这次我们来回顾一下振动部分。
我们首先从与振动相关的微分方程开始
可以参考这部分的相关推导（考前没有时间就不看）
虽然是二阶线性常微分方程，但是求解起来很不方便，所以建议直接背公式即可。
常见的机械振动模型有简谐振动、阻尼振动和受迫振动三种。
1、简谐振动
高中时我们很熟悉简谐运动，对应的微分方程为
begin{}frac{{d}^2x}{{d}t^2}+frac{k}{m}x=0 end{}
解是一个三角量： x=Acos(omega t+)
其中，omega=sqrtfrac{k}{m}、A和需要通过额外的初值条件来确定。
对于这个量，我们面临的第一个问题是找到方程本身所代表的值 - Ω
第二步，在求解完Ω后，通过初值条件求解A和。
这里所说的初值条件一般是指某一时刻简谐振动质点相对于原点的位置，以及该点相对于原点的速度。
我们来看下面的例子
10-6
该问题的解决遵循上述流程。
去掉匀速下降的约束后，钢丝绳加上重量就相当于一个弹簧。 我们可以很容易地找到这个弹簧振荡器的 Ω。
omega=sqrtfrac{k}{m}=sqrtfrac{5.78^6}{1.5^4} rm rad/s=19.63 rm rad/s
下一步是通过初始值条件计算振幅A，从而计算出最大张力。
这里的初值条件是在钢丝绳卷起的瞬间，系统开始做简谐振动。 此时重物的速度最大，处于简谐振动的平衡位置。 因此，我们有
v_0=omega A=15rmm/min=0.25rmm/s
A=frac{v_0}{omega}=0.0127 rm m
我们可以知道，当重物向下运动到达最低点时，我们可以得到最大的拉力
T_{max}=mg+kA=2.21^5rmN
这道题是一个比较简单的应用。 接下来，让我们看看一些更复杂的应用程序。
10-7
这个问题解决起来有点棘手，但也有道理。
找到 Ω 的第一步相对简单。由于物体在撞击平板之前才开始简谐振动，因此我们有
omega=sqrtfrac{k}{m+m_0}
当它落在盘子上的那一刻，结合胡克定律，我们可以找到位置坐标
x_0=Acos=-frac{mg}{k}
结合动量守恒定律，我们还可以求解出相应的
v_0=-Aomega sin=frac{m}{m+m_0}·sqrt{2gh}
由此我们可以得知
A=sqrt{x_0^2+(frac{v_0}{omega}})^2=sqrt{(frac{mg}{k})^2+frac{2m^2gh}{(m +m_0)k}}=frac{mg}{k}sqrt{1+frac{2kh}{(m+m_0)g}}
tan=frac{-v_0}{omega x_0}=sqrt{frac{2hk}{(m+m_0)g}}
这里可以使用反三角函数快速找到吗？ 事实上，这是不可能的。
在此之前，我们必须确定初始相位角的位置。 这里，由于0">x_00，我们的实际上位于第三象限，因此，我们不能简单地直接对三角函数求反，我们还应该在前面加上一个pi才可以写公式。
最后我们得到
x=Acos(omega t+)=frac{mg}{k}sqrt{1+frac{2kh}{(m+m_0)g}}cos(sqrt{frac{k} {m+m_0}}t+[sqrt{frac{2hk}{(m+m_0)g}}+pi])
（公式最终改得面目全非）
接下来我们继续进行相关计算
10-8
这道题也用了和之前一样的方法。
第一步计算Ω，进一步直接计算相关物理量（如周期、频率等）
无论是第一种情况还是第二种情况，我们都有
omega=sqrt{frac{k}{m+m_0}}
相应的周期
T=frac{2pi}{omega}=2pisqrtfrac{m+m_0}{k}
第二步也是根据初值条件求解振幅和振动能量。
对于问题中的第一种情况，落在m_0上后没有能量损失。
此时简谐振动的振幅不变，仍为A，能量不变，仍为frac{1}{2}kA^2
对于问题中的第二种情况，能量损失发生在落在 m_0 上之后。
在这种情况下，简谐振动的振幅将会改变。
我们先来计算一下能量损失：
Delta E=frac{1}{2}(m+m_0)(frac{}{m+m_0})^2-frac{1}{2}^2=-frac{1}{2 }^2(frac{m}{m+m_0})=-frac{1}{2}frac{m}{m+m_0}kA^2
因此剩余能量为
E'=E_0+Delta E=frac{m}{m+m_0}E=frac{m}{m+m_0}·frac{1}{2}kA^2
由此我们得到
A'=sqrtfrac{2E'}{k}=sqrt{frac{m}{m+m_0}}A
接下来是一些更奇怪的模型
为了解决这些问题，我们不得不求助于动力学分析的方法（学理论力学的请不要认真）。
10-10
乍一看，这个问题似乎与和谐振动无关。 这说明我们需要仔细地从问题中挖掘出相关的微分方程，得到类似于简谐振动的运动方程，最终得到相关的公式。
对于这类问题，我们通常会计算偏差状态下的恢复力，这样计算出对应的值。
废话不多说，我们先分析一下受力。 假设偏移后杆中心C到杆中心O的距离为x（右边为正方向）
整个杆子垂直受力均衡
F_{N_1}+F_{N_2}=G
对于两轮中点O处的力矩平衡，我们有
F_{N_1}·d+G·x=F_{N_2}·d
横向上，我们有
F_{f_1}-F_{f_2}=mu(F_{N_1}-F_{N_2})=ma
因此我们有
ma=mu(F_{N_1}-F_{N_2})=mu G ·(-frac{x}{d})=-frac{mu G}{d}x
a=-frac{mu g}{d}x
即begin{}frac{{d}^2x}{{d}t^2}+frac{ mu g}{d}x=0 end{}
现在可以证明这个运动是简谐运动。
由此我们可以得到
omega=sqrt{frac{mu g}{d}},qquad T=2pisqrt{frac{d}{mu g}}
如果两个轮子以相反的方向旋转，我们有
begin{}frac{{d}^2x}{{d}t^2}-frac{ mu g}{d}x=0 end{}
由此我们得到
frac{{rm d}v}{{rm d}t}=frac{mu gx}{d}
两边同时除以v，有
frac{{rm d}v}{{rm d}t}frac{{rm d}t}{{rm d}x}=frac{mu gx}{d·v}
v{rm d}v=frac{mu g}{d}x{rm d}x
积分得到 v=sqrt{frac{mu g}{d}(x^2-x_0^2)}，其中 x_0 是轻微偏移后杆中心的初始坐标。
我们来看一些更典型的例子
此时同样的方法，我们首先计算omega
列出动力学方程
恢复力 F=-(k_1x+k_2x) \ a=-frac{k_1+k_2}{m}x
因此我们有omega=sqrtfrac{k_1+k_2}{m}
根据初值条件，可以得出A=x_0, =0
最后我们得知A是正确选项。
上述情况相当于两个弹簧串联后的情况。
接下来我们看一下两个弹簧并联的情况
通过计算恢复力，我们得到如下相同的结论。
F=-(k_1x+k_2x) \ a=-frac{k_1+k_2}{m}x
我们最终得到的结果与串联一致
此外，还有一些单摆和复摆，在摆角很小时，符合简谐振动的相关定律。
对于单摆大家应该都非常熟悉了。 高中选修3-4的同学应该已经解出了它的角频率和周期。
假设摆球的质量为m，偏转角为θ，摆的长度为l
ma=mlddot{theta}=-mgsintheta -mgtheta
得到ddottheta+frac{g}{l}theta=0
omega=sqrtfrac{g}{l}, T=2pi sqrtfrac{l}{g}
我们来看看复摆。 我们直接看前面的例子。
10-11日
图中左侧的杆与圆盘固定连接，右侧的杆通过铰链与圆盘连接。
分析此时的受力，我们可以看到左边的杆和圆盘形成一个大刚体，属于复摆的范畴。 右边的杆是一个二力杆，相当于一根绳子，实际上是一个简单的摆模型。 应用前面的结论就够了。
我们关注左边的复摆。
如果悬挂点与重心的连线有轻微的角度偏差theta
此时的恢复力矩应为M=-mglsintheta-mgltheta，其中l为悬挂点到重心的距离。
又由于刚体旋转定律（相当于刚体中的牛顿第二定律），设刚体围绕悬挂点的转动惯量为J
M=Jalpha, alpha=ddottheta
因此我们有ddot theta+frac{mgh}{J}theta=0
omega=sqrtfrac{mgh}{J}, T=2pi sqrtfrac{J}{mgh}
具体在这个问题中
h=l+r , J=frac{1}{2}mr^2+m(l+r)^2 （使用平行轴定理）
所以
T=2pi sqrtfrac{J}{mgh}=2pisqrtfrac{frac{1}{2}mr^2+m(l+r)^2}{mg(l+ r )}=2pi sqrt{frac{r^2+2(l+r)^2}{2g(l+r)}}=2pisqrt{frac{r^2}{ 2g (l+r)}+frac{l+r}{g}}
右边摆的周期是
T_0=2pisqrtfrac{l+r}{g}
可以看出，这种复摆的周期比单摆略有增加。
接下来我们看一个简单复杂的问题
这里的h=frac{1}{2}l, J=frac{1}{3}ml^2可以通过带入复摆的公式来求解。
T=2pisqrtfrac{J}{mgh}=2pisqrtfrac{frac{1}{3}ml^2}{mg frac{l}{2}}=2 pisqrtfrac{2l}{3g}。
2、阻尼振动和受迫振动
阻尼振动和受迫振动的公式比较复杂，你不太可能参加考试。 您只需要了解一些基本概念即可。
振动方程如下所示（阻尼振动方程右侧为0）
begin{}frac{{d}^2x}{{d}t^2}+frac{gamma}{m}frac{{d}x}{{d}t}+ frac{k}{m}x=frac{F_0cos(omega t)}{m} end{}
我们先跳过这里的推导过程，这里引入一个非常重要的阻尼系数δ。
delta=frac{gamma}{2m}，它不仅是讨论阻尼类型的重要基础，也是阻尼振动方程的重要组成部分。
这里我们还是习惯性地假设omega=sqrtfrac{k}{m}
当0">delta^2-omega^2>0时，特征方程有两个不相等的实根，在没有外力驱动时，属于过阻尼情况。
当δ^2-omega^2=0时，特征方程有两个相等的实根，这是不受外力驱动时的临界阻尼情况。
当 δ^2-omega^2 时，特征方程有两个复根，在没有外力驱动时，属于欠阻尼情况。
其中，只有欠阻尼有往复运动。 我们有
阻尼下 x(t)=A_0{rm e}^{-delta t}cos(omega't+')
其中，omega'=sqrt{omega^2-delta^2}，其他量由初值条件确定。
在受迫振动过程中，经过一段时间后，振子的振动频率将基本与外力的频率相同，但振幅和相位仅取决于振子的性质、阻尼的大小以及驱动力的特点。 无需额外确定初始值条件。
当外力的频率与振荡器的固有频率近似相同时，就会发生共振。
共振分为两种：速度共振和位移共振。 这里直接得出结论。
速度共振圆频率与自然圆频率相同
位移共振圆频率=sqrt{^2-2delta^2}。
这里考的概率很低，所以我不会问任何问题。
3.简谐振动的合成
主要分为同频共线、异频共线和非共线三种情况。
对于同频率、同线方向振动的两个量的合成，我们可以直接输入公式，也可以采用类似矢量合成的方法。
通过使用公式方法进行暴力合成，我们有
x_1=A_1cos(omega t+)
x_2=A_2cos(omega t+)
x_1+x_2=A_1cos(omega t+)+A_2cos(omega t+)=A'cos(omega t+')
其中 A'=sqrt{A_1^2+A_2^2-cos(-)}
tan '=frac{A_1sin+A_2sin}{A_1cos+A_2cos}
对于不同频率共线振动的合成，可以采用和差积法来实现。
x_1=A_1cos(t+)
x_1=A_2cos(t+)
x_1+x_2=A_1cos(omega t+)+A_2cos(omega t+)=A'cos(frac{-}{2} t)cos(frac{+ }{2} t+')
将此波形视为调制（使用 cos(frac{-}{2} t) 来调制 cos(frac{+}{2} t+') ），我们可以将 A ' cos(frac{-}{2} t) 视为振幅高中物理单摆和振子，则振幅绝对值的变化频率为
2(frac{}{2\pi}-frac{}{2\pi})=|nu_1-nu_2| ，这个频率也称为拍频（假设 |nu_1- nu_2| 相对较小）。
对于不共线的两个简谐波，
综合之后高中物理单摆和振子，我们一般可以得到一些比较复杂的图形（同频率下的利萨如图形、椭圆或者直线，不同频率下比较通用的利萨如图形）
当 fy:fx=2:1 时的利萨如图
让我们看一个例子
这道题我们可以用公式的方法，但是比较麻烦，而且容易把符号弄错。 因此，在使用公式之前，我们可以通过画图大致弄清楚各个振动与组合振动之间的关系。
建立坐标系，将一阶简谐振动的初始相位设为0，可以得到如下向量关系图
这样关系就清楚了。 比较容易理解的是，第二个向量是向量{CB}，它等价于向量{AD}，所以我们可以很容易地计算出对应的值。
A_2=10rm厘米
-=-frac{pi}{2}
