弹簧问题的分类 1、“轻弹簧”问题 中学时，凡是涉及到的弹簧，不考虑其质量，都称为“轻弹簧”。 这是常见的理想化物理模型。 由于“轻弹簧”的质量无论如何，如果选择任何小截面的弹簧，两端的张力必须平衡。 否则，这一小段弹簧的加速度将是无穷大。 因此，轻弹簧各部分之间的拉力处处相等，等于弹簧两端的力。 弹簧一端所受的力为F，另一端所受的力也必为F。 如果是弹簧秤高中物理弹簧弹力，则弹簧秤指示为.FF 【例1】 如图3-7-1所示，将弹簧秤放置在光滑的水平面上，壳体的质量不能忽略。 忽略弹簧和挂钩的质量，对弹簧施加水平力和壳体上的力，则弹簧水平方向的加速度为 ，弹簧刻度的读数为 。 【分析】以整个弹簧尺度为研究对象，利用牛顿运动定律可得：，即若仅以轻弹簧的为研究对象，则两端的力弹簧的直径相等，因此弹簧刻度的读数是。 说明：作用于弹簧秤外壳，不作用于弹簧左端。 ，弹簧左端的力由壳体内部提供。 【答案】1F 2、质量不可忽略的弹簧 【例2】如图3-7-2所示，将一个具有质量和长度的均质弹簧平放在光滑的水平面上，在弹簧上施加水平力。弹簧ML右端使弹簧向右加速。 尝试分析弹簧各部分的应力。 F 【分析】弹簧在水平力的作用下向右加速。 根据牛顿第二定律，可求出加速度。 以FaM任意长度的弹簧左侧部分为研究对象，并假设其质量为 弹簧（尤其是软弹簧）的弹力与弹簧的变形量有关。 由于弹簧的两端一般都与物体相连接，弹簧的变形过程需要一段时间，其长度变化不可能在瞬间完成，所以弹簧的弹力不能突然发生变化。瞬间。 即，可以认为弹力的大小和方向不变。 与弹簧相比，光绳和光杆的弹力会发生突变。 【例3】如图3-7-3所示，将木块和轻弹簧连接起来，垂直放置在木块上，将三个ABC静置在地面上。 木块的加速度 和 的质量比分别为 = 和 = 图3-7-2 图3-7-1 图3-7-3 【分析】根据题意，可得的质量分别设置。 以木块为研究对象，提取木块ABC、23mm、AC之前，木块受到重力和弹力一对平衡力。 当木块被拉出时，木块所受的重力和弹力的大小和方向保持不变，因此木块的瞬时加速度为0。以木块为研究对象，由平衡条件可知AAB 和木块施加在木块上的力。 以木块为研究对象，木块通过重力、弹力和三个BBCBF力来平衡。 在木块被拔出的瞬间，木块所受的重力和弹力的大小和方向保持不变，瞬时变化CBCBF为0。因此，木块的瞬时总外力垂直向下，瞬时加速度为。 [答案] 0 解释：与 C3mg1.5g 不同 不可伸展的轻质绳索中的张力可能会突然变化。 【例4】如图3-7-4所示，质量为 的小球与水平弹簧连接，并由倾斜角为 的光滑木板支撑，处于静止状态。 当它突然向下疏散时，小球的加速度为()ABA。 B. 尺寸为，方向垂直0233g 直向下 C. 尺寸为，方向垂直于棋盘向下 D. 尺寸为，方向水平向右 【分析】退出棋盘前，球通过重力、弹簧拉力和板的支撑力 GFNF 来平衡，如图 3-7-5 所示。 在退出木板的瞬间，重力和弹力GF保持不变（弹簧的弹力不能突变），木板的支撑力立即消失。 球与NFGF的合力与退球前的力相等（三力平衡）高中物理弹簧弹力，方向相反。 因此，加速度的方向是垂直的，板子朝NFNF方向向下运动。 【答案】C. 四． 弹簧长度变化的问题。 假设刚度系数为的弹簧。“-”号表示弹簧被压缩。 如果弹簧上的力从压力变为拉力，则弹簧的长度将从压缩变为伸长变化2x1F-2F，长度增加为。 根据胡克定律：，则：1x11()Fkx22Fkx，即2121()()Fkx说明：弹簧力的变化与弹簧的变化长度也遵循胡克定律，这意味着1和2的物理意义是捆绑在一起的。 上端有刚度系数为 的轻质弹簧，整个系统处于平衡状态。 现在慢慢地垂直提起块 1，直到弹簧的下端刚好脱离桌子。 在此过程中，块2的重力势能增加，块1的重力势能增加。 增加。 【分析】从题意可以看出，弹簧长度的增加量就是方块2高度的增加量，弹簧长度增加量2k2k与弹簧长度增加量之和是物块1的高度增加量。从物体上看，它们的力平衡为： 且 2mg12()mmg+()mmgk+1221()mmgk+ 因此，物块2的重力势能增加了，则块 1 的重力势能增加了 ()mmmgk+()()++ 5. 弹簧形状 该变量可以表示物体的位移。 弹簧的弹力满足胡克定律，其中 是弹簧的变形量。 当两端连接到Fkxx物体时，就是物体的位移。 因此，弹簧可以结合运动学知识将x编成练习题。 【例6】如图3-7-7所示，在倾斜角为的光滑斜坡上有两个由轻质弹簧连接的块q，系统处于静止状态，此时AB、ABmm、kC开始变化。用恒定的力将其沿倾斜方向向上拉。 求其即将离开时的加速度以及从开始到此时的位移（重力加速度为）。Adg 【分析】当系统静止时，假设弹簧压缩量为，弹簧弹力为，受力分析可知： 解：当物体在恒力作用下加速向上时，弹簧逐渐从压缩状态变为伸长FA长度状态。 假设物体即将离开挡板时弹簧的伸长量为，物体所受的力为：BC2xB。 解为： 假设此时物体的加速度为， 牛顿第二定律为： Aa 解为： 由于物体与弹簧相连，弹簧长度的变化为 ()A代表物体的位移，所以有，即【答】()() 六、弹力变化的运动过程分析。 弹簧的弹力是由变形决定其大小和方向的力。 请注意，弹力的大小和方向应始终与当时的变形相对应。 一般来说，我们应该从弹簧的变形分析开始，首先确定弹簧的原始长度。 图3-7-7中的位置、当前长度位置和临界位置，找出变形量与物体空间位置变化之间的几何关系，并分析与变形对应的弹力大小和方向。 弹性势能也是对应于原长度位置的形状。 变量相关性。 以此来分析计算物体运动状态可能发生的变化。 结合弹簧振子的简谐振动，分析弹簧物体的变加速度运动。 这时，需要首先确定物体运动的平衡位置，并区分出物体的原始长度位置。 ，进一步证实了物体的运动是简谐振动。 结合平衡位置对应的恢复力、加速度、速度的变化规律，很容易分析物体的运动过程。 【例7】 如图3-7-8所示，质量为 的物体通过轻弹簧与下方地面质量为mA的物体相连。 最初 和 处于静止状态。 此时，弹簧压缩，一端握在手中，AC绳各节正好处于伸直状态。 物体上方的那段绳子是垂直方向的，并且足够长。 现在A端施加一个水平恒定力，使物体从静止状态向上移动。 （弹簧始终处于弹性极限CFA内）。 (1) 如果最后施加的力为恒定，则物体即将离开地面时的速度是多少？ （2）如果增加物体的质量，为了保证物体永远不离开地面，则最大B2mBF是多少？ 【分析】从题中可以看出，弹簧的初始压缩量和物体即将离开地面时弹簧的伸长量也是0mgxkB长度。 0mgxk=(1) 如果 ，当弹簧伸到 时，物体离开地面。 此时弹簧在受力前的弹性势能为3Fmg=0xB等。 所做的功等于物体增加的动能与重力势能之和。 即： (2) 当施加的力为恒力时，物体不离开地面。 它类似于垂直弹簧振荡器。 物体除了在垂直0FBA方向上变化的弹力外，还受到恒定的重力和拉力。 因此，物体简化为简谐振动。 在最低点A，有： ，其中 是弹簧刚度系数，即物体在最低点的加速度。 在最高点，k1aA 物体不会离开地面。 此时，弹簧被拉伸，伸长量为： 则： 且， (2) +0kxmg 上下振幅处的简谐振动，解为： 【也可以用简谐振动的平衡位置简谐运动求出常数 12aa 拉力。 简谐振动的物体 最低点的压缩量为 ，最高点的伸长量为 ，则上下运动的中点为平衡位置，即伸长量为这是。 由此，解为：。] 【答案】+022gx 图3-7-9 图3-7-832mg 说明： 区分原始长度位置和平衡位置。 原长度位置对应的变形量与弹力大小、方向、弹性势能有关，平衡位置对应的位移量与恢复大小、方向、速度、加速度有关。 相关.7. 与弹簧相关的关键问题通过弹簧连接的物体在运动过程中常常会涉及到关键的极值问题：如物体速度达到最大值； 当弹簧变形达到最大时，两个物体的速度相同； 物体即将离开地面； 相互接触的物体碰巧分离等。解决此类问题的关键是利用好临界条件，获得对解决问题有用的物理量和结论。
【实施例8】如图3-7-9所示，在垂直的轻弹簧上叠放两块木块。 已知木块的质量分别为AB、AB、和。 弹簧的刚度系数，如果作用一个垂直向上的力，使块体垂直均匀移动，从静止开始的加速度为 0.42kg0./kNm=AFA ()。 求： (1) 使木块垂直匀速运动20.5/ms210/gmsA 加速运动过程中，力的最大值； F (2) 如果木块从静止开始匀速运动到分离过程，弹簧的AB和弹性势能减小，求此过程中木块受到的力 Work.0.248JF 【分析】难点这个问题的关键是是否可以确定两个物体分离的临界点。 当（即不加垂直0F向上的力）时，假设木块堆叠在弹簧上并处于平衡状态。 弹簧的压缩量为，有：，即FAB，可见，此时木块的加速度B'0NAB是相同的。 根据公式②，如果要使木块做匀速运动，则随着减小而增大。 此时，得到最大值，ANF0N=FmF，即： 此时，分离开始。 根据式③，弹簧的压缩量为，()4.0N=AB，'() 则 ④ 木块的共同速度： ⑤ 由式可得木块的弹性势能过程简化 ()'+AB22(')vaxx假设力所做的功为，并将函数原理应用于此过程，我们得到： 0.FFW21()()(') 将公式①④⑤⑥联立，得： 【答案】 (1) 0.29.4.41mFN29.NX【例9】如图3-7-11所示，一塑料质量 球形容器在所有点上都与水平面接触。 其MA内有一个直立的轻弹簧。 弹簧的下端固定在容器的底部。 上端连接到一个带正电的小球，该小球的质量在垂直方向上振动。 当加一个向上均匀的力，经过强电场后，当弹簧长度正好为m时，球正好有最大速度。 振动过程中，球形容器对桌面的最小压力为0。 图3-7-10 图3-7-11 求球的最大振动加速度和容器对桌面的最大压力。 【分析】由于当弹簧恰好处于其原始长度时，球的速度最大，因此有： qEmg ① 当球处于最高点时，容器对桌面的压力最小，有： ② 此时，球受到kxMg 力的影响，如图3-7-12 所示。 合力为 ③小球的加速度由上述三个方程求得。 显然，容器对桌面的压力在最低点处最大。 由振动的对称性可知，可以为 mmga 我们知道，小球在最低点和最高点的加速度相同。 解上式可得： 故Mgkx=容器对桌面的压力为：.=+=8。 弹性功和弹性势能变化的问题。 弹簧伸长或压缩 弹簧变形时会储存一定的弹性势能。 因此，弹簧的弹性势能可以与机械能守恒定律综合应用。 使用公式计算弹簧的势能。 弹簧变形量相等时的弹性势能相等。 弹簧弹力所做的功等于弹性势能的减少。 数量。 弹簧弹力所做的功是变力所做的功。 一般可以采用以下方法： （1）由于变力呈线性变化，可以先求出平均力，然后利用功的定义进行计算； (2)利用由 包围的图形求解面积大小； Fx(3)根据动能定理、能量转换和守恒定律求解。 由于弹性势能只与弹性变形量有关，所以高考中弹性势能的公式没有定量要求。 因此，当计算弹性功或弹性势能变化时，一般从能量转换和守恒的角度来求解。 特别是当两个物理过程涉及的弹簧变形相等时，弹性势能的变化往往可以抵消或替代解。 【例10】图3-7 如图-14所示，一个有质量的物体通过光弹簧与下方地面上一个质量1mA的物体相连。 弹簧的刚度系数为 ，物体处于静止状态。 一根可伸缩的轻绳，一端缠绕着超重滑轮，与物体相连，另一端与轻钩相连。 开始时，每段绳子A都处于伸直状态，物体上方的那段绳子处于垂直方向。 现在将质量为 A2m 的物体挂在钩子上并将其从静止状态释放。 众所周知，它只能使物体离开地面，但不能继续上升。 如果该物体被另一个质量为CBC的物体替换，并且仍然从上述初始位置开始静止释放，那么此时该物体刚离开地面时的高度为12()mm+。 Body DB 的速度是多少？ 已知重力加速度为Dg 图3-7-14 图3-7-12 【分析】物体一开始静止，假设弹簧压缩量为，则有：、将物体悬空，释放AB ，释放C后，物体向下移动，物体向上移动。 假设物体即将离开地面时弹簧的伸长量为 。 不再上升，说明此时物体的速度为零，物体已经下降到最低点。 与初始状态相比，BA和CC由于机械能守恒而增加的弹簧弹性势能为：
将物体替换为物体()()CD后，物体离开地面时弹簧势能的增量与上次相同。 根据能量关系，我们得到：()()()()++++9++++9。 弹簧弹性的双向性 弹簧可以被拉伸，也可以被压缩，因此弹簧的弹性是双向的，也就是说，弹力既可以是推力，也可以是拉力。 此类问题通常有多种解决方案。 【例11】如图3-7-15所示，质量为m的质点连接到三个相同的光弹簧上，处于静止状态。 当相邻两个弹簧夹角均为 时，已知弹簧作用在质点上的力为 ，则弹簧作用在质点上的力可为 () 【分析】由于两个弹簧夹角为，弹簧与粒子所受的力的合力静止。 弹簧和F弹簧可以是对颗粒的拉力或推力。 由于 和 之间的关系是不确定的，所以以上四个选项 ab 和 Fmg 都是可能的。 正确答案：ABCD 【答案】ABCD 11.弹簧串并联组合 弹簧串联或并联后，其刚度系数会发生变化。 弹簧组合的刚度系数可用公式计算。 高中物理不需要用公式进行定量分析，但必须掌握弹簧串联和并联的特性：弹簧串联时，每个弹簧的弹力相等； 当原始长度相同的弹簧并联时，每个弹簧的变形相等。 【例12】图3-如图7-17所示，垂直悬挂两个刚度系数为12kk的轻弹簧。 下端连接光滑绳，绳上放置光滑轻滑轮； 滑轮下端悬挂有重物G。 滑轮下降。 求滑轮静止后重物下落的距离。 【分析】两个弹簧在形式上看似并联，但由于每个弹簧的弹力相等，所以两个弹簧实际上是串联的； 两个弹簧的弹力相等，可得 两个弹簧的伸长量分别为，两个弹簧的伸长长度之和 = = 图 3-7-17 图 3-7-15，所以重物落下的高度为：12xxx+1212()+ 滑轮模型 1. “滑轮”吊坠模型中的平衡问题示例 1. 如图 1 所示，将一根不可伸长的左右两端系住，软轻绳分别拉至A、B两点。 一个物体是动滑轮，挂在一根轻绳上。 当系统达到平衡时，两根绳索之间的夹角为 ，绳索张力为； 1 1 F.将绳子右端移至C点，当系统达到平衡时，两根绳子之间的夹角为， 绳子张力为； 将22F绳子的右端从C点移动到D点。当系统达到平衡时，两根绳子之间的夹角为，绳子张力为3，不包括摩擦力，BC为垂直线，则（ ) 3FA. QR QR 在将B点移动到C点的过程中，通过滑轮的运动，再从C点移动到D点，必须大于 。
因此，只有选项A是正确的。 mgF=2cos223FF+ 2.“滑轮”悬垂模型中速度变化问题的示例 2。 如图2所示，滑架内有一条光滑的皮带（质量未计算）。 一个气缸放置在皮带中。 当汽车静止时，皮带两侧的夹角为∠ACB=90°。 若小车向左匀速加速，加速度a=7.5m/s2，则皮带两侧与小车顶部的夹角是多少？ 分析：假设汽车静止时AC的长度为。 当汽车向左匀速加速时，l2/5.7sma类似于AC和BC之间的一个“滑轮”，因此拉力相等，设为FT，作用在气缸上的合力为ma。 它向左均匀加速。 运动时AC的长度为 ，BC的长度为 。 由几何关系llll 求得。 根据牛顿运动定律建立方程： ，代入数据得到，9319， 3. 函数问题示例“滑轮”吊坠模型3。如图3所示，绳子缠绕在两个定滑轮A和B上。两端各悬挂一个重物P。 现在在A、B的中点C处悬挂一个重量为Q的小球，小物体Qm)用轻绳连接； 将它们横放在一个半径为R的光滑半圆柱体和光滑的定滑轮B上，m位于半圆柱体底部的C点，半圆柱体顶部的A点与滑轮的连线B 是水平的。 整个系统开始从静止开始移动。 假设m能到达圆柱体顶部，试求： (1) m到达圆柱体顶部A点时，m和M的速度。 (2) 当m到达A点时，气缸上的压力。 图 7 的答案： (1) 2) (2 (2) -22