经过受力分析，自由摆的动力学方程可写为：
m frac{d^2 x}{dt^2}=mgsintheta
其中，圆的知识为：x=ltheta
这样我们就可以得到关于角位置θ的微分方程。 接下来的问题就是解决，怎么解决呢？
这次又出现了新的问题
θ
非线性函数（正弦函数是非线性的），它是一个非线性二阶微分方程，很难求解。 怎么办？本科普通物理实验中，采用小振幅近似，运用极限思维
正弦θ
变得
θ
，简化为线性微分方程，则解很容易求解。 我不想在下面这样做，我希望得到任何幅度的结果。
此时可以从机械能守恒的角度来求解。假设初始力矩为0，则此时的角位置和角速度分别为
,
，则线速度为
v_0=l
，可以写出机械能的表达式。 同理高中物理单摆图像变化问题，任意时刻t的机械能表达式都可以写出。由于机械能守恒定律，有
E(t)=E(0)
，由此可以求解出角速度与角位置的关系，表征了摆的运动状态。给定一组初始值
,
，就可以得到一条曲线。 因此，自由摆的通解是一系列曲线。 这其实就是“相图”的概念，由庞加莱在数学中首先提出。 相空间各轴所表示的量正是系统的各种状态参数。 相空间中的一个点代表系统的一种状态。 相空间中的点连接起来的轨迹就是相轨道，它代表了系统状态随时间的演化。 借助“相图”的概念，我们无需直接求解微分方程，就可以得到方程解的一些性质。 这后来发展了一个新的数学分支，称为“微分方程定性理论”。
核心理念：
1.养护：
通俗地说：保持不变。
如果它随时间守恒，则意味着数量不随时间变化而变化。
如果是随位置守恒的，则意味着无论位置如何变化，数量都不会改变。
守恒通常与对称性有关。 例如，时间平移对称性会引起能量守恒，空间平移对称性会引起动量守恒。
2、对称性：
通俗地说：执行某项操作后，系统仍然与操作前“一模一样”。
例如，如果您围绕其中心绕一个圆，它将与以前完全相同。 因此我们说圆的圆周在任何角度都具有旋转对称性。 如果你敲掉这个圆上的一个小点，它的对称性就会降低。 只有旋转360度，破坏的圆才会和旋转前一样。
3、相图：
见文字说明。
引申：“相图”的概念在求解非线性振动方面有很多应用，延伸到“极限环”、“吸引子”、“庞加莱截面”、“混沌”等概念。 不仅如此高中物理单摆图像变化问题，“相空间”的概念在理论力学和热力学统计物理中也发挥着重要作用。
参考
【1】《新概念物理教程-力学》
