前言：
本文节选自人民邮电出版社《大话量子通信》（作者：张文卓）
量子纠缠是许多粒子的量子叠加态。 以两个粒子为例，一个粒子A可以处于某个数学量的叠加态，可以用一个量子比特来表示，另一个粒子B也可以处于叠加态。 当两个粒子发生纠缠时，会产生两个粒子的叠加态，即纠缠态。 例如，有一种纠缠态，无论两个粒子相距多远，只要没有外界干扰，当粒子A处于状态0时，粒子B必定处于状态1； 相反，当粒子 A 处于状态 1 时，粒子 B 必须处于状态 0 。
用薛定谔的猫做类比，如果两只猫A和B在内部产生纠缠态：
无论两只猫相距多远，即使在宇宙的两端，当猫A“死”时，猫B一定是“活”的； 当猫A“活着”时，猫B必须“活着”。 死亡”（事实上，真实情况是猫等宏观物体无法维持这么长时间的量子纠缠，会在几十亿亿亿亿秒内因“退相干”而成为经典态。而基本粒子可以，例如光子。）
2016 年 11 月 30 日，来自世界各地的互联网用户加入了一项有趣的实验：捐赠自由意志的随机数来检验贝尔不等式。 一年半后，这项实验的结果将发表在《时事通讯》上。 实验结果再次违背了贝尔不等式，再次验证了量子热学的正确性，即在更临界的条件下验证了量子纠缠的存在。
那么贝尔不等式有哪些？ 为什么它可以验证量子纠缠？ 我们的故事始于爱因斯坦。
1.EPR悖论
爱因斯坦是 20 世纪最伟大的数学家。 他独自提出相对论，也是早期量子论的开创者之一。 量子热和相对论是现代数学的两大支柱理论，爱因斯坦的伟大不用多说。 而伟大的爱因斯坦也会犯错误，其中最著名的就是他不接受量子热，而“上帝不掷骰子”这句名言就出自爱因斯坦。
早期的量子理论在普朗克、爱因斯坦、玻尔等化学家构建的时候，还不是一个体系，所以化学家并没有注意这些不能接受的地方。 直到1925年至1927年，海森堡、薛定谔、狄拉克等化学家构建了完整的量子热理论，这些违背人类直觉的推论才逐渐浮出水面。
1935年，爱因斯坦和他的两个研究生波多尔斯基（B.）和罗森（N. Rosen）合写了一篇论文，用思想实验的方法批判了量子热的合理性。 这就是著名的EPR悖论（两个姓氏首字母的缩写）。
爱因斯坦首先从相对论的角度提出局域实在论观点量子物理纠缠诺贝尔奖，即：
1. 物质独立于观察者而客观存在（实在论）。
2. 两个粒子之间的任何联系都不能超过光速（局域理论）。
爱因斯坦等人考虑一对总动量为零的粒子（称为 EPR 对），由两个粒子 A 和 B 组成，这两个粒子在空间中相距很远。 如果是复合局部理论，那么两者之间就不会有任何影响。 如果某时刻测得的粒子A的位置为x，则说明测得的粒子B的位置为-x； 如果粒子 B 的测量动量为 p，则意味着粒子 A 的测量动量为 -p。 也就是说，只有知道粒子A的确切位置后，才能知道粒子A的确切动量，粒子B也一样。所以这就违反了量子热的测不准原理，即与“一个粒子的位置和动量不能同时确定”。
但是量子热呢？ 在量子热中，这两个粒子是一对量子纠缠粒子。 检测粒子A的位置时，其动量是不确定的，B的动量也是不确定的，它们是相互关联的。 之后，当测得B的动量为p时，A的动量急剧变为-p，但这并不意味着之前测到A的位置时A的动量为-p，只是这次检测提示A B 的动量波函数概率性地“坍缩”在 p 和 -p 之上。 如果 A 粒子仍然存在，检测还会使 A 和 B 的位置不确定。 这些跨越时空的关联超过了光速，即使违反了爱因斯坦的“局域理论”，所以爱因斯坦称之为“幽灵般的超距相互作用（ata）”量子物理纠缠诺贝尔奖，也就是量子纠缠。
爱因斯坦觉得在量子热背后一定隐藏着一条决定粒子行为的数学定律。 这个定律应该符合局域实在论，但是量子热不符合局域实在论，所以是不完备的。 于是他和玻尔之间旷日持久的争论开始了。
2. 贝尔不等式
在爱因斯坦和玻尔的争论中，化学家自然分为两派。 一派站在爱因斯坦一边，认为量子热背后隐藏着一个符合局域实在论的理论，像经典化学一样被严格确定。 量子随机性只是一种不完整的现象。 这个理论被称为“隐藏变量理论”； 另一派站在玻尔一边，认为量子热是正确的，背后没有所谓的“隐变量理论”。 上帝的描述是骰子。
能否设计一个实验来判断是否存在这种局部隐变量理论？ 贝尔在没有等式的情况下首次亮相。 这个方程是化学家约翰贝尔在1964年提出的。贝尔假设如果存在局部隐变量理论，那么根据该理论，如果检测到两个相距很远的粒子A和B，它们的间隔乘以检测时间小于光速，则 A 和 B 触点之间不会发生任何事情，它们的行为是预先确定的，应该符合规范的概率约束。 贝尔然后导出以下不等式：
|h(a,b)-h(a,c)|-h(b,c)≤1
其中，a、b、c表示两个检测器检测A和B所使用的三种模式，h(a,b)=(Naa+Nbb-Nab-Nba)/(Naa+Nbb+Nab+Nba)表示根据局部隐变量理论的检测计数关联结果（Nab表示检测器检测A为模式a，检测器检测B为模式b时检测到的粒子数，这样）。 如果存在局部隐变量，则必须满足上述不等式，否则，如果实验违反上述不等式，则可以排除局部隐变量理论。
三年后，四位化学家John、Horne、Abner和进一步推广贝尔方程，提出了更有利于实验验证的CHSH方程：
今天说的验证贝尔不等式的实验，主要是验证CHSH不等式。 由于实验技术的限制，直到1982年，第一个验证贝尔不等式（即CHSH不等式）的实验才诞生。 得益于激光技术和单光子探测技术的发展（激光和单光子探测器归功于对量子热的预测和发现），美国化学家阿兰（Alain）领导的团队使用量子光学解决方案，结果违反贝尔不等式在实验上被清楚地观察到（即通过检测一系列纠缠光子得到的实验统计结果 > 2），此后世界上许多以 (A.) 组为代表的团队做了一系列实验，都明显违反了贝尔不等式。 所以可以说，实验基本宣告了隐变量理论的死亡，量子热是对的，定域性必须放弃，即爱因斯坦派输了，玻尔派赢了。
贝尔不等式检验的实验已经走出实验室，在更远的地方开展。 2016年8月，我国成功发射的“墨子号”量子科学实验卫星，在国际上首次在星地1000公里的距离上借助“量子纠缠分布”对贝尔不等式进行了检验，得到的结果是违反了贝尔不等式，验证了量子纠缠在 1,200 公里的距离内持续存在。