由于陀螺仪始终在旋转,当它受到外部扭矩时,其运动变化与常识理解不符。 如下图所示,圆盘代表转子,绕轴线ss'旋转。 当绕 tt' 轴的力偶施加到圆盘上时,转子的旋转轴绕 pp' 轴旋转,这就是进动。
定性描述
假设施加脉冲偶,则圆盘在施加脉冲偶时获得绕tt'轴的角速度。 取圆盘上的点P1,则点P1即得到线速度w。 由于圆盘具有围绕 ss' 轴的初始角速度,因此点 P1 具有初始速度 u。 u和w的速度之和为v。从图中可以看出,点P1会移动到点P2,最终的效果是圆盘绕pp'旋转一定角度。从角速度合成的角度来看,如下图所示,我们还可以看到脉冲偶的作用使得
绕pp'轴旋转,即转子旋转轴向靠近联轴器轴线tt'的方向旋转。 (这里转子的转速增加,因为脉冲偶的幅度是无穷大)
定量描述
设转子沿a轴方向的初始角动量为H。 假设有一个扭矩 T 作用在转子上,导致转子绕 c 轴以速率 ω 进动。 dt时刻后,进动角为ωdt,角动量为H+dH,沿b轴方向,如下图所示,其中力矩的作用方向不一定垂直于a轴。
设a、b、c分别为a、b、c轴的单位向量。 dt 时间之后,我们有:
但:
现在:
取决于:
必须:
可以看出,扭矩T的一个分量改变了角动量的方向,而b轴上的另一个分量导致旋转速率加快。 特别是,对于有限尺寸T,当T垂直于H时,dH/dt = 0,扭矩仅改变角动量的方向。 进动角速度 ω 垂直于力矩和旋转轴。
在真实的陀螺仪中,
这通常可以忽略不计,因为它被陀螺仪旋转电机的影响所抵消。 所以:
或写成标量形式
逆进动原理
根据角动量定理,如果粒子系统不受外部力矩作用,则其角动量守恒。 注意,这里的恒定角动量是相对于惯性空间而言的。 因此,当壳体旋转一定角度时,转子轴线与壳体轴线不再一致,如下图所示。 当对转子施加可控扭矩T(如电磁扭矩)时,转子轴进动陀螺仪角动量守恒,进动角速度与壳体角速度相同陀螺仪角动量守恒,即转子轴相对于壳体不移动。 此时,根据初始角动量H和扭矩T,即可得到转子的进动角速度,即壳体的角速度。 这就是逆进动的原理。