每0.4秒投掷一个球，接住球后立即投掷。 已知除了投球和接球时外，空中共有四个球，以及球上升的最大高度。 分析：当手中没有球时，空中的球数就是表演时所用的球数。 因此，本次表演共有4个球。 由于不计算球在手中停留的时间，因此可以得出，当第一个球正好回到手中时，每个球在空中的分布。 如图所示高中物理竞赛培训，第三个球处于最高点，2号球和4号球处于同一高度。 由于上半场平均速度小，后半场平均速度大，2、4号球位于半高以上。 每个球在空中上升的时间是经过t=nt的时间后落回手中，经过t=T/2=nt/2的时间后上升到最高点，所以最大高度。 例：拍摄电影时，为了拍摄下落物体的特写，制作了一条线长为1的线。 /49实际模型。 播放电影时，影片速度为每秒24帧。 为了使动画逼真，拍摄时的胶片速度应该是多少？ 模型的速度应该是真实物体速度的多少倍？ 假设t时刻下落物体的高度为h，模型在t0时刻下落到对应的高度h0，则从自由落体公式应使用的辅助条件可以看出，模型运动时间应为放映电影时被“放大”7倍。 ，让人们在观看电影时能够享受到逼真的画面。 因此，拍摄电影时，拍摄速度应为投影时胶片速度的7倍。
又假设物理物体在一定时间t内以速度υ经过位移s，则模型对应的量为时间t0、速度υ0、位移s0。 既然存在最快路径： 例1 2.什么是最快路径问题？ 问题？ 著名的“伽利略最快路径问题”： 伽利略的答案：圆弧曲线（错误） 伯努利兄弟的答案：部分滚子曲线（正确） 最快路径问题就是从两条路径中找出一条运动时间最短的路径。 一题运动时间短的题 1、如图所示，地面上有一个固定的球面，在球面斜上方的P处有一个小球。 现在我们需要确定一条从P到球面的平滑倾斜直线轨道，使得小球从静止到球面沿着轨道滑动的时间最短。 分析：先凭直觉猜一下结果？ 最快路径：示例 1 让我们首先讨论预备知识。 如图所示，靠近地面有一个空心球。 有许多光滑的直线轨迹经过顶点P到达球的内表面。 尝试证明球从静止沿任何轨迹到达球的内表面所需的时间相同。 证明：取任意轨迹PQ，PQ与水平面的夹角为φ。 PQ的长度就是下降的加速度，因此任何轨迹对应的时间都是相同的。 第10页/共50页 以P为顶点构造一个球体，并使其在Q处与给定球体相切，则线段PQ即为所需轨道。 (1)画确定线段PQ：关键是确定球心O'，过点P画垂线AB，使AP等于R，连接A和O，画垂线AB AO与直线AP相交，交点O'即为所需球的中心。 连接O'和O得到的交点为Q。 (2)证明线段PQ是你想要的：最快路径：例1 题后总结 最终的画法是困难的。 这个问题也可以用解析的方法来解答。 第11页/共50页 接下来要考虑什么？ 第12页/共50页 第13页/共50页 相关变换：在垂直平面建立直角坐标系xoy，x轴为水平，通过抛物线x2=2py的焦弦为刚体光滑轨道，a小块来自轨道上端A处没有初速度释放。 滑到轨道底端 B 所需的最短时间是多少？ 此时AB与水平面的夹角满足什么条件？ 焦点 F (0, p/2) AB 的线性方程 第 14/50 页，共 50 页 过河时流速的线性变化问题 示例：河流的宽度为 L，流速与距岸边的距离成正比，岸边流速为零，河流中心流速为v0。 一艘小船以垂直于流速方向的恒定相对速度 vr 从一侧航行到另一侧。 尝试找出船的运动轨迹。
如何确定K？ 抛物线？ 消除t，得到什么？ 第15页/共50页 带粒子的动态多边形的收敛问题 第16页/共50页 例：三个芭蕾舞演员A、B、C同时从边长为l的等边三角形的顶点出发，同时相对于地面的速度 v 正在移动。 运动过程中，A总是向B移动，B向C移动，C向A移动，三人需要多长时间才能走到一起？ 每位演员走了多远的距离？ 三个演员的运动是匀速直线运动还是匀速曲线运动？ 动作中三个演员的位置是什么关系？ 三个演员执行相同的均匀弯曲运动。 三个演员在任何时刻的位置都形成一个等边三角形。 但三角形的边越来越短。 最后三位演员在哪里见面？ 三位演员最终在三角ABC的中心相遇。 此时三角形的边长缩短为零。 研究三角形边长的变化，并尝试找出三角形边长从l缩短到零所需的时间！ ！ 第17页/共50页 将从开始到相遇的时间t分成n个小时间Δt： 假设在每次Δt之后，三角形的边长缩短： 如图所示，有一个原因基于小量近似 这是第18页/共50页 假设经过一定的小时间Δt后，三角形的边长在Δt时间内从 三角形边长缩短x′)开始变化！ 然后找出缩短率！ 这个公式中三角形的边长缩短到零所需的时间是：第19页/共50页问题1：这类问题还可以进一步推广，假设一个人同时改变边长从正方形的顶点开始，以相同的速度移动。 运动过程中，1总是向2运动，2向3运动，...(n-1)向n运动，n向1运动，他们需要多长时间才能相遇？ 问题2：如果演员的速度保持不变，加速度如何变化？ 第20页/共50页 光反射定律的类比，是用某些粒子的运动来模拟光反射的现象。 如果应用光反射定律，复杂的问题就可以简单地解决。
第21页/共50题例题，如图所示，光滑水平面上的两根刚性细棒OM和ON相交于O点，夹角为15，小球在P点，即l=20cm远离 O 在 OM 的内侧。 与MO成30度角的初速度向ON杆运动，初速度v0=10cm/s。 球能回到P吗？ 如果是的话，需要多长时间才能回到P？ 镜面反射后的光的传播相当于光沿原始入射方向的传播。 因此，光在两个平面镜之间的连续反射可以等效为光沿PP'直线传播。 小球的运动可以比喻为光在平面镜M和N之间的反射。因此，光可以沿着原来的路径返回到P点。 因此，球从P点出发，又回到P点。 总距离为PP″=2PP′。 花费的时间是Page 22 of 50。 题后总结 这个解法的本质是移动折线等，效果是直线运动，把问题简化了。 对于这个问题还有另一种常规的解决方案： 1. 观察球在多次弹跳后是否会与杆发生碰撞。 2. 确定碰撞发生的位置。 3. 计算所有折线段。 总长度 4.计算时间 但是这个解法需要解一个三角形！！ 尝试一下，看看用这个方法能不能解决。 第23页/共50页 延伸：如图所示，MN是一面垂直的墙，平面镜OB绕着垂直于纸面的O的水平轴以恒定的角速度ω旋转。 墙上的 A 点发出水平光线，投射到 OB 上并反射到墙上的 D 点。
假设AOC=θ，AO=d，求D的速度。 第24页/共50页 弹丸运动的边界和最大值问题 例：迫击炮和目标位于同一水平面上，中间有一个高度为h的小山他们。 迫击炮到山顶的水平距离为a，目标到山顶的距离为b。 尝试找出弹丸摧毁目标所需的最小初速度和发射角度（不考虑空气阻力）。 如何找到切入点？ 思考的障碍在哪里？ 一座山丘？ 消除 t 必须满足什么条件才能达到目标？ 这是什么意思？ 第25页/共50页 当α为0到π/2范围内的不同值时，获得所有轨道。 下一个转折点在哪里？ 当α为π/4时，标记的轨道在什么条件下穿过山顶？ 为此，求垂直向上投掷时轨道上该点的高度h1； 另一块石头以速度 V2 水平投掷。 求这两块石头在运动过程中之间的最短距离？ （两块石头的初速度在同一垂直平面内） V1 V2 -V1 第27页/共50条 将曲线运动所划分的无穷小曲线段处理成小圆弧，将质点放在小圆弧上。 该运动被视为圆弧运动。 可以用处理圆周运动的方法来研究一般的曲线运动。 （三）曲率圆和曲率半径 1、曲率圆：平面光滑曲线的无穷小圆弧段所属的圆，称为该曲线该点的曲率圆。
2、曲率半径：上述曲率圆的半径是曲线该点的曲率半径。 曲线上某一点的曲率半径ρ可以反映出ρ大的地方曲率小，ρ小的地方曲率大。 对于给定的曲线，其上各处的 ρ 也已确定。 曲率度：第28页/共50页 如果知道了粒子轨道曲线上各处的ρ，并且知道了轨道上各处粒子的v，那么就可以计算出各处粒子的中心a。 (4)从曲率圆的角度看，平面光滑曲线运动的速度和加速度——表示速度变化的速度——表示速度方向变化的速度。 第29 页，共50 页 求曲率半径的物理方法 (1) 设质点 对于给定的曲线，确定质点的运动轨迹。 运动轨迹上各处质点的v和a中心由向心加速度公式计算得出。 在选择粒子的运动时，尽量考虑如何方便地获取曲线的v和a中心。 示例问题，尝试找出椭圆顶点处的曲率半径。 椭圆的参数方程为，故质点沿椭圆轨道的运动可选为： x 方向和y 方向的部分运动为简谐振动运动。 这种在椭圆顶点的运动 v 和 a 中心很容易找到。 其简谐振动方程就是上述椭圆的参数方程。 第30页/共50页 在图中的顶点A处： 所以同样可以这么说。 因此，出题后，说明该题的求解属于物理运动学的方法。 还有一些方法可以找到曲率半径和物理动力学！ 这个稍后再研究。 第31页/共50题 例题：求滚子线最高点的曲率半径和ρ1最低点的曲率半径ρ2。
为了计算方便，假设车轮纯匀速滚动，轮心O相对地面的速度为v0。 车轮边缘上任一点P相对于车轮中心O的速度是多少？ P在最高点相对于地面的速度为静止参考系中指向曲率圆中心的加速度； 一般来说，在数学上总是可以认为拐点处的曲率半径为零。 在滚子线的最高点和最低点处，第 33 页 50 曲率 半径问题示例：光滑的抛物线轨道，笛卡尔坐标系中的方程为 y2=2x，其中 x 和 y 的单位为米。 有一个粒子从起始位置 (2, 2) 向下滑动，没有初速度。 询问粒子离开抛物线轨道的位置。 mg分析：假设粒子在M(x,y)处飞离抛物线。 如图所示，在光滑的水平面上有一个质量为M高中物理竞赛培训，半径为R的均匀分布的环。 质量为 质点m可以在环内壁上无摩擦地滑动（Mm）。 开始时，环静止，环中心在O点，粒子位于(0,R)，速度沿x方向，大小为υo (1) 试推导粒子的运动方程； (2)求质点运动轨迹的拐点曲率半径。 质心速度m和绕质心M的角速度 第36页/共50页 第37页/共50页 求相关物体速度的有效方法---基本点法物体在平面上运动，其上任意两点的速度在连接这两点的直线上的投影相等。 因此，我们也有杆或绳约束对象系统各点速度的相关特征：同时，沿杆和绳的方向必须有相同的分量速度； 接触物体系统的接触速度的相关特征为：沿接触面法线方向的分速度相同，无相对滑动时沿接触面切线方向的分速度相同。
