■湖北省宜昌市第五中学王勇(特级班主任、正中级班主任)极化恒方程:对于平面向量a,b,通过恒等变型可得a·b=14(a+b)2-(a-b)2。图1再经过几何延展,如图1所示,在△ABC中,若设AB→=a,AC→=b,M是BC的中点,则AB→·AC→=AM→2-14BC→2=|AM→|2-14|BC→|2。由此可知极化恒方程可将平面向量的数目积关系转化为两个平面向量的厚度关系,使不可测度的向量数目积关系转化为可测度、可估算的数目关系,其意义非同凡响。下边举例说明极化恒方程在解题中的妙用,旨在探索题型规律,揭示解题方式。一、解决平面向量的数目积问题1.巧求数目积的值。例1(2018年荆州市模拟题)已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1相交于M,N两点,则AM→·AN→=。图2解析:如图2所示高中数学极化恒等式推导,取MN的中点G,联接CG,CM,CA,则CG⊥MN。由极化恒方程,得AM→·AN→=AG2→-MG2→=(AC2→-CG2→)-(MC2→-CG2→)=AC→2-MC→2=AC→2-1=8-1=7。点评:本题A,M,N三点共线,极化恒方程仍适用。tKq物理好资源网(原物理ok网)

利用垂径定律、勾股定律及两点间的距离公式即可得解。2.划分数目积的取值范围。例2(2018年江苏省八校统考题)已知AB是半圆O的半径,AB=2,等腰三角形OCD的顶点C、D在半弧形AB︵上,且CD∥AB,P是半弧形AB︵上的动点,则PC→·PD→的取值范围是()。A.32-3,32B.32,32+3C.32-32,32D.32-3,32+3图3解析:如图3,取线段CD的中点M,联接PM。由极化恒等式,得PC→·PD→=|PM→|2-|MC→|2,注意到,AB是半圆O的半径,AB=2,△OCD是等腰三角形,OC=OD=CD=1,所以|MC→|2=14,所以PC→·PD→=|PM→|2-14。如图3,联接OM并延长交半弧形AB︵于N,联接BM,易知|MN|=1-32,|BM|=OM2+OB2=72。由于P是半弧形AB︵上的动点,当点P运动到N点时,线段PM的宽度最小,其最小值等于线段MN的厚度;当点P运动到B点时,线段PM的宽度最大,其最大值等于线段BM的厚度。所以|MN|≤|PM→|≤|BM|,即1-32≤|PM→|≤72,所以32-3≤|PM→|2-14≤32,所以PC→·PD→的取值范围是51解题篇创新题追根追溯中考使用2019年10月32-3,32。tKq物理好资源网(原物理ok网)

故选A。点评:本题借助极化恒方程得出PC→·PD→=|PM→|2-14后,问题转化为求|PM→|的取值范围,而求|PM→|的取值范围对考生的探究能力要求较高。3.探索数目积的最值。图4例3(2018年宜宾市调试题)如图4,在直径为1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C为弧AB︵上的动点,弦AB与直径OC交于点P,则OP→·BP→的最小值为。图5解析:如图5,取OB的中点M高中数学极化恒等式推导,联接PM。由极化恒方程,得OP→·BP→=PO→·PB→=|PM→|2-|MB→|2=|PM→|2-14。当点C在弧AB︵上运动时,点P在弦AB上运动,过点M作MD⊥AB于D,则|PM→|min=|MD|。在△AOB中,∠AOB=60°,OA=OB=1,且M为线段OB的中点,易知|MD|=34。所以(OP→·BP→)min=342-14=-116。点评:本题借助极化恒方程得出OP→·BP→=|PM→|2-14后,问题转化为求|PM→|的最小值,而求|PM→|的最小值需用到垂线段最短及解直角三角形,有一定的综合性。二、解决平面向量模的问题例4(2018年江苏省五校统考题)平面向量a,b满足:a·b=4,|a-b|=3,则|a|的最大值是。图6解析:如图6,令a=OA→,b=OB→,线段AB的中点是M,由|a-b|=3得|AB→|=3。由极化恒方程,得a·b=|OM→|2-14|AB→|2=|OM→|2-94=4,解得|OM→|=52。此时|a|=|OA→|=|OM→+MA→|≤|OM→|+|MA→|=52+32=4tKq物理好资源网(原物理ok网)

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