如图1所示，假设杠杆左端的重量为m_1g，则力臂L_1； 杠杆右端的重量为m_2g，力臂L_2； 杠杆与水平线之间的夹角θ，则系统绕支撑件的转动惯量：
J=^2+^2
系统受到支撑力矩的影响：
M=costheta-costheta
=(-)gcostheta
杠杆转动的动力学方程为：
M=Jddot{theta}
代入 J,M 表达式我们得到：
ddot{theta}=pcosthetaqquad(1)
其中参数：
p=frac{(-)g}{^2+^2}
积分式(1)可得：
dot{theta}^2=2psintheta+dot{}^2-2psin
假设系统在水平位置θ=0处从静止释放，并以此作为初始状态，则：
=点{}=0
因此有：
dot{theta}^2=2psinthetaqquad(2)
假设杠杆系统的质心距支座的距离L_c，则：
L_c=frac{-}{m_1+m_2}
写出系统质心向右上方的位置坐标：
x=-L_ccostheta;y=-L_csintheta
用它来计算质心加速度：
ddot{x}=L_c(costhetadot{theta}^2+sinthetaddot{theta})
ddot{y}=L_c(sinthetadot{theta}^2-costhetaddot{theta})
考虑方程（1）和（2），质心加速度相对于旋转角度的函数为：
ddot{x}=3pL_csinthetacostheta
ddot{y} =-pL_c(1-3sin^2theta)
注意到支架的水平和垂直支撑力分别为N_x、N_y陀螺力矩计算公式，则杠杆系统的平动动力学方程为：
N_x=(m_1+m_2)ddot{x}=3pL_c(m_1+m_2)sinthetacostheta
N_y-(m_1+m_2)g=(m_1+m_2)ddot{y}
=-(m_1+m_2)pL_c(1-3sin^2theta)
整理并得到支撑反力的通式：
begin{cases} N_x=(m_1+m_2)gleft(frac{3}{2}etasin2thetaright)\ N_y=(m_1+m_2)gleft[1-eta (1-3sin^2theta)right] end{情况} qquad(3)
其中，无量纲参数为：
eta=pL_c/g=frac{(-)^2}{(^2+^2)(m_1+m_2)}in[0,1]
它反映了杠杆系统的失衡程度。 eta=0 代表平衡杠杆。 η越大表示不平衡程度越大。 eta=1代表最严重的不平衡程度。
2. 计算示例
本题已知：m_1g=m_2g=100N 且L_1=1m；L_2=2m。 据此，计算系统不平衡测量参数：
eta=frac{(L_1-L_2)^2}{2(L_1^2+L_2^2)}=0.1
以及总重量：
(m_1+m_2)g=200N
代入式（3）可得支撑反力：
begin{事例} N_x=30sin2theta\ N_y=200left(0.9+0.3sin^2thetaright) end{事例}
给定任意位置角θ陀螺力矩计算公式，都可以立即获得反作用力值。 容易看出，对于所有位置，反作用力值都限制在以下范围内：
begin{cases} 0leq|N_x|=|30sin2theta|leq30\ 180leq|N_y|=|200left(0.9+0.3sin^2thetaright)| 结束{案例}
可以看出，支架的垂直反作用力可以小于或大于系统自重（180N<200N<240N）。 这是因为当杠杆系统不平衡时，质心可能有向下或向上的加速度，因此系统受到不同方向的惯性力，导致支撑件的垂直反作用力在系统附近上下摆动。自身重量。
