页码………………………………………………………………名校名师推荐……………………………………………… ……第 1 页 ( 15) 万有引力定律及其应用【A 级 - 做题熟练快速保分】 1.（2018·上海考试）关于万有引力定律，下列哪项表述正确的是( )A。 牛顿提出万有引力定律，并确定了万有引力常数的值 B.万有引力定律只适用于天体之间 C.万有引力的发现揭示了自然界相互作用的基本规律 D.地球作椭圆运动绕太阳公转，太阳在近日点和远日点所施加的引力大小相同。 分析：选C。牛顿提出了万有引力定律，卡文迪什确定了万有引力常数的值。 万有引力定律适用于任何物体。 两者之间，万有引力的发现揭示了自然界的基本相互作用规律。 选项A、B错误，C选项正确。 地球绕太阳公转，太阳引力的大小在近日点和远日点是不同的。 是的，D选项错误。 2、近年来，人类发射的多颗火星探测器陆续登陆火星，令人兴奋的科学研究正在进行中，为我们未来登陆火星、开发利用火星资源奠定了坚实的基础。 如果火星探测器绕火星作“近地”匀速圆周运动，测量到的该运动周期为T，则火星平均密度ρ的表达式为（k为某个常数） ( ) A. ρ =kTB． ρ＝eq f(k,T)C． ρ=kT2 D. ρ＝eq f(k,T2) 分析：选D。当火星探测器绕火星轨道做“近地”匀速圆周运动时，Geq f(Mm,R2)＝meq f( 4π2,T2)R，且M =eq f(4,3)πR3·ρ，可得ρ=eq f(3π,GT2)=eq f(k,T2)，所以只有D是正确的。
★3. （2017·浙江四月精选）如图所示，假设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星本身的半径是火星的n倍，质量是火星的k倍。 不考虑行星自转的影响，则( )A。 金星表面的引力加速度是火星 B 的 eq f(k,n) 倍。金星的“第一宇宙速度”是火星 C 的 eq r(f(k,n)) 倍。金星绕太阳运动的加速度比火星D小。金星绕太阳运动的周期比火星大。 分析：选择B，由Geq f(Mm, R2)=mg，得g=eq f(GM, R2)。 可见eq f(g gold, g fire) = eq f(k,n2)，选项A错误； 由 Geq f(Mm,R2)＝meq f(v2,R)，得 v＝ eq r(f(GM,R))，可见 eq f( v gold, v fire ) = eq r(f(k,n))，选项B正确； 由Geq f(Mm,r2)=ma，我们得到a=eq f(GM,r2)，可见距离越远，加速度越小，而eq f(r3, T2) = c，可见距离越远，周期越大，故C、D选项均错误。 4． [多选]（2016·海南高考）通过观测冥王星的卫星，可以计算出冥王星的质量。 假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常数外，至少还需要两个物理量来计算冥王星的质量。 这两个物理量可以是( )A。 卫星速度和角速度 B. 卫星的质量和轨道半径 C. 卫星的质量和角速度 D. 卫星运行周期和轨道半径分析：选择AD。 根据线速度和角速度，可求出半径r=eq f(v,ω)。 根据万有引力提供的向心力，有eq f(GMm,r2)=meq f (v2,r)，可得M=eq f(v3,Gω)，故选项A正确； 由于卫星的质量m可以减小，选项B、C错误； 如果我们知道卫星的运行周期和轨道半径 ，则由 eq f(GMm,r2)=meq blc(rc)(avs4alco1(f(2π,T) ))2r，得M=eq f(4π2r3,GT2)，故选项D正确。
5.（2018·广州勘测）“嫦娥五号”探测器预计2018年发射，将自动完成月表样本采集，然后从月球起飞返回地球，带回月面样本约2公斤月球样本。 一位学生从上面得到了一些信息。 如表中数据所示，地球与月球的密度之比为 () 地球与月球的半径之比 4 地球表面与月球表面的重力加速度之比 6A 。 eq f(2,3) B. eq f(3,2)C. 4 D． 6 分析：选B。在地球表面，重力等于万有引力，所以mg=Geq f(Mm,R2)。 解为M=eq f(gR2,G)，故地球密度ρ=eq f(M, V)＝eq f(f(gR2,G),f(4,3) πR3)＝eq f(3g,4πGR)。 同理，月球的密度ρ0=eqf(3g0,4πGR0)。 因此，地球和月球的密度之比eq f(ρ,ρ0)=eq f(gR0,g0R)=eq f(3,2),B是正确的。 6、如图所示，取一个半径为R，质量为M的均匀大球，沿直径挖出两个半径为大球一半的小球，将其中一个放在球外，抵住大球。 同时，如果小球的中心、球外的小球的中心和大球的中心在一条直线上，则大球其余部分之间的万有引力大小小球与小球外的小球的质量近似为（已知万有引力常数为G）( )A。 0.01 eq f(GM2,R2) B. 0.02 eq f(GM2,R2)C. 0.05eq f(GM2,R2) D. 0.04eq f(GM2,R2) 分析：选D。由题可知，挖出的球的半径为eq f(R,2)，质量为eq f(M,8)，所以没有挖出来。 小球前面的大球对球外小球的引力大小为 F=Geq f(M×f(M,8),blc(rc) (avs4alco1( R+f(R,2)))2)=eq f(GM2,18R2)，将挖出的其中一个球填入原来的位置，然后填入两个球之间的距离左边原位球和外侧球 万有引力为 F1=Geq f(f(M,8)×f(M,8),?2R?2)=eq f(GM2,256R2) ，将小球原来的位置填入球的右侧和球外 小球的重力为 F2=Geq f(f(M,8)×f(M,8),R2)=等式 f(GM2,64R2)。 大球的剩余部分对球外的小球施加力。 万有引力的大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq f(GM2,R2)。 选项D正确。
7.（2018·盘锦模拟）两颗互不影响的行星P1和P2有一颗近地卫星S1和S2围绕它们做匀速圆周运动。 图中，纵轴表示行星周围空间某一位置的重力加速度a，横轴表示某一位置到行星中心的平方距离r的倒数。 a-eq f(1,r2)关系如图所示。 卫星S1和S2的重力加速度大小为a0。 那么( )A。 S1的质量大于S2 B. P1的质量大于P2 C. P1的第一宇宙速度小于P2 D. P1的平均密度大于P2分析：选B。万有引力为向心力，故Geq f(Mm,r2)=ma。 解为a=GMeq f(1,r2)，所以图像的斜率k=GM，因为G是常数，M代表行星的质量，斜率越大，行星的质量越大。 因此，P1的质量大于P2的质量。 由于计算过程中可以减少卫星的质量，因此无法判断卫星的质量关系。 A错误，B正确； 由于这两颗卫星都是近地卫星，因此它们的轨道半径可以认为等于行星半径。 根据第一宇宙速度公式 v=eq r(gR)，我们可以得到 v=eq r(a0R) ，从标题图可以看出，当两个加速度均为 a0 时，P2 的半径小于P1 的第一宇宙速度大于 P2 的第一宇宙速度，C 错误； 行星密度 ρ = eq f(M ,V)＝eq f(M,f(4,3)πR3)＝eq f(f(a0R2,G),f(4,3 )πR3)＝eq f(3a0,4πGR) ，因此行星半径越大，密度越小，因此P1的平均密度比P2的平均密度小，D误差。
8、如图所示，A、B是两颗绕地球匀速圆周运动的卫星。 同等时间内两颗卫星A、B的连线与地心所扫过的面积之比为k，不包括A、B。两颗卫星之间的引力，则两颗卫星的周期之比卫星 A 和 B 是 ( )A。 k3 B． k2C。 kD． keq f(2,3) 分析：选择A，假设卫星绕地球做圆周运动的半径为r，周期为T万有引力定律及其应用，则t时间内与地心连线所扫过的面积则 S=eq f(t ,T)πr2，即 eq f (SA, SB) = eq f (rA2TB, rB2TA) = k。 根据开普勒第三定律 eq f (rA3, TA2) = eq f (rB3, TB2 )，联立解为 eq f (TA, TB) = k3，A 正确。 9.（2018·宝鸡一墨）宇航员在某颗行星上进行了如下实验，检测其自转周期：在该行星的两极，用弹簧秤测量质量为F的重物的重力，当在赤道处测量，重量施加的重力为F'。 他还发现探测器绕行星表面做匀速圆周运动的周期为T。假设行星可以看成一个质量分布均匀的球体，则它的自转周期为( )A。 Teq r(avs4al(f(F′,F))) B. Teq r(f(F,F′))C． T eq r(avs4al(f(F－F′,F))) D. T eq r(f(F,FF′)) 分析：选D，假设质量行星和探测器在两极分别为 m 和 m′，有： Geq f(Mm,R2)=F，在赤道有： Geq f(Mm,R2)-F′=MReq f( 4π2,T 来自 2)。 探测器绕行星表面匀速圆周运动的周期为T，则有： Geq f(mm ′,R2)=m′ Req f(4π2,T2)； 结合以上三个方程，我们得到 T = Teq r(f(F,FF′))。
因此，D正确，A、B、C错误。 10.（2018·东北三省四市一个模型）开普勒第三定律规定：所有行星轨道半长轴的立方与其公转周期的平方之比相等。 该定律适用于所有具有中心天体的引力系统。 如图所示，嫦娥三号探月卫星绕月球运行一条半径为r、周期为T的圆形轨道I，月球半径为R，引力常数为G。在某一时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道II，降落在月球表面B点。 A、O、B 三点在一条直线上。 求：（1）月球的密度； (2) 进入轨道 II 所需的时间。 分析： (1) 万有引力作为向心力： eq f(GMm,r2)=meq blc(rc)(avs4alco1(f(2π,T)) ))2r ，解为 M=eq f(4π2r3,GT2) 月球的密度： ρ=eq f(M,f(4,3)πR3)，解为 ρ=eq f( 3πr3,GT2R3)。 (2) 椭圆轨道的半长轴：a＝eq f(R+r,2)，假设椭圆轨道的运行周期为T1，根据开普勒第三定律：eq f(a3, T12)＝eq f(r3,T2)，在轨道II上运行的时间为t=eq f(T1,2)，解为t=eq f(?R+r?T,4r) eq r(f(R+r, 2r))。
答案： (1)eq f(3πr3,GT2R3) (2)eq f(?R＋r?T,4r) eq r(f(R＋r,2r))[B级 - 稳定准确地做高题】★11． 已知质量为 m 的物体与北极和赤道静止地面之间的压力差为 ΔN。 假设地球是一个质量分布均匀的球体，半径为R，则地球自转周期为( )A。 T＝2π eq r(f(mR,ΔN)) B. T＝2π eq r(f(ΔN,mR))C. T＝2π eq r(f(mΔN,R)) D. T＝2π eq r(f(R,mΔN)) 分析：选A，在北极，物体所受的万有引力F等于支撑力N。在赤道处，F－N＝ΔN＝mReq blc (rc)(avs4alco1(f(2π,T)))2万有引力定律及其应用，解为 T=2π eq r(f(mR,ΔN))，A 正确。 ★12. （2018·商丘模拟）地质勘探发现某区域地表重力加速度发生明显变化，怀疑地下存在空洞区域。 进一步探测发现，地面P点正下方的球形空腔区域储存有天然气，如图所示。 假设该地区岩石分布均匀，密度为ρ，则天然气的密度远小于ρ，可以忽略不计。 如果没有这样的空腔，则地球表面的法向重力加速度为g； 由于空腔的存在，测得P点重力加速度为kg(k