1. 三种基本弹性物体 1. 弹簧
1678年，英国物理学家罗伯特·胡克在实验中发现，弹簧的弹力F与弹簧长度的变化成正比，即F=kΔx，其中k为常数，为弹簧的刚度系数。目的。 Δx和F都是矢量，这意味着弹簧在伸长和压缩时会提供两个不同方向的力，因此弹簧可以提供拉力或支撑力。 胡克的工作向人们介绍了弹性物体的实验结果，为材料力学和弹性力学的发展奠定了基础。
胡克之后，又进行了大量的工作不断丰富这一理论： 1、只有当弹簧处于弹性变形范围内时，弹力才与变化量成正比。 当力超过一定值时，弹簧甚至会断裂； 2、许多固体材料在一定的力范围内，其力与变形之间存在线性关系； 3. 此外，还可以绘制材料的力和变形图。 从受力到断裂整个过程的应力应变曲线分为四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、应变硬化阶段和颈缩断裂阶段； 4、在实际工程设计和荷载验证过程中，通常会留有足够的余量，因此材料一般工作在弹性阶段。
2. 杆
棒是上述固体材料的一种表现形式。 就像弹簧一样，它既能提供拉力，又能提供支撑力。 当杆受到这些力的作用时，不可避免地会产生变形，因此拉力和支撑力本质上都是弹性。 杆和弹簧之间的区别在于，当受到与弹簧相同的力时，杆变形很小。 换句话说，杆的“刚度系数”（更准确地称为弹性模量）非常大。 图片上的表现可能是：
另外，杆和弹簧的受力方向也不同。 由杆提供或接收的力可能不是沿着杆的方向。 也就是说，杆不仅能抵抗拉压（沿杆的轴向力）、抵抗弯曲（垂直于杆的径向力），而且还能抵抗扭转。 （绕轴的圆周力）。 当然，高中物理不会考虑畸变。 请记住，作用在杆上的力不一定沿着杆。 实际问题常常涉及将力分解为沿杆的方向和垂直于杆的方向。
3.绳子
绳子是人类的一项伟大发明。 本来就脆弱的麻，捻成绳子后却能承受很大的拉力。 当然，绳索在受到拉力时不可避免地会发生变形。 在一定范围内，变形也可以认为与力的大小成正比。
与杆一样，绳索的“刚度系数”很大，因此绳索受力时变形很小。
与杆不同，绳索只能提供拉力而不能提供支撑力，并且作用在绳索上的力的方向必须沿着绳索。
2. 刚性假设
前面我们提到，杆和绳的“刚度系数”非常大，在力-位移图像中体现为一条斜率非常大的直线。 为了简化问题（并使问题更容易表述），通常假设我们有一根刚性杆和一根刚性绳。 那么，什么是刚性杆和刚性绳呢？ 杆和绳索的刚度假设如何简化问题？ 刚性假设引入了什么样的约束？
经过思考，我认为刚性杆和刚性绳的假设意味着：
“刚度系数”等于无穷大；
受力时，变形量等于0；
杆或绳上的每一点在沿杆或沿绳的方向上具有相同的速度；
如果拉力方向上的力F取为正，则刚性绳相当于一根满足约束F≥0的刚性杆。
补充说明：假设3只是假设速度相等，但加速度不一定相等。 考虑在绳子或杆的牵引下进行圆周运动的情况。 此时，绳索上各点沿绳索方向的速度为0。但是，由于垂直于绳索的方向存在速度，因此沿半径各点的向心加速度是不同的。
在这样的假设下，我们提供给刚性杆和刚性绳的力可以在瞬间发生变化。 这就是力突变的问题。 下图显示了弹簧和绳索提供的力与时间的函数关系：
到目前为止，我们已经介绍了三种基本的弹性物体，并介绍了刚度假设。 刚性杆、刚性绳和弹簧的受力特性总结如下表：
模型的力方向、力类型和力可以变异吗？
刚性杆
不一定沿着杆
能够承受紧张和压力
力量可以变异
刚性绳索
沿着绳子
能承受拉力
力量可以变异
春天
沿着春天
能够承受紧张和压力
力量不能变异
由于刚绳的力必须沿着绳子的方向，并且可以变异，弹簧的力也必须沿着弹簧的方向，并且不能变异，所以它们经常放在一起来分析（chu）和分析（ti）。 我们先来看看绳子和弹簧的突变。 直观的动画：
3. 例题
问题1：球A、B的质量均为m。 初始力是平衡的。 当绳子a突然被切断时，绳子b所受的力是多少？
这个问题的答案在上面的动画中已经给出了。 切断a后，绳子b上的力为0。
但我们还是想用刚度假设来简单推导，建立初始状态下的平衡方程。 我们有
T_{b}=mg\ T_{a}=T_{b}+mg
割断绳子后，在假设条件成立的前提下建立牛顿第二定律方程（以垂直向下为正），有
mg-T_b^{'}=ma_B\ mg+T_b^{'}=ma_A
根据刚绳假设，此时球A和球B都没有水平速度，所以a_A = a_B，所以T_b^{'}=0，满足T_b^{'}geq0的条件，是解到这个方程。
问题2：球A、B、C的质量均为m。 它们最初是平衡的。 如果绳子a突然被切断，求A、B、C的加速度。
与问题1相同的思路，我们建立球A、B、C在初始状态和剪切后状态的方程。
处于平衡状态时有：
T_a = T_b + mg\ T_b = mg + \ = mg
切断绳子 a 后，绳子 b 的力会发生变异，假设力变异为 T_b^{'} （满足约束 T_b^{'}geq0）。 弹簧的力不能突然改变，所以仍然是F_。 球C上的力仍然平衡，加速度为0。
left{begin{array} { c } { { mg } + { T } _ { { b } } ^ { prime } = { ma } _ { { A } } } \ { mg + F _ { text { 炸弹 } } - { T } _ { { b } } ^ { prime } = { ma } _ { { B } } } \ { mg - F _ { 文本 { prime} } = 0 } end{array} left{begin{array}{c} {mg}+{T}_{{b}}^{prime}={ ma}_{{A}} \ 2 m g-{T}_{{b}}^{prime}={ma}_{{B}} end{array}right 。正确的。\
根据刚绳假设，此时球A和球B都没有水平速度高中物理弹簧长度与力，则a_A = a_B，所以T_b^{'}=0.5mg，满足T_b^{'}geq0的条件，为这个方程的解。 所以a_A=a_B=1.5g，a_C=0。
问题3：最初，球在绳索a和b的拉力下保持平衡。 两根绳子之间的角度为θ。 如果绳子a突然被切断，问绳子b的力会发生什么变化。
初始状态下，球A在重力、绳索a的拉力和绳索b的拉力的作用下保持平衡。 切断a绳后，a绳的张力瞬间消失。 因为角度的存在，此时A球无法保持平衡，必须有加速度。 球A加速度的大小和方向与绳索b突变的大小有关。 乍一看，绳子B的力的任何突然变化似乎都是合理的，但无论如何它已经不平衡了。
但根据刚绳假设，球 A 在剪切瞬间的速度为 0，因此做圆周运动所需的向心力为 0，因此绳索 b 方向的加速度（向心加速度）为 0，即即，力沿绳索b的方向施加。 平衡。 鉴于此，我们不妨沿绳子b的方向和垂直于绳子b的方向建立坐标系，分别建立初始状态和绳子a切断后状态的平衡方程和牛顿第二定律方程。
初始状态：
T_b + T_acostheta = mgcosalpha\ T_asintheta = mgsinalpha
剪断绳子后：
mgcosalpha = T_b^{'}\ mgsinalpha = ma
因此，T_b^{'}=T_b+T_acostheta，要分析绳b前后张力的变化，只需看T_acostheta的情况即可。 显然，当theta, 0">T_acostheta>0时，T_acostheta=0，T_b^{'}=T_b；当90^时。">theta>90^。 , T_b^{'};
问题4：球A、B的质量均为m。 它们最初在绳索 a、b 和 c 的张力下保持平衡。 当a突然被切断时，绳索b和c的张力发生变化。
这道题是题1和题3的结合体，高中物理练习册上没有找到。 我不确定正确答案是什么。 下面的解法仍然采用刚性绳的假设，然后得出最终的结论。 如果刚性绳的假设不正确，那么结论也将是错误的。
初始状态：
致A：
(T_c+mg)cosalpha=T_b+T_acostheta\ (T_c+mg)sinalpha=T_asintheta
致乙：
T_c=毫克\
切断绳子a后，沿绳子b方向的力平衡。 原因与问题3相同，垂直于绳索b的方向有加速度：
致A：
(T_c^{'}+mg)cosalpha=T_b^{'}\ (T_c^{'}+mg)sinalpha=ma_A
致乙：
mg-T_c^{'}=ma_B\
对于与绳索c相连的两个球，球A的加速度垂直于绳索b的方向，而球B的加速度只能沿着绳索c的方向。 要使绳索 c 满足刚性绳假设，只能是 a_B=alpha 。
首先确定绳索c的受力变化，即T_c^{'}与T_c之间的关系。
取决于
left{begin{array}{c} T_{c}=mg \ m g-T_{c}^{prime}=m a_{B} \ a_{B}=a_{A} cos alpha end{数组}right.\
必须
T_{c}-T_{c}^{prime}=m a_{A} cos alpha=2 T_{c} sin alpha cos alpha\
所以
T_{c}^{prime}=T_{c}-2 T_{c} sin alpha cos alpha=T_{c}(1-2 sin alpha cos alpha)=T_{c }(1-sin 2 alpha)\
因为 alpha inleft(0^{circ}, 90^{circ}right) ，所以 sin2alpha inleft(0, 1right) ，所以 T_c^{'} ，绳索 c作用在其上的力就变小了。
接下来分析绳子b更复杂的力变化，即T_b^{'}与T_b的关系。
一个已知的
left{begin{array}{c} left(T_{c}^{prime}+mgright) cos alpha=T_{{b}}^{prime} \ left (T_{c}+mgright) cos alpha=T_{b}+T_{a} cos theta end{array}right.\
和
left{begin{array}{c} T_{c}=mg \ T_{c}^{prime}=T_{c}(1-sin 2 alpha) end{array}right .\
所以
left{begin{array}{c} {[mg(1-sin 2 alpha)+mg] cos alpha=T_{{b}}} \ 2 mg cos alpha=T_ {b}+T_{a} cos theta end{array}right.\
所以
T_{{b}}^{prime}-T_{b}=[mg(1-sin 2 alpha)+mg] cos alpha-2 mg cos alpha+T_{a} cos theta=T_{a} cos theta-m g sin 2 alpha cos alpha
因此，绳索b上张力的变化将由θ角和α角的条件决定。 因为 alpha inleft(0^{circ}, 90^{circ}right) ，所以 sin2alpha inleft(0, 1right) ， cosalpha inleft(0 , 1right)，所以 α cosalpha 一定大于 0。此时，绳索 b 的张力保持不变的临界角将不再等于 90 度，而是小于 90 度。
问题5：球通过一根长度为L的绳子悬挂在天花板上，它从高处开始下降。 悬挂点下方L/2处有一钉子。 分析一下，当球在正下方摆动，绳子撞到钉子时，绳子上会发生什么？ 力量的变化。
当球到达最低点时，它有速度v和向心加速度a_n，因为速度不能突然改变高中物理弹簧长度与力，但圆周运动的半径从L变为L/2。 根据
a_{n}=frac{v^{2}}{R}\
此时，向心加速度突然变为之前值的两倍，突变前绳子所受的力为
T=mg+mfrac{v^2}{L}\
突变后绳子上的力为
T^{'}=mg+2mfrac{v^2}{L}\
摆模型张力的补充变化：
初始状态下，球从开始摆动，在任意thetainleft(-,\right)处绘制拉力T的图像。
在处，受力分析为：
T_0=mgcos\
在θ处，力分析为：
T=mgcostheta+mga_n\
向心加速度
a_n=frac{v^2}{L}\
根据机械能守恒定律
mgleft(L cos theta-L cos {0}right)=frac{1}{2} mv^{2}\
结合我们得到的四个方程
T=theta-\
函数图为
4. 展开
第4题本身只是随机抽签。 初衷是想把它结合起来。 突然我意识到这是一个双摆模型。 然后我想起了理论力学课上的场景，想把杆连接的双摆模型的方程放出来。 供大家体验。
约束方程
left{begin{array}{c} x_{1}=l_{1} sin {1} \ y_{1}=-l_{1} cos {1} \ x_{2 }=l_{1} sin {1}+l_{2} sin {2} \ y_{2}=-l_{1} cos {1}-l_{2} cos { 2} end{数组}right.\
速度方程
left{begin{array}{c} dot{x}_{1}=dot{{1}} l_{1} cos {1} \ dot{y}_{1 }=dot{theta}_{1} l_{1} sin {1} \ dot{x}_{2}=dot{theta}_{1} l_{1} cos {1}+dot{theta}_{2} l_{2} cos {2} \ dot{y}_{2}=dot{theta}_{1} l_{1 } sin {1}+dot{{2}} l_{2} sin {2} end{array}right.\
势能方程
V=+\
动能方程
{T}=frac{1}{2} {~m}_{1} {v}_{1}^{2}+frac{1}{2} {~m}_{ 2} {v}_{2}^{2}=frac{1}{2} {~m}_{1}left(dot{{x}}_{1}^{2 }+dot{{y}}_{1}^{2}right)+frac{1}{2} {~m}_{2}left(dot{{x}} _{2}^{2}+dot{{y}}_{2}^{2}right)\
根据拉格朗日方程
frac{d}{dt}left(frac{ L}{ dot{theta}_{i}}right)-frac{ L}{ {i}}=0 L=电视
最终的简化形式为
left{begin{array}{c} left({m}_{1}+{m}_{2}right) l_{1} ddot{theta}_{1}+ {m}_{2} l_{2} ddot{theta}_{2} cos left({1}-{2}right)+{m}_{2} l_{ 2} dot{theta}_{2}^{2} sin left({1}-{2}right)+left({m}_{1}+{m} _{2}right) g sin {1}=0 \ {~m}_{2} l_{1} ddot{theta}_{2}+{m}_{2} l_{1} ddot{theta}_{1} cos left({1}-{2}right)-{m}_{2} l_{1} dot{theta} _{1}^{2} sin left({1}-{2}right)+{m}_{2} g sin {2}=0 end{array}right 。
根据这两个偏微分方程，我们可以积分得到任意时刻和的值，从而知道两个球的位置。 双摆模型的运动大致是这样的：
然而，这两个微分方程受初始值的影响很大。 如果初始值稍有变化，球的最终轨迹就会完全不同。 这类对初始值具有敏感依赖性的系统称为混沌系统。 下面的动画展示了12个双摆系统在不同初始值下的运动。
5. 后记
课堂上，为了便于分析问题，我们接触到了很多理想的物体和状态，包括“同质的、可以抽象为粒子”的小球、“光滑到能产生摩擦力”的块体等。为0”，“受力后不发生变化”发生变形的刚体。 然而，世界上不存在理想的物体，甚至不存在确定的状态。 我们生活的世界本身就是混乱的，我们也是混乱的一部分。 在这个世界上，你现在的每一个小举动，都可能引领你走向不一样的未来。
一想起来，万千河山就起来了。