[sin theta theta = frac{{{{mbox{$Large{frown}$}}}{OP}}}{l} frac{l}{x}]
如果角度 θ 很小，则以弧度表示的 θ 大约等于其正弦 sin θ。
因此，单摆振动的恢复力F可表示为
[F = - frac{{mg}}{l}x]
式中负号表示恢复力与位移方向相反。对于某个简单摆，摆球的质量m和摆的长度l一定，(frac{{mg }}{l})可以用常数k来表示，因此上式可以写为
[F = - kx]
可见，当摆角很小时，简摆进行简谐振动。
做吧
如图2.4-2所示，一根拆下柱塞的注射器悬挂在细线下方，注射器内充满了墨水。 当注射器摆动时，沿垂直于摆动的方向匀速拖动板子，观察板上喷出的油墨图案。
图2.4-2 观察墨纹摆周期
一个小球系在一根短绳上，它的振动周期很短。 悬挂绳较长的秋千（图2.4-3）的周期较长。 哪些因素决定单摆的周期？
图2.4-3 不同长度悬吊绳的秋千
下面我们通过实验来研究这个问题。
实验
探讨单摆的周期与其长度的关系
如图2.4-4所示，两个简单摆固定在铁平台的横梁上。 根据下列情况，将它们拉到一定角度单摆回复力，同时松开，观察两个摆的振动周期。
图2.4-4 研究单摆的振动周期
1. 两个摆具有相同的摆球质量和摆长，但振幅不同（均处于小偏转角）。
2、两个摆的长度和振幅相同，但摆球的质量不同。
3、两个摆的振幅和摆球质量相同，但摆长不同。
通过比较这三种情况下两个摆的周期可以得出什么结论？
实验表明，简摆的简谐振动周期与摆的长度有关。 摆的长度越长，周期越大； 单摆的周期与摆球的质量和振幅无关。
单摆的周期与其长度之间有什么数量关系？
做吧
改变摆的长度l，测量单摆的相应周期T（小偏转角下）。 根据您的实验数据，尝试在方格纸上绘制 Tl 图像或 T-l2 图像。 它们是什么曲线？ 你能根据图像确定单摆的周期与其长度之间的关系吗？
为了找出单摆周期与其长度之间的定量关系，荷兰物理学家惠更斯进行了详细研究，发现单摆简谐振动的周期T与单摆长度的平方根成正比。 l 与重力成正比加速度g与g的平方根成反比，与摆球的振幅或质量无关。惠更斯建立了计算单摆周期的公式
[T = 2pi sqrt {frac{l}{g}} ]
惠更斯 (1629-1695)
单摆周期公式的发现，使人类利用简谐振动定量测量时间成为可能，并基于此发明了真正可持续的时钟。
科学漫步
从日晷到原子钟
在人类文明进步和科学技术发展的漫长历史中，人类的活动都离不开时间测量的精确性。 很久以前，我们的祖先就利用天体的周期性运动来记录时间。 例如，太阳和月亮相对于自身的位置被用来模糊地定义时间。
后来，人们通过观察自然现象逐渐发明了日晷、水钟、沙漏等人工计时装置，这标志着人工钟表开始出现（图2.4-5）。
图2.4-5 日晷
当钟摆等能长时间周期性运动的振荡器出现后，人们利用能产生一定振荡频率的装置作为时间频率标准，并以此为基础发明了真正可持续的时钟。
20世纪30年代开始，随着晶体振荡器的发明，小型化、低能耗的石英晶体钟取代了机械钟，广泛应用于电子计时器等各种计时领域。
从20世纪40年代开始，科学家利用原子超精细结构的跃迁能级具有非常稳定的跃迁频率这一事实单摆回复力，开发出比晶体钟精度更高的原子钟。
随着激光冷却原子技术的发展，利用激光冷却原子制成的冷原子钟（图2.4-6）进一步提高了时间测量的精度。 迄今为止，地面上最精确的冷原子喷泉钟已达到每3亿年误差仅1秒，更高精度的冷原子光学钟也在快速发展中。
图2.4-6 我国制造的空间冷原子钟
近年来，科学家将激光冷却原子技术与太空微重力环境相结合，有望在太空轨道上获得比地面线宽窄一个数量级的原子钟谱线，从而进一步提高精度原子钟。 这将是原子钟的第一步。 发展史上的又一重大突破。
练习和应用
本节有 4 个练习。 问题1和问题2巩固和加强学生对单摆周期公式的应用和理解。 第3题和第4题考验和培养学生将公式与图像相互转换的能力。
1. 理想的摆具有周期T。如果由于某种原因（例如转移到另一个星球）自由落体加速度变为原来的(frac{1}{2})并且振幅变为原来的( frac{1}{3})，摆的长度变为原来的(frac{1}{4})，摆球的质量变为原来的(frac{1} {5})，其周期是多少？
参考答案：(frac{{sqrt 2 }}{2})T
2、周期为2秒的单摆称为二摆。 第二个摆的长度是多少？ 将地球上的第二个摆带到月球上。 已知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2。 它在月球上完成 50 次完整振动需要多长时间？
参考答案：摆锤的长度约为1 m，完整振动50次大约需要250 s。
3、图2.4-7是两个简单摆的振动图像。
图2.4-7
(1) 摆锤A和B的长度之比是多少？
(2) 以向右方向为摆球离开平衡位置的位移正方向，从t=0开始，当B第一次达到向右最大位移时，A摆到什么位置到？ 它朝什么方向移动？
参考答案：（1）1：4； (2) A 处于平衡状态，向左移动。
4、将一个小球挂在细线下，让它自由摆动，画出它的振动图像如图2.4-8所示。
(1) 请根据图中数据计算其摆长。
(2) 请根据图中数据估算其摆动的最大偏转角度。
图2.4-8
参考溶液：(1)1m； (2)2.3°
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