华东师范大学版2023-2024学年高中生第二学期第五次调查考试数学试题注意事项： 1、考生在领取答卷前必须在试卷、答题卡上填写姓名、准考证号、考场号、座位号。 用2B铅笔在答题卡相应位置填写试卷类型（B）。 将条码粘贴到答题卡右上角的“条码粘贴区”。 2、回答选择题时，选择每道题的答案后，用2B铅笔将答卷上问题选项对应的答案信息点涂黑； 如果您需要进行更改，请用橡皮擦将其擦除，然后选择其他答案。 答案不能写在试卷上。 3、非选择题必须用黑笔或签字笔作答，并将答案写在答卷上每题指定区域的相应位置； 如果需要修改，先划掉原来的答案，然后写出新的答案； 不允许使用铅笔和涂改液。 不符合上述要求的答案将无效。 4、考生必须保持答卷干净、整洁。 考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。 1、选择题：本题共有12题，每题5分，共60分。 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。 1、下图中的图案是中国古代建筑中的装饰图案。 它的形状像铜钱，象征着财富和吉祥。 在圆内随机选取一点，则该点取自阴影区域（阴影区域由四个四分之一圆弧包围）的概率为 () ABC D． 2. 假设命题p:>1,n2>2n，则p 为()ABC D． 3. 复数，如果复数在复平面上的对应点关于虚轴对称，则等于 () ABC D． 4. 已知容差不为0的等差数列前项之和为 , ，且为等比数列，则 () A. 56B。 72C。 88D。 405、如果命题p：从2个正品和2个次品中选择任意2个产品，得到两种正品的概率是三分之一； 命题q：在边长为4的正方形ABCD内选取任意点M，则∠AMB>90°的概率为π8A。 p∧qB。 (∧p)∧qC。 p∧(←q)D． Øq6。 如果数列满足：，则数列前面各项之和为 ABC D． 7. 假设集合，集合，则 = ()ABC D． R8。 在正等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=()A。 2B． 4C. D． 89． 下图是根据民航部门统计的某年春运期间六城市销售的往返机票平均价格（单位元），以及价格变化统计图与去年同期相比。 下列说法不正确的是：( )A. 深圳变化最小，北京平均价格最高 B. 天津往返机票平均价格变化最大 C. 上海与广州往返机票平均价格基本持平 D.与去年同期相比，其中4个城市的往返机票均价上涨了10。已知 、 、 是充分非条件，则取值范围为 () ABC D． 11、已知等差数列前n项之和为，且，则()A。 4B。 8C． 16D。 212. 函数单调递减的充分必要条件是 () ABC D． 2、填空题：本题共有4题，每题5分，共20分。
13、已知在 方向上的投影，则其间的夹角为 0.14。 使用数字,,,,, 组成没有重复数字的自然数。 其中，有_____两个相邻的奇偶校验数不同的数。15． 众所周知，如果函数的不等式对于任何常数都成立，则实数的范围为 0.16。 已知向量满足 , ，则向量间夹角为 。 3.回答问题：总分70分。 答案应包括书面解释、证明过程或计算步骤。 17． （12点）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，平面ABCD与BD交AC于点E，F为线段PC的中点，G为线段PC的中点。线段EC. Ⅰ验证：平面PBD； 二、验证：。 18、（12点）如图所示，是一个正方形，该点在直径为（不重合，）的半圆弧上，即为线段的中点。 现在折叠正方形的边缘使其平坦。 (1) 证明：平面。 (2) 当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值。 19． （12分） 金秋九月，桂花飘香，某大学迎来了一大批优秀学子。 新生接待实际上是一个与社会沟通的平台。 学校团委、学生会从在校学生中随机抽取160名学生，对他们是否愿意参加新生接待进行问卷调查。 统计如下：你愿意吗？ 男生 6020 女生 4040 （1）根据上表，可以有 99% 的把握认为，参加新生接待工作的意愿与性别有关； (2)从参与问卷调查并愿意参与新生接待工作的学生中，按性别分层抽样抽取10人。 如果从这10个人中随机选出3个人去火车站迎接新生，假设这3个人中女生的数量是，写出分布栏并求。 附：，其中。 0.050.010.0013.8416.63510.82820． （12分）在中国，不仅是购物，从共享单车到医院挂号再到公共支付，日常生活的几乎所有领域都支持移动支付。 不带现金外出的人数正在迅速增加。
中国人民大学与法国调查公司益普索合作，对6000名腾讯服务用户进行了调查，随机抽取了60名用户。 他们计算出，外出时随身携带现金（单位：元）。 正如茎叶图所示，规则是：随身携带。 现金在100元以下（不含100元）的为“移动支付用户”，其他为“非移动支付用户”。 （1）根据上述样本数据，完成列联表并确定其置信度有多大。您认为“移动支付人群”与“性别”相关吗？ (2) 使用样本来估计总体。 如果从腾讯服务的用户中随机抽取3名女性用户，这3名用户中“移动支付用户”的数量为，求随机变量的期望和方差； （3）某商场为了推广移动支付，推出了两项优惠计划。 方案一：移动支付每消费1000元，可直接优惠100元； 方案二：移动支付每消费1000元，即可获得2次抽奖。 每次获胜的概率是相同的。 并且每次抽奖之间互不影响。 中奖一次可享受 10% 的折扣，中奖两次可享受 15% 的折扣。 如果您打算使用移动支付购买一款价值1200元的产品，请从实际支付金额的数学预期角度进行分析，选择哪一款。 哪种折扣计划更划算？ 附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82821． (12分) 已知 , 是正数，并证明： (1)； (2).22。 （10分）2018年，山东省高考全面实行“选科”模式（即语文、数学、外语为必修科目，物理、化学其余六科中任意三科、历史、地理、生物、政治都会选考）。 为了了解学生对物理的偏好，某高中从一年级学生中随机抽取了一些人做了一项调查。 统计显示，有的男生喜欢物理，有的男生不喜欢物理； 有些女孩喜欢物理，有些则不喜欢。 有些人喜欢物理。 （1）根据这些信息，我们可以判断“喜欢物理与性别有关”是否存在确定性； （2）为了了解学生选科的理解，年级决定召开学生座谈会。 现在，从男学生和女学生的人数（男女喜欢物理）中，选择著名男学生和著名女学生参加座谈会，记录参加座谈会的喜欢物理的人数如，查找分发列表和期望。，其中。
参考答案 1、选择题：本题共12题，每题5分，共60分。 每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。 1. C 【分析】设圆的半径为1，则，故选C。 2. C 【分析】根据命题的否定，可写：，故选C.3。 一【分析】
首先利用复平面上复数对应的点关于虚轴对称得到，然后利用复数的除法来求解。 【详解】由于复数在复平面上对应的点关于虚轴对称，且为复数，所以选：A 【求点】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，为一个基本问题。 4.B【分析】
，代入即可求出公差d，然后可利用等差数列的前n项和公式进行计算。 【详细解释】 由已知,,,,so,解为或(离开),so,。 因此，选择：B。 【要点】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算。 这是一个简单的问题。 5.B 【分析】因为有2个正品，2个次品。 选择2件同时获得正品的概率为P1=1C42=16，即如果命题p是错误的，则 Øp是正确的； 选取边长为4的正方形ABCD中的任意一点M来强调：本题运用经典概率公式、几何概率公式以及命题组成的复合命题真假判断（包括or、and、not等连接词）等）有机地结合在一起，旨在考察命题真假判断、经典概念、计算公式的特点和应用、几何概念的特点和应用等知识和方法的综合运用。计算公式以及分析和解决问题的能力。 6、【解析】分析：变形可知an_an+1=2anan+1，进一步可知可以采用分裂项抵消法求和。 详细解释：∵，∴，且∵=5试题，∴，即∴，∴序列的前几项之和为，所以选A。 画龙点睛：分项消除法是最常用的一种难以掌握的求和方法。 原因是有时很难找到分割项的方向。 克服这一困难的方法是根据配方的结构特点。 常见的分项技术：（1）； (2); (3); (4); 另外，需要注意的是，在拆分项后取消的过程中，很容易出现项缺失或多项的问题，从而导致计算结果不正确。 7.D【分析】题 分析：从题中,,,选择D。测试点：集合上的运算 8.B【分析】
根据题意，可以得到，，答案就解决了。 【详细解释】，，解为or（丢弃）。 因此，我们选择：。 【重点】本题考查等比数列的计算，旨在测试学生的计算能力。 9、D【分析】
根据条形图或折线图中包含的数据对选项进行一一分析，从而得出描述不正确的选项。 【详细解释】对于选项A，根据折线图可以看出，深圳的变化最小，而根据条形图，北京的均价最高，所以选项A的描述是正确的。 对于选项B，根据折线图可以看出，天津往返机票均价变化最大，因此选项B的描述是正确的。 对于选项C，根据条形图可知上海和广州的往返机票均价基本相当，因此选项C的描述是正确的。 对于选项D，根据折线图可知，与上年同期相比试题，除深圳外，其他5个城市的往返机票均价均在上涨，因此选项D的描述是错误的。 因此，选择：D 【找点】本题主要考查基于条形图和折线图的数据分析，是一道基础题。 10.D【分析】
“是是充分非必要条件”相当于“是是充分非必要条件”，即中间变量的取值集合是取值集合的真子集的中间变量。 【详细解释】从题意来看：可以简化为，，所以中间变量的取值集合是中间变量的取值集合的真子集，所以。 【指向点】利用原命题及其反命题的等价性，将充分条件和非必要条件转换为“是”，使问题变得容易解决 .11． 一【分析】
利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可以得到。 [详细解释]。 因此，选择：。 【要点】本题考察等差数列的求和公式及等差数列的性质，考察基本量的计算，易难易。 12.C【分析】
首先求导函数。 如果上面的函数单调递减，则它始终为真。 将导函数的不等式转换为二次函数。 结合二次函数的性质和图像，我们可以求解不等式组。 【详细解释】根据题意，，令 ，则 ，所以上式始终成立； 结合图像可知 , ，解为 。 因此，选：C。 【求点】本题考查求三角函数的单调区间。 求三角函数单调区间的两种方法：（1）代换替换法：将包含自变量的相对复杂的三角函数的代数表达式视为角（或），利用基本三角函数的单调性来求解级数不平等； (2)图像法：画出三角函数的正弦和余弦曲线，结合图像求其单调区间。 2、填空题：本题共有4题，每题5分，共20分。 13.【分析】
根据向量投影的定义，可以得到两个向量夹角的余弦值，从而得到夹角的大小。 【详细说明】 方向上的投影，即夹角为。 所以答案是：。 【求要点】本题考察求向量之间的角度。 掌握矢量投影的定义是解决问题的关键。 14.【分析】
对第一位奇数和偶数进行分类讨论，利用逐级乘法计数原理和分类加法计数原理得出结果。 【详细说明】①如果第一位是奇数，则第一、第三、第五位的数字都是奇数。 剩下的三位数字都是偶数。 此时，符号条件中的自然数个数为1； ②如果第一位是偶数，第一位不能是，可以放在第三位或第五位上，第二位，四位或六位上的数字是奇数。 此时满足条件的自然数的个数为 ，对于数字排列问题，要注意第一位数字的分类讨论，逐级乘法计数和分类加法原理的应用数数，考的是计算能力，属于中等水平的题。 15.【分析】
首先判断该函数是定义在定义域上且在定义域上单调递增的奇函数。 因此，不等式对于任何常数都成立，可以转化为上面的常数。 然后建立一组不等式，通过求解即可得到答案。 【详细解释】解：函数的定义域为，且，函数为奇函数，当，函数，显然此时函数为增函数，函数为定义于上的增函数，不等式为，始终成立，解决方案必须。 所以答案是。 【亮点】本题考查函数单调性和宇称性的综合应用，考查不等式的恒成立性。 这是一个常见问题。 16.【分析】
使用定量乘积简化平方运算即可得到解。 【详细解释】因为、、、所以、∴、∴、因为所以。 所以答案是：【重点】本题主要考查平面向量的定量乘积的运算规则，考查向量角度的计算，旨在考查学生对这些知识的理解和掌握。 3.回答问题：总分70分。 答案应包括书面解释、证明过程或计算步骤。 17. (1) 参见分析； (2) 参见分析。 【分析】分析：（1）先证明，再证明FG//Plane PBD。 (2) 先证明平面，再证明BD⊥FG。 详细说明： 证明： (1) 连接PE，因为G.和F是EC和PC的中点，并且是平面，平面，所以平面(II)由于菱形ABCD，所以，PA⊥平面ABCD ，平面，所以， 因为平面，平面，和，平面，平面，∴BD⊥FG。 要点：（1）本题主要考查空间位置关系的证明，旨在考查学生对这些基础知识的掌握程度以及空间想象转化的能力。 (2)证明空间位置关系，一般有几何方法和矢量方法。 这道题用几何方法比较方便。 18.（1）见分析（2）【分析】
(1)利用面的垂直性定理来证明平面，从而证明平面。 根据圆的几何性质，证明它，从而证明平面。 (2)确定三棱锥体积最大时点的位置。 建立空间。 在笛卡尔坐标系中，通过平面和平面的法向量计算二面角的余弦。 【详细解释】 （1）证明：因为平面是正方形，所以平面。 因为飞机，所以。 因为该点是直径的一半 在圆弧上，所以。 而且，在飞机上也是如此。 (2) 解：显然，当该点位于 的中点时，面积最大，三棱锥的体积也最大。 我们假设中点分别为 、 作为原点。 的方向是轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，然后，设平面的法向量为，则令，我们得到。 设平面的法向量为，则设，我们得到，所以。从图中可以看出，二面角是锐角，所以二面角的余弦为。 【找点】本题主要考查线与面垂直的证明，考查二面角的方法，考查空间想象和逻辑推理能力。 这是一个中等范围的问题。 19、（1）99%确定参与新生接收意愿与性别相关； (2) 详见分析。 [分析]
(1)经过计算，并得出结论； （2）根据分层抽样原则，可以得到男孩和女孩的数量，通过超几何分布概率公式可以得到所有可能值对应的概率，从这一列就可以得到分布； 根据数学期望计算公式，可以计算出期望。 【详细说明】（1）观察∵值，可以肯定参与新生的接待意愿与性别有关。 （2）按分层抽样方法：有男生，有女生。 被选中的人中，有一些男生，也有一些女生。 那么可能的值为、、、、、分布如下：。 【亮点】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布序列以及数学期望的解； 关键是能够明确随机变量服从超几何分布，然后利用超几何分布概率公式得到每个随机变量值对应的概率。 20.（1）参见列联表分析，99%； (2)、(3)第二种优惠方案性价比更高。 [分析]
（1）根据已知数据绘制列联表，然后根据独立性检验得出结论； （2）有数据表明，女性中“移动支付用户”的概率为，且服从二项分布，即可以求得其期望和方差； （3）如果您选择选项一，则需要支付人民币。 如果选择方案二，假设实际支付金额为人民币，那么 的值为 1200, 1080, 1020。找到实际支付预期，然后比较两个计划中支付金额的大小，即可确定选择的方案计划。 【详细解释】（1）由已知，我们可以得到关联表：因此，有99%的把握“移动支付群体”与“性别”相关； （2）有数据显示，女性中“移动支付用户”的概率为，，； （3）如果您选择选项一，则需要支付人民币。 如果选择方案二，假设实际支付人民币，那么数值是1200, 1080, 1020,,,，选择第二种优惠方案更划算 【发现点】这道题考的是独立性测试，期望值和二项式分布的方差，以及由期望值确定的决策方案，这是一道中题。 21. (1) 证明参见分析； (2) 证明见分析。 [分析]
(1) 利用均值不等式可以证明； (2)利用并结合即可证明。 【详细解释】（1）∵，同理还有，，∴。 (2)∵、∴。 同样的理由是，.∴。 【亮点】本题测试利用均值不等式来证明不等式。 涉及到的魔法是一道综合性的中档题。 22.（1）我确信喜欢物理与性别有关； (2) 参见通讯组列表分析。 [分析]
（1）根据问题给出的信息，列出列联表，计算观测值，并与临界值表进行比较得出结论； （2）假设参加座谈会的人中，有喜欢物理的男学生，有女学生。 那么，所有确定的值都是、、、、。 根据计数原理计算每个对应的概率，只需列出分布列即可计算期望。 【详细说明】（1）根据给定条件，列联表如下：喜欢物理和不喜欢物理的男性和女性总数为总和，因此有一定的置信度认为喜欢物理与性别有关； (2) 假设参加研讨会的人中有喜欢物理的男性。 有同学，也有女同学，那么，从题意可以看出，所有可能的值为,,,,。 ,,,,。 所以分布是：所以。 【重点】本题考察离散随机变量的独立性检验和概率分布序列。 离散随机变量的期望。 这是一个中间问题。