几个等效摆周期公式的理论推导 姓名：性别：男 单位：安徽省阜阳市十一中 联系电话：*********90 邮箱：@163 邮编：一般只在中学物理教材中给出要找出摆的周期公式，目前关于摆的论文中有关摆的应用说明及其周期公式有些混乱。 本文根据目前对单摆的讨论，结合我个人对单摆的理解，用一种比较通俗的单摆语言，详细讲解了单摆的本质、单摆的周期公式以及其应用条件、单摆周期公式在各种具体情况下的应用、复摆及其周期公式的推导、单摆与复摆的简单关系。 联系等知识，希望读者通过阅读本文能够很好地学习、理解和掌握摆的知识，并运用这些知识解决摆的相关问题。 关键词：单摆； 周期公式； 简谐振动； 等效单摆； 等效摆长； 等效重力加速度； 复摆； 周期公式的应用 0.引言 单摆是中学物理力学和物理模型中典型且重要的方法，具有非常广泛的应用范围。 复习高中物理中的摆，突出问题：1、摆锤摆动时平衡的确定。 2、摆周期公式“l”和“g”的确定是因为高中物理教材只直接给出了摆周期公式。 因此斜面拉物体拉力f怎么算，学生很难掌握功夫中“l”和“g”的含义。 深入理解摆模型对于学习物理相关知识和其他学科知识极为重要。
物理知识来源于现实，不同于现实，应用于实践。 物理学用独特的方法来研究和处理实际问题，服务于实际需要。 摆是物理学中典型的知识。 学习有关摆的知识对于学习和掌握物理研究方法和解决问题的思维模式具有重要作用，更有利于个人思维能力的发展。 因此，有必要对单摆及其周期公式有一个清晰的认识。 本文将系统地阐明单摆的本质、周期公式的含义和推导、周期公式在各种具体情况下的应用、复摆及其周期公式的推导、简单摆与单摆之间的简单联系。单摆和复摆。 其中，摆周期公式在各种具体情况下的应用是建立在对摆模型的正确理解的基础上的。 关键是特定周期公式中的等效摆长和等效重力加速度因具体情况的变化而不同； 复摆知识的介绍是为了更好地理解和掌握单摆知识。 1.1 定义：将一个可视为质点的重物（摆）悬挂在质量可忽略不计的不可延伸的悬挂线的下端。 该系统一端固定，称为钟摆。 使用常用的线球模型定义，可以表示为：一个小球绑在一条几乎不可延伸的细线的下端。 细线的质量远小于小球的质量，细线的长度远大于小球的半径。 另一端固定，这样的理想系统称为钟摆。 1.2 说明 如右示意图（图A）所示，当粒子被拉离平衡位置后释放时，指针会在平衡位置附近沿一条以摆长为长度的圆弧作微小振动。中心和半径作为悬挂点。 振动就会恢复。 该力由粒子（摆）的一部分重力提供。
如果摆的摆动幅度很小，且恢复力与质点的摆动位移成正比且方向相反，则摆的摆动是简谐振动。 悬挂点是摆的摆动平面与摆线张力作用线的交点。 单摆摆动过程中，摆线张力的作用线始终经过悬挂点。 悬挂点到摆球重心的距离称为摆长。 2、简摆的周期公式 2.1 简谐振动的周期公式 物体做简谐振动时，会受到一个恢复力的作用，恢复力F与物体相对于物体的位移X成正比。平衡位置，其方向与位移方向相反。 使用 公式可表示为 F=-kX，其中 k 为比例系数。 假设物体的质量为m，t时刻的加速度（位移为 解为： ： 2.2 摆的周期公式 当该点时，重力G与拉力T平衡，如右图（图B），此点为摆的平衡点，在该点，然后松开，重力G的分力G1提供恢复力，使摆球在平衡点B附近来回摆动。重力mg ，考虑位移与运动方向的关系，为：G1=，将此式与F=-kX比较，我们知道，此时（）单摆是简谐振动，以此类推很容易理解：ω为在简摆简谐振动条件下得到的，这里公式中的“l”和“g”分别指摆的长度和摆的重力加速度，但在某些情况下它们指等效摆长和分别为等效重力加速度。 摆锤摆动的平衡位置不是摆锤摆动的最低位置，而是相对于摆锤不摆动的环境的静止位置。
等效摆长和等效重力加速度的确定取决于以下两个问题： (a) 摆摆动所绕的摆动点或摆动轴； (b) 摆锤摆动时的轨迹平面。 I：对于绕固定点摆动的简单摆，“l”是摆球重心到固定点的长度，即摆动弧线中心到摆球重心的距离。摆球。 “g”是当摆不摆动且在其环境中静止时，摆线或等效摆线的张力F与摆球的质量m的比值。 可以写成： g = F 这里应该是但摆在摆动平面上。 当球处于平衡位置时，摆球受到力场中对其简谐振动恢复运动有效的所有力的合力，力场中对其简谐振动恢复无效的力除外运动。 II：对于绕固定轴摆动的单摆，确定单摆等效摆动点的方法是：先确定摆轴，然后确定单摆摆动的轨迹平面。 摆轴与摆动轨迹平面的交点就是等效摆。 固定点。 “l”为摆球重心到等效摆固定点的长度，即摆动弧中心到摆球重心的距离。 当“g”摆不摆动且在其环境中静止时，沿等效摆线的拉力为单个 F 与摆球质量 m 的比值，可写为： g = F 这里应为但摆在摆动平面上处于平衡状态。 当摆球处于该位置时，力场中对其简谐振动恢复运动有效的所有力的合力，力场中对其简谐振动恢复运动无效的力除外。 下面通过例子来说明简单摆周期公式在某些情况下的具体应用，即如何求等效摆长和等效重力加速度。 3. 摆周期公式在一些具体情况下的应用 143.1 考虑等效摆长 例1：质点悬挂在两根长度为L的细线上，两根细线与天花板的夹角为α，求钟摆的周期。
（如下图）解：根据等效摆长的含义，即摆动弧线中心到摆球重心的距离，很容易知道等效摆长摆长就是图中虚线的长度，即Lsinα。 应用简单的摆周期公式： 摆的周期为： T = 例2： 两根绳子的长度分别为L和2L，与垂直方向的夹角为30。求摆的周期。 （如下图）解：根据等效摆长的含义，摆球重心到圆弧中心的距离就是等效摆长，也就是中间虚线的长度图中的线。 长度为： 例3：如图所示，一个长度为L1的摆在悬挂点的正下方，距悬挂点L2处有一个钉子。 当摆的左右摆角都很小时，求摆的周期。 解：由于左右摆动角度很小，可以认为是摆动一个钟摆。 垂线右侧以O为挂点，摆长为L1，左侧以P为挂点。 摆的周期应为长度为L1的摆周期的一半加上摆长度为(L1-L2)摆周期的一半，即：摆的周期为 3.2 考虑等效重力加速度：在摆周期公式的推导中，“g”是摆所在位置的重力加速度，更一般的情况下，“g”应该是等效重力加速度g'。 等效重力加速度g'实际上是对单摆简谐振动恢复振动有效的各种力的合力的反映。 g'的解也是基于这个起点。 通常有三种情况： A、摆球摆动时，垂直于速度方向的力对其简谐振动恢复振动始终无效。 该力不会改变振动周期，也不会反映在周期公式中。
B、g'=是摆动过程中除总垂直速度方向的力之外的所有力的合力，在振动过程中是一个常数。 C、当悬浮点相对于地面有加速度a时，摆球若想相对于所在环境静止，必须加上环境的惯性力F'=-ma,g'计算摆球上的力时。 计算方法与之前相同。 下面举例说明上述情况。 示例 4：长度为 L 的单摆和质量为 m（带正电）的摆球位于右侧水平均匀电场 (E) 中。 平衡时，摆线与垂线的夹角为α，如图所示。 现在将摆球拉离平衡位置一个小角度（ ），然后松开。 球将围绕平衡位置进行简谐振动。 什么是时期？ 解：从摆球受力分析（如图）可知F=mg' cosmg qEmg 例5：如图所示，磁场中有一个简单摆，摆球被收费。 求单摆的周期。 解：摆球在摆动过程中切割磁力线时，受到磁场洛伦兹力、重力和摆线拉力的作用，在三种力的作用下进行恢复运动。 由于洛伦兹力始终垂直于沿摆线的速度，并且始终经过悬挂点，因此该力对于摆的恢复运动无效。 单摆的周期仍为T= 例6：在加速的电梯中有一个单摆做简谐振动。 假设加速度为a，试求单摆的周期。 qEmg' mg 示意图如上，左图：当摆球相对于电梯静止时，摆线对摆球施加拉力F=mg+ma，故等效重力加速度为g' =。 对于右图：同样的原理，等效重力加速度为g'= 例7：如图所示，有一个小球，用一条长度为L的细线绑在水平面上，然后释放在休息。 找到小球的最低位置。 该点所需的时间 t 是多少？ 解：摆球的受力分析如右图所示。 当摆球在斜面上相对静止摆动时，小球的重力是沿垂直斜面的离散平衡斜面的支撑力，F= mg sina，等效重力加速度g'= sina，则摆动周期为： 例8：如图所示，将长度为L的单摆置于水中（水的密度小于摆球的密度，排除水的粘性阻力），浮力为其上的水为F，求摆的摆动周期的解： 如图所示，当摆球处于平衡位置（最低点）时，重力mg、水的浮力Fmg、张力T摆线的作用在球上以平衡它。 平衡方程为： ：T=mg-F，则等效重力加速度g'= 在上述情况下，如果球的密度小于水的密度，即浮力大于重力，那么摆的平衡位置就在上面的最高点，则T=F-mg，g'= 例9：如下左图所示斜面拉物体拉力f怎么算，质量为m的小汽车在地面上做直线加速水平面加速度a. 轿厢内有一个长度为L的单摆，与轿厢前进方向处于同一平面。 简谐振动，试求其周期。
本题属于非惯性系统中摆的情况。 为了确定摆的平衡位置，必须在摆球的受力分析中加入惯性力。 分析该图可知，有效提供摆球恢复运动的力是重力mg与惯性力(-ma)之和，即mamg。 延伸：如果将上题中的小车放在一个有倾角的斜面上（如右上图所示），小车仍然沿斜面以加速度a向下运动，那么简谐振动的周期是多少在这种情况下是一个简单的摆吗？ 小球的受力分析如右上图所示。 受到简谐振动的摆球的回复力仍然是其重力mg与系统惯性力(-ma)的合力。但此时摆球的平衡位置
