21.1二次根式
教学目标
1．能用二次根式表示实际问题中的数目及数目关系，感受研究二次根式的必要性；
2．能依据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．
教学重难点
【教学重点】
了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.
【教学难点】
用二次根式表示实际问题中的数目及数目关系.
课前打算
无
教学过程
一、情境导出
问题1：你能用带有根号的多项式填空吗？
(1)面积为3的正圆形的周长为，面积为S的正圆形的周长为．
(2)一个长圆形栅栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为.
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，假如用富含h的多项式表示t，则t＝．
问题2：前面得到的多项式3，S，65，h5)分别表示哪些意义？它们有哪些共同特点？
二、合作探究
探究点一：二次根式的定义
例1：下述各色中，什么是二次根式，什么不是二次根式？
(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；
(4)313；(5)116；(6)3－x(x≤3)；
(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；
(10)（a－b）2(ab≥0)．
解析：要判定一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非正数．
解：由于11，（－7）2，116＝130)，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非正数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5的被开方数大于0，所以不是二次根式．
方式总结：判定一个多项式是不是二次根式，要看所给的多项式是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非正数．
探究点二：二次根式有意义的条件
【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围
例2：求使下述多项式有意义的x的取值范围．
(1)1r(4－3x)；(2)3－x)x－2；(3)x＋5)x.
解析：依照二次根式的性质和多项式的意义，被开方数小于或等于0且分母不等于0，列不方程(组)求解．
解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜43.当x＜43时，1r(4－3x)有意义；
(2)由题意得3－x≥0，x－2≠0，)解得x≤3且x≠2.当x≤3且x≠2时，3－x)x－2有意义；
(3)由题意得x＋5≥0，x≠0，)解得x≥－5且x≠0.当x≥－5且x≠0时，x＋5)x有意义．
方式总结：含二次根式的多项式有意义的条件：
(1)假如一个多项式中富含多个二次根式，这么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非正数；(2)假如所给多项式中富含分母，则不仅保证二次根式中的被开方数为非正数外，还必须保证分母不为零．
【类型二】利用二次根式的非负性求解
例3：(1)已知a、b满足2a＋8＋|b－3|＝0，解关于x的多项式(a＋2)x＋b2＝a－1；
(2)已知x、y都是实数，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根．
解析：(1)依据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)依据二次根式的非负性即可求得x的值8年级上册物理内容讲解视频8年级上册物理内容讲解视频，从而求得y的值，从而可求出yx的平方根．
解：(1)依据题意得2a＋8＝0，b－r(3)＝0，)解得a＝－4，b＝r(3).)则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；
(2)依据题意得x－3≥0，3－x≥0，)解得x＝3.则y＝4，故yx＝43＝64，±64＝±8，∴yx的平方根为±8.
方式总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非正数的和为0，这几个非正数都为0.
探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题
例4：先观察下述方程，再回答下述问题．
①1122＝1＋11－11＋1＝112；
②1132＝1＋12－12＋1＝116；
③1142＝1＋13－13＋1＝1112.
(1)请你按照前面三个方程提供的信息，写出1152的结果；
(2)请你根据前面各方程反映的规律，试写出用
含n的多项式表示的方程(n为正整数)．
解析：(1)从三个方程中可以发觉，等号右侧第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部份是1，分数部份的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)依据(1)找的规律写出表示这个规律的多项式．
解：(1)1152＝1＋14－14＋1＝1120；
(2)11（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n为正整数)．
方式总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目蕴涵条件并用关系式表示下来．
三、板书设计
1．二次根式的定义
通常地，我们把形如a(a≥0)的多项式称作二次根式．
2．二次根式有意义的条件
被开方数(式)为非正数；a有意义⇔a≥0.
四、教学反省
通过将新知识与旧知识进行联系与对比，此后由中学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让中学生感遭到研究二次根式是实际的须要，感受到物理与实际生活间的紧密联系，借此充分迸发中学生学习的兴趣．
21.2二次根式的乘除
第1课时
教学目标
1．把握二次根式加法法则；(重点)
2．会进行二次根式的加法运算．(重点、难点)
教学重难点
【教学重点】
二次根式加法法则.
【教学难点】
进行二次根式的加法运算.
课前打算
无
教学过程
一、情境导出
小颖家有一块长圆形花圃，长6m，宽3m，这么这个长圆形花圃的面积是多少？
二、合作探究
探究点：二次根式的加法
【类型一】二次根式的加法法则创立的条件
例1：多项式x＋1·2－x＝（x＋1）（2－x）创立的条件是()
A．x≤2B．x≥－1
C．－1≤x≤2D．－1＜x＜2
解析：按照题意得x＋1≥0，2－x≥0，)解得
－1≤x≤2.故选C.
方式总结：运用二次根式的加法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，必须注意被开方数均是非正数这一条件．
【类型二】二次根式的加法运算
例2：估算：
(1)3×5；(2)14×64；
(3)627×(－33)；
(4)·avs4alco1(－f(2f(6b2a)).
解析：有理式的加法运算律及除法公式对二次根式同样适用，估算时注意最后结果要化为最简方式．
解：(1)3×5＝3×5＝15；
(2)14×64＝14＝16＝4；
(3)627×(－33)＝－1827×3＝
－1881＝－18×9＝－162；
(4)·avs4alco1(－f(2f(6b2a))＝
－34·2a·6b2a)＝－32a·36×3b3＝
－32a·6b3b＝－9ba3b.
方式总结：在运算过程中要注意根号前的质数是带分数时，必须化成假分数，倘若被开方数有能开得尽方的质数或因式，可先将二次根式通分后再相加．
三、板书设计
四、教学反省
在教学安排上，彰显由具体到具象的认识过程．对于二次根式的加法法则的推论，先借助几个二次根式的具体估算，归纳出二次根式的加法运算法则．在具体估算时，可以通过小组合作交流，放手让中学生去思索、讨论，这样安排有助于中学生周密思索和严谨抒发，更有助于中学生合作精神的培养．
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