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单元 1 图形的转换
图形变换的基本方法是平移、对称和旋转。
1、轴对称：如果一个图形沿一条直线对折，且两部分完全重合，这样的图形称为轴对称图形，这条直线称为对称轴。
(1)学过的轴对称平面图形：长方形(长方形)正方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形……
等腰三角形有一个对称轴，
等边三角形有 3 个对称轴，
矩形有 2 个对称轴，
正方形有 4 个对称轴，
等腰梯形有一个对称轴，
任何梯形和平行四边形都不是轴对称图形。
(2) 圆有无数条对称轴。
(3) 对称点到对称轴的距离相等。
(4)轴对称图形的特征和性质：
①对应点到对称轴的距离相等；
②对应点的连线垂直于对称轴；
③对称轴两侧图形的大小和形状完全相同。
(5)对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。 平行四边形（棱柱除外）是中心对称图形。
2、旋转：在平面内，一个图形绕一个顶点旋转一定角度，以获得另一个图形的变化。 固定点O称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角度。 原图形上的一个点旋转后，就变成了另一个点，就变成了对应的点。
(1)生活中的旋转：电风扇、轮子、纸风车
(2)旋转点、角度、方向必须明确。
(3)长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。 等边三角形绕中点旋转120度，与原来的形状一致。
旋转的性质：
(1)图形的旋转是图形上各点绕平面上固定点作固定角度的位置运动；
(2)对应点到旋转中心的距离相等；
(3)旋转前后图形的大小和形状不发生变化；
(4)两组对应点与旋转中心连线所成的角度相等，且都等于旋转角度；
(5) 旋转中心是唯一不移动的点。
3.如何画对称和旋转：注意旋转：顺时针、逆时针、度数
第 2 单元 因数和倍数
1、整数除法：被除数、除数、商都是自然数，没有余数。
整数与自然数的关系：整数包含自然数。
2、因数和倍数：当大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
示例：12 是 6 的倍数，6 是 12 的因数。
(1) 如果数 a 能被 b 整除，则 a 是 b 的倍数，b 是 a 的因数。 因子和倍数是相互依存的，不能独立存在。
（2）一个数的因数数量是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
如何求一个数的因数：按顺序成对地求它们。
(3) 一个数的倍数是无限的，最小的倍数就是它本身。
如何求一个数的倍数：将自然数依次相乘。
(4)2、3、5的倍数的特征
1）个位数为0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
2）如果一个数的各位数字之和是3的倍数，则该数是3的倍数。
3）个位数为0或5的数是5的倍数。
4）能同时被2、3、5（即2、3、5的倍数）整除的最大两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数。 事实上，它是2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那么它的个位数一定是0。
3、完全数：除自身以外的所有因数之和等于自身的数称为完全数。
例如：6的因数为：1、2、3（6除外），正好1+2+3=6，所以6是完全数，小完全数包括6、28等。
4：自然数按照能否被2整除来划分：奇数和偶数。
奇数：不能被2整除的数，称为奇数。 即个位数为1、3、5、7、9。
偶数：能被2整除的数称为偶数（0也是偶数），即个位数为0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是 1，最小的偶数是 0。
关系：奇数+、-偶数=奇数
奇数+、- 奇数=偶数
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的多少分为四类：素数、合数、1、0。
素数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身之外，还有其他因素（至少三个因素：1、它本身、其他因素）。
1：只有1个因素。 “1”既不是质数也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，两个连续的质数是2和3。
每个合数都可以通过几个素数相乘得到，并且素数相乘必然得到一个合数。
20 以内的质数：8 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19)
100以内有25个质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
查找 100 以内的素数和合数的技巧：
看看是不是2、3、5、7、11、13……的倍数，如果是，就是合数，如果不是，就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
素数 × 素数 = 合数
6. 最大值和最小值
A的最小因数为：1；
A的最大因数为：A；
A的最小倍数为：A；
最小的自然数是：0；
最小的奇数是：1；
最小的偶数是：0；
最小的质数是：2；
最小的总和是：4。
7、分解质因数：将一个合数分解为多个质数相乘的形式。
使用短除法来分解素数（合数写为几个素数的乘积）。
例如：30的质因数为：(30=2×3×5)
8、互质数：公因数仅为1的两个数称为互质数。
两个素数的互质：5 和 7
两个合数的互质数：8 和 9
具有一个素数和一个并集的互质数：7 和 8
两个数互质的特殊情况：
⑴1与任意自然数互质；
⑵相邻的两个自然数互质；
⑶两个素数必须互质；
⑷2 与所有奇数互质；
⑸质数与较小的合数互质；
9.公因数、最大公因数
几个数的公因数称为这些数的公因数。 其中最大的一个称为它们的最大公因数。
使用短除法求两个或三个数字的最大公因数（除以它们互质，然后将所有除数相乘）
如果几个数的公因数仅为 1，则称它们互质。
如果两个数是倍数，则较小的数就是它们的最大公因数。
如果两个数互质，那么1就是它们的最大公因数。
10.公倍数、最小公倍数
几个数的公倍数称为这些数的公倍数。 其中最小的一个称为它们的最小公倍数。
使用短除法求两个数的最小公倍数（除以互质，然后将所有除数和商相乘）
使用短除法求三个数的最小公倍数（除以两个数互质，然后将所有除数和商相乘）
如果两个数是倍数，则较大的数是它们的最小公倍数。
如果两个数互质，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。
11.求最大公因数和最小公倍数的方法
以12和16为例
1. 方法一：（列出寻求同意的方法）
如何求最大公因数：
12 的因数是： 1, 12, 2, 6, 3, 4
16 的因数是： 1, 16, 2, 8, 4
最大公因数是4
如何求最小公倍数：
12 的倍数有：12、24、36、48……
16 的倍数有：16, 32, 48,…
最小公倍数是 48
2、方法二：（素因数分解）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：
2×2=4（同乘法）
最小公倍数是：
2×2×3×2×2= 48（同乘×异乘）
第三单元 长方体和正方体
1、由6个矩形（特殊情况下两个相对的面为正方形）围成的三维图形称为长方体。 两个面相交的边称为边。 三条边相交的点称为顶点。 相交于一个顶点的三条边的长度分别称为长方体的长、宽、高。
长方体的特点：
(1) 有 6 个面、8 个顶点、12 条边。 相对面的面积相等，相对边的长度也相等。
(2)长方体最多有6个面是长方形完全相同的两个图形，至少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个相同的正方形围成的三维图形称为正方体（也称正方体）。
立方体特点：
(1) 正方体有 12 条边，且边长都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，并且每个面的面积相等。
(3) 正方体可以说是长、宽、高相等的长方体。 这是一个特殊的长方体。
3、长方体、正方体边长计算公式：
长方体的边长之和=（长+宽+高）×4=长×4+宽×4+高×4
L=(a+b+h)×4
长度 = 边长总和 ÷ 4 - 宽度 - 高度
a=L÷4－b－h
宽度 = 边长之和 ÷ 4 - 长度 - 高度
b=L÷4-ah
高度 = 边长总和 ÷ 4 - 长度 - 宽度
h=L÷4-ab
正方体的边长之和 = 边长 × 12
L=a×12
立方体的边长=边长之和÷12
a=L÷12
4、长方体或正方体的六个面的总面积称为其表面积。
长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）
长方体的表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2(ah+bh)+ab
无底无盖长方体的表面积=（长×高+宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
墙纸
立方体的表面积=边长×边长×6 S=a×a×6 用字母表示：S=6a2
现实生活：
油箱、罐头等都有6面
游泳池、鱼缸等只有5面
水管、烟囱等只有4个面。
注1：用刀分离物体时，每次多加两条边。 （表面积相应增加）
注2：如果长方体或正方体的长、宽、高同时扩大数倍，则表面积将扩大倍数的平方。
（例如，如果长、宽、高各扩大2倍，则表面积将扩大为原来的4倍）。
5、物体所占空间的大小称为物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高V=abh
长度 = 体积 ÷ 宽度 ÷ 高度 a = V ÷ b ÷ h
宽度 = 体积 ÷ 长度 ÷ 高度 b = V ÷ a ÷ h
高度 = 体积 ÷ 长度 ÷ 宽度 h = V ÷ a ÷ b
立方体的体积=边长×边长×边长
V=a×a×a = a3
发音为“a 立方”，意思是乘以三个 a，（即 a·a·a）
长方体或正方体的底面积称为底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示：V=S·h（横截面积相当于底面积，长度相当于高度）。
注意：长方体和正方体的边长之和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳的物体的体积通常称为其体积。
固体一般用体积单位来衡量液体的体积，如水、油等。
常用的体积单位是升和毫升，也可写成L和ml。
1 升 = 1 立方分米
1 毫升 = 1 立方厘米
1 升 = 1000 毫升
(1L=1dm3 1ml=1cm3)
长方体或正方体容器的体积计算方法与体积相同。
但要从容器内部测量长、宽、高。 （因此，对于同一个物体，体积大于体积。）
注意：如果长方体或正方体的长、宽、高同时扩大数倍，则体积将扩大该倍数的立方倍。
（例如，如果长、宽、高各扩大2倍，则体积将扩大到原来的8倍）。
*不规则形状物体的体积可以用排水法计算，规则形状物体的体积可以直接用公式计算。
排水法计算公式：
V对象=V现在-V原来
您还可以使用 V = S × (h now - h )
V物体=S×h上升
8.【体积单位换算】
大单位×进度=小单位
小单位 ÷ 进度 = 大单位
输入速率：1立方米=1000立方分米=立方厘米（相邻立方米输入速率为1000）
1 立方分米 = 1000 立方厘米 = 1 升 = 1000 毫升
1 立方厘米 = 1 毫升
1 平方米 = 100 平方分米 = 10,000 平方厘米
1 平方公里 = 100 公顷 = 平方米
注：长方体和正方体的关系
将长方体或正方体切成几个小长方体（或正方体）后，表面积增大，但体积保持不变。
重量单位进给量、时间单位进给量、长度单位进给量
大单位×进度=小单位
小单位 ÷ 进度 = 大单位
长度单位：
1 公里 = 1000 米 1 分米 = 10 厘米
1 厘米 = 10 毫米 1 分米 = 100 毫米
1 米 = 10 分米 = 100 厘米 = 1000 毫米
（相邻单位推进率10）
面积单位：
1 平方公里 = 100 公顷
1 平方米 = 100 平方分米
1 平方分米 = 100 平方厘米
1公顷=10000平方米（相邻平方米率为100）
质量单位：
1吨=1000公斤
1 公斤 = 1000 克
人民币：
1元=10分 1分=10分 1元=100分
第四单元 分数的意义和性质
1、分数的含义：一个物体、一个物体等都可以看成一个整体。 如果整体被分成几个部分，那么这一个或几个部分就可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常称为单位“1”。 （即等分的就是单位“1”。）
3、小数单位：将单位“1”均分为几份，代表其中一份的数称为小数单位。 例如，4/5的分数单位是1/5。
4. 分数和除法
A÷B=A/B（B≠0，除数不能为0，分母不能为0）例如：4÷5=4/5
5. 真分数、假分数和带分数
1.真分数：分子小于分母的分数称为真分数。真分数
2、假分数：分子大于分母或分子与分母相等的分数称为假分数。 假分数≧1
3、带分数：带分数是由整数和真分数组成的分数。 混合分数>1。
4.真分数<1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6.假分数到整数和带分数的转换
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商为整数，余数为分子，如：
(2) 将整数转换为假分数，并将整数乘以分母得到分子，如：
(3) 要将带分数转换为假分数，请将整数乘以分母并加上分子。 得到的数就是假分数的分子，分母不变，如：
(4) 1 等于任何分子和分母相同的分数。 喜欢：
7. 分数的基本性质：
当分数的分子和分母乘以或除以同一个数（0除外）时，分数的大小保持不变。
8、最简单分数：分数的分子和分母只有一个公因数1。这样的分数称为最简单分数。
如果分母中除了 2 和 5 之外没有其他质因数，那么最简单的分数可以转换为有限小数。反之则不可能。
9. 约简：将一个分数转化为与其相等但分子和分母都较小的分数，称为约简。
例如：24/30=4/5
10、普通分数：将不同分母的分数化成与原分数相等的同分母分数，称为普通分数。
例如：2/5和1/4可以转换为8/20和5/20
11.分数和小数的转换
(1)小数化分数：统计小数位数。 分母为10完全相同的两个图形，保留一位小数； 有两位小数，分母是 100...
喜欢：
0.3=3/10 0.03=3/100 0.003=3/1000
(2) 将分数转换为小数：
方法一：将分数转换为分母10、100、1000...
例如：3/10=0.3 3/5=6/10=0.6
1/4=25/100=0.25
方法 2：使用分子 ÷ 分母
例如：3/4=3÷4=0.75
(3) 将带分数转换为小数：
先把整数后面的分数化成小数，然后加上整数
12、尺寸比例：
如果分母相同，分子越大，分数就越大；
分子相同，分母小，所以分数就大。
比较分数的一般方法：同分子比较； 除以小数后进行比较； 与小数比较。
13. 分数化简涉及两个步骤：一是约简，二是化简。 另一种是将假分数转换为整数或带分数。
1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75
1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6
4/5=0.8
1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.04
14、判断两个数是否互质的特殊方法：
① 1和任何大于1的自然数互质。
② 2 和任意奇数都是互质数。
③ 两个相邻的自然数是互质数。
④ 相邻的两个奇数互质。
⑤ 两个不相同的质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是素数时（合数是素数的倍数时除外），一般这两个数也是互质的。
15.求最大公因数的方法：
①倍数关系：最大公因数为较小的数。
② 互素关系：最大公因数为1
③一般关系：从大到小，看较小数的因数是否是较大数的因数。
16.分数知识图解：
