物线的定义和函数形式已经介绍完了。 现在让我们看一个非常有趣的运动学问题。
设一定的宽度为
这条河的流速为
，船在静水中的速度也是
，假设船从左岸出发到右岸，从开始到到达对岸，船头始终指向对岸的某个点。
，求船舶的轨迹。
如上图所示，水流的速度
轴负方向，
和
分别代表水的速度和静水中船的速度。
总是指向
观点，
是船相对于岸的速度。
假设船在河里的某个地方。 这时，它和
连接线的点和
轴之间的角度为
，那么此时船舶相对于岸边的速度的正交分量为 假设下游有一座桥梁，
该点到这座桥的距离是
，那么任意时刻船到桥的距离就是速度
沿船头方向投影，得到该方向船舶的速度，即船舶任意时刻到达时的速度
点之间的距离在这个问题中是由于
， 所以
，这完全符合抛物线的定义。 桥的位置就是抛物线的准线，
点就是焦点，船沿着这条抛物线航行，以目的地为原点。 该抛物线的函数表达式为
05
抛物线的两个性质
抛物线的性质非常丰富。 上面提到的阿波罗尼乌斯已经深入探讨过，我就不一一列举了。 这里我只讲一下它们的两个属性。
性质1.抛物线在几何上都是相似的，即不同的抛物线通过平移和缩放总是可以重合的。
这可能看起来违反直觉，但这是事实！ 只要两个函数以相同的方向打开，您始终可以适当缩放其中一个函数以使其与另一个函数一致。 简单证明如下。
有两条抛物线，分别在坐标系中
和
首先对抛物线进行坐标平移，得到两者的标准方程：
会再次
抛物线绕原点逆时针旋转
，最后对其进行相似变换，即令
和
坐标全部缩放到原来的
次，两步变换如下
这使得替换
必须
，和
系统中抛物线的表达式完全一致，因此证明两者相似。
事实上，没有必要这样证明抛物线的相似性。 由于抛物线的偏心率为 1，因此所有抛物线必须相似。
性质2、抛物线上任意一点的连线与经过该点且平行于对称轴的直线所成的角平分线就是该点的法线方向。
抛物线如下图
，AB是过C点的抛物线的切线，CD平行于
轴，那么这个属性意味着：
。
有很多方法可以证明这个命题。 最直接的数学方法是通过解析几何求出直线AB的方程，求出它与直线CF的夹角高中物理刀，并证明这个夹角的正切等于它的斜率。
也可以根据几何光学来证明。 假设CD是光FC抛物线反射的光。 证明CD平行于
轴，并根据光路的可逆性，可以得到上述命题。
如下图所示，对于F和D之间的光线，设抛物线上的反射点为
或者
，则对应的光路长度分别为
由抛物线定义，抛物线上任意点到准线的距离等于该点的焦点半径。 因此，根据费马原理：任意两点之间的光程必须取最大值、最小值或常数。 这里应该是最小值。显然，当C在AD的连接线上时，就满足这个要求，所以反射点一定是
， 而不是
。
因此，从焦点出发的光线经抛物线反射后必定平行于对称轴。 根据光路的可逆性，平行于对称轴的光线经过抛物面反射后也必须通过焦点。 命题得到证明。
基于此，我们很自然地想到，如果我们把反光面做成抛物线形状，不就可以达到会聚光线的功能了吗？
是的，这种抛物面就是旋转抛物线。 它是抛物线绕其对称轴旋转时形成的椭圆抛物线。 由于垂直于轴的截面是圆形，所以又称为回转抛物线。例如，函数表示抛物线
大约
由轴旋转形成的抛物面。
通过旋转抛物线，上述结论可以表示为：抛物线可以将平行于对称轴的光线会聚到其焦点，来自焦点光源的光线被抛物线反射并以平行光的形式射出。
这里有一个细节问题。 由于入射光与任意点的法线所确定的平面，即入射面，始终与经过该点的抛物线共面，因此光线不会被反射到其他方向，而始终会聚到焦点。 ，如下所示。
如果根据抛物面制作一个反光盘，并将其面向太阳放置，可以产生如下效果。
说到这里，可能有人会觉得奇怪，既然抛物面具有如此优越的聚光特性，为什么我们在光学中总是谈论球面镜呢？ 而不是抛物面镜？ 难道球面镜的聚光效果更好？
首先要指出的是，球面镜不具有与抛物面镜相同的聚光特性。 因为我们可以证明，任何能够实现聚光的曲面一定是抛物面。
如上图所示，有任意两条平行线
轴射线
和
，当存在时
时间，如果一定有的话
，证明了上述结论。
简单证明如下。
取决于
， 因此，如果
和
被视为从无穷远点发出的光，它在焦点处成像。 根据物体和图像之间的光程相等，必须将上述两个方程相减才能得到命题。
尽管抛物面具有出色的聚光特性，但它们有两个弱点。 一方面，抛物面镜比球面镜更难加工。 另一方面，抛物线只能将光线聚焦到平行于轴的方向。 对于平行光方向不断变化的情况，需要不断调整抛物线的方向。
对于球面镜来说，虽然光线集中度确实不太好，但通过将光线限制在近轴范围内，通过多个反射镜的作用，可以获得更好的效果。
至此，读者应该基本明白为什么中国贵州建造的被誉为中国天眼的射电望远镜FAST采用球面而不是抛物面了。 那个直径500m的大锅如何移动？ 它太大了，无法经常调整方向。
但是，如果集中的不是反射光而是折射光，那么什么样的曲面才是理想的呢？ 答案是称为笛卡尔椭圆面的四元曲面，但它也存在加工极其困难的问题，实际意义不大。 因此，折射光成像主要依靠球面透镜。
06
重力和抛物线
让我们回顾一下牛顿力学中的抛物线。 正如第一节提到的，在重力场中，抛射体的轨迹函数是二次函数。 正是由于这个原因，我们将（1）形式的函数对应的曲线称为抛物线。
但问题是真实的引力场并不均匀。 如果不考虑地球自转的影响，抛射物仅受地球引力场的影响。 它类似于点电荷的电场并且具有球对称性。
如果我们准确地考虑这种情况，那么弹丸在大范围内飞行（小范围内引力场的不均匀性可以忽略不计）的轨迹是否还是抛物线呢？
我们知道，与椭圆不同，抛物线是无界的，因此它描绘的运动范围是无限的。 换句话说，抛物线运动的物体如果没有碰到障碍物而被迫停止，它就会运动到无穷远！
然而，根据能量守恒定律，上述结论显然是有问题的。考虑地球上的扁平物体
，如果初速度
在不超过第二宇宙速度的情况下，其初始能量必须为负值。 假设它的轨迹是抛物线，它可以毫无阻碍地飞到无穷远点。 此时，其势能趋近于零，其动能不能为负，因此总机械能不应小于零。 这显然违反了能量守恒定律。
因此，上述问题的答案是否定的！ 在万有引力这样的平方反比向心力场中，低速抛射体的轨迹不可能是抛物线。
那么，这个轨迹到底是什么？
为了严格求解弹丸的运动轨迹，一般借助能量守恒和角动量守恒对应的运动积分进行计算高中物理刀，轨迹为圆锥曲线。 这就是著名的开普勒问题，这里只给出一个简单的过程。
弹丸所受的力沿地球径向方向，力矩为零，因此弹丸的角动量相对于地心守恒，因此弹丸必须在一个平面内运动。用极坐标坐标系来描述（只是
和
），弹丸动量和能量分别由（2）获得
由(3)式，我们可以将这两个方程相除并分离变量并积分得到符号的定义。
并对 (4) 进行积分，令
，我们可以得到，这就是圆锥曲线的极坐标方程，
和
分别是曲线的法线焦弦和偏心率。根据上面的面
从定义可以看出，抛射体在引力场中可能有以下三种运动轨迹
椭圆形
抛物线
双曲线
如下图所示，红、绿、蓝色曲线分别对应椭圆、抛物线、双曲线三个开普勒轨道。
现在我们可以回答前面的问题了：低速弹丸如果不受阻碍，它的弹道是椭圆！
也就是说，我随手扔出的那块石头，如果不是被这该死的地面挡住了，它就会一直向下飞，绕着一个超长扁的椭圆形飞去。 过了很长一段时间，它就会再次从我身边消失。 地面再次飞了起来。
等待！ 这是怎么回事？ 抛物线在哪里？ 抛物线真的不存在吗？
举例来说，如果你以第二宇宙速度（约 11.2 公里/秒）扔一块石头，它会以抛物线运动并且永远不会回来。
但对于一般的弹丸来说，严格来说，它的轨迹并不是抛物线，而是椭圆的一部分。
换句话说，如果你认为“抛物线”这个词指的是方程（1）形状的函数表示的曲线，那么弹丸的轨迹就不是抛物线，而是更接近于椭圆。
但弹丸原本很窄的椭圆轨迹有一部分几乎与抛物线一样，如上图所示。 正如前面在谈论圆锥曲线的定义时提到的，抛物线可以被视为具有沿着长轴一端的非常长的长轴的椭圆的局部近似。
07
地球自转对抛射体的影响
如果考虑地球自转，会对抛射体的运动轨迹产生什么影响？
要回答这个问题，首先要明确你在观察什么，即你的参照系是什么？
如果从地心观察，其轨迹仍与上述结论相同。
但如果在地面上观察，由于地面是非惯性系统，弹丸在运动过程中会受到科里奥利力的影响。 具体来说，北半球的物体会向右偏转，南半球则相反。
因此，如果弹丸在空中长时间飞行，其轨迹对于地面观察者来说并不是平面曲线，而是像傅科摆一样，转动一个角度，形成空间曲线。
如上所述，真正的抛物线运动实际上并不是100%完美的抛物线。 它包括两个“破坏性”因素： 1、根据平方反比引力定律，小于第二宇宙速度的抛射体的真实轨迹是椭圆。 ; 2、地面参考系是旋转参考系，运动物体受到科里奥利力，会使抛物线发生轻微偏转，成为空间曲线。
然而这两方面的影响其实是非常非常小的。 只要弹丸的运动幅度不是很大，时间不是很长，其轨迹与完美抛物线的差别几乎是看不见的。 因此，我们可以安全地使用抛物线来描述地球上的抛射运动。
08
抛物线飞行
目前，人类在地球上能经历的最大抛物线运动是多少？ 我想这应该是飞机的抛物线飞行，一个令人着迷的太空娱乐项目，为乘客提供失重的飞行体验。
我们知道，只要你在地球表面附近，你就会受到重力的影响，而且这种力是无法消失的。 所以失重意味着别的东西：你失去了重力感。 例如，你所站立的地面不再需要支撑你，你感觉脚下很轻。
创造这种效果的方法是，你和脚下的地面有一个与重力加速度完全相同的加速度，这样你的所有重力都用来提供加速度，所以不需要其他力来平衡重力，你就会失去重力感。
所谓失重飞行，也叫零重力飞行，是指飞机在飞行时，只提供抵抗空气阻力的动力。 换句话说，飞机只受到重力的影响。 它使乘客做自由落体运动，其加速度与重力加速度一致。 。
友情提示，我这里所说的“自由落体”可能与一些同学心目中的“自由落体”含义略有不同。 中学物理中，一般说“初速度为零的下落物体是自由落体”。 但很多时候，我们也把那些阻力可以忽略不计、只受重力影响的物体称为自由落体。 例如，斜投运动也是自由落体运动。
目前提供这种零重力飞行体验的机构主要有两家：法国太空研究中心CNES旗下的公司（官方网站：）和美国太空探索公司旗下的Zero（官方网站：）。 （空间）。 这里简单介绍一下。
据该公司官网介绍，他们自2015年开始使用空客A310零重力飞机为客人提供零重力飞行服务。这是目前世界上载客量和实验面积最大的零重力飞机。
下图给出了A310零重力单次抛物线飞行的速度、加速度和轨迹时序的基本情况。
零重力飞行的时间就是自由落体的时间。 根据斜投运动，这个时间是由初速度决定的，即
是初速度的大小，
是速度的仰角。图中给出的值为685km/h和
，计算出的时间约为29秒，但标注的数字是22秒。 看起来这种体验确实有猪八戒吃人类水果的感觉，但根据官网介绍，一次飞行包含30次零重力体验。 你仍然可以玩得够多。
从图中可以看到，飞机加速一段时间后，已经飞到了6000m的高度，速度约为820km/h，飞机开始在6000m的高度飞行。
超重飞行20秒后，飞机增益
仰角7600m，速度685km/h。 此时飞行员仅保留部分力量对抗空气阻力，飞机进入失重状态，即开始自由落体。 也就是说，乘客的零重力体验从这一刻开始。 飞机进行倾斜运动并上升到最大高度 8,500m。 此时飞机的速度只有380km/h，飞机的仰角消失。然后开始下降，直到俯角为
当，失重结束。 此时，再次进入超重力飞行20秒后，飞机进入平飞状态，为下一次零重力飞行做准备。
所谓抛物线飞行是指飞机进入
超重拉动开始，直到另一个
俯冲结束时的非水平飞行过程持续了约70秒。 由于相应的轨迹接近于抛物线，所以称为抛物线飞行。
但正如本文前面提到的，飞机失重飞行轨迹的一段应该是椭圆段。 因此，很容易理解，零重力飞行开始和结束时，仰角和俯角分别为
和
，抛物线飞行的轨迹应该各有一个拐点（）。
正是因为这个原因，人们把飞机开始和结束零重力飞行的时刻分别称为拉出，即“注入”和“退出”椭圆轨道的意思，非常形象。
以上是A310零重力抛物线飞行的基本情况。 对于美国的零号来说，他们使用的是经过特殊改装的波音 727 G-FORCE ONE 飞机。 抛物线飞行的基本情况如下图所示。 情况基本类似。 如果您有兴趣，可以查看其官方网站。
09
谐振子模型
抛物线常常可以用来逼近一些复杂函数的局部极小值，即凹区域。 一个典型的例子就是弹簧振子模型的应用。
假设某个一维力具有由以下不规则涨落曲线给出的势能分布。 根据力学中保守力的概念，这个力会有稳定的平衡点，图中数字所标注的位置。 如果系统处于这些位置，它将相对稳定。
该系统与图中的最低点略有偏差。 根据保守力与势能的关系，某一点的负梯度，即图中某一点切线斜率的相反值，就是力。 显然，这些力量总是迫使它回到最低点。 观点。 这看起来很像我们在振动中学到的简谐振动的恢复力，而这个弹力的势具有抛物线的形式，所以我们很自然地可以用抛物线近似来代替这些曲线的凹点。 部分地。 换句话说，我们总是可以认为一条复曲线的最小值对应于某个频率的弹簧振子，因此也对应于某个频率的振动。
人们将这一思想扩展到量子系统，因此谐振器模型被广泛应用于各种微观结构分析。
10
抛物线和非线性
非线性物理学被认为是二十世纪物理学中除相对论和量子力学之外最大的变革。 虽然它仍然遵循经典决定论，但它有助于人类更深入地理解和认识自然。
在讲非线性之前，我们先来了解一下什么是线性。 所谓线性实际上只是一种比例的数量关系，其对应的几何图形是一条直线。 也就是说，如果世界上只有线性关系，就不会有曲线。
所谓非线性英语作文，简单来说，就是指一个系统。 如果其输出与其输入不成比例，则它是非线性的。 例如，当弹簧的位移变得非常大时，胡克定律失效，弹簧变成非线性振荡器。 另一个例子是摆，只有当其角位移很小时，其行为才是线性的。 事实上，客观世界本质上是非线性的，线性只是一种近似。
前面提到，如果我们在线性关系中加上一个二次项，即
最简单的非线性关系构建完毕，曲线出现了！ 通过二次函数，我们可以得到各种非单调波动关系，也就是曲线。 因此，可以说抛物线是构建非线性世界最基本的元素。
非线性关系最令人困惑和最典型的行为是混沌。 它表现为一种对初始值极其敏感并导致不可预测和随机行为的运动行为。
尽管抛物线函数如此简单，但它并不缺乏这种最典型的行为。 代表就是著名的抛物线映射，也叫映射。
映射形式是在哪里
.人们发现，当
当 时，映射具有混沌行为，即初始值非常小的变化就会产生截然不同的结果，如下图所示。
我不会过多讨论抛物线背后的非线性之谜。 推荐一本著名理论物理学家郝柏林先生写的书，叫《从抛物线开始——混沌动力学导论》。
11
后记
抛物线，一条看似简单的曲线，如此受到大自然的喜爱，绝非偶然。 例如，为什么均匀重力场中的平面运动是抛物线？
你可能觉得这个问题很明显，但实际上，它类似于：为什么旋转的抛物线能够聚焦光线？ 这背后有一个深刻的自然规律在起作用。 在数学中，这称为优化。 在物理学中，称为最小作用原理，也称为汉密尔顿原理。
最小作用原理这个吸引了费马、伯努利兄弟、莱布尼茨、欧拉等历史上许多伟大数学家的问题，终于成为物理学的基本原理。 物理学中著名的曲线，如摆线、悬链线、旋转线、测地线、测地线等，都是由它衍生出来的。
有一个有趣的故事。 伯努利家族的头号成员雅各布·伯努利在悬链线问题上浪费了整整一年的时间却没有找到答案。 和伽利略一样，他错误地认为悬链线应该是抛物线。 而他的弟弟约翰·伯努利，也就是伯努利家族最伟大的伯努利之父，仅仅一晚上就解决了这个问题。 此外，他还发现了最陡的下降曲线。
看来，抛物线虽然如此美丽，但我们也不应该过度迷恋它，而应该更深入地探究它背后的决定因素。
结尾
不要错过这个激动人心的视频
首批HEPS直线加速器及传输线磁体工厂验收