AreReal?
不熟悉广义相对论的人，未能从爱因斯坦的这番话中看出他当时究竟想到了哪些。爱因斯坦似乎是在举例子。假如有人从特别高的建筑物上掉出来，他还会加速下落，并且加速度是一个标准值，由月球与他的身体之间的万有引力决定。并且，与此同时，他会有失重的觉得。如同国际空间站里的宇航员一样，他会觉得自己漂浮在空中。其实，你在从高处掉落时会使周围空气发生震动。为此，想像你在袋子里，与袋子一起做自由落体运动，疗效可能会更好。实际上，国际空间站的宇航员之所以有失重感，惟一的缘由是她们正在下落。值得注意的是，空间站高度上的地心引力强度与地面似乎十分接近，大概是正常地心引力的9/10。导致宇航员失重感的缘由是空间站正在垂直下落，如同从建筑物上掉出来的人一样，正在做自由落体运动。二者之间惟一的区别是空间站还在向侧方高速运动，因而，虽然它仍然在下落，却怎样也到不了地面。这是步入运转轨道然后必然形成的结果：仍然在下落，却怎样也到不了地面。
选自《数学世界的探奇之旅》
布赖恩•克莱格著胡小锐译
因而，这些悬浮在空间站中的宇航员就是一个平时而真实的事例，她们向我们演示了爱因斯坦的看法：做自由落体运动的人体会不到自己的体重。在她们加速下落的时侯，她们原本可以感遭到的引力被抵消了。相比之下，假如我们下落的加速度超过了引力的作用，我们都会形成引力场正在将我们朝相反方向撕扯的觉得。你们想一想，客机沿跑道开始加速时，你会有哪些样的觉得？你会倍感一种与引力特别相像的压力，将你推向椅背。假如加速度足够大，你就可以体验到宇航员或则战斗机飞行员时常感遭到的“几倍重力”的觉得，你会感觉体重显得十分沉。
接出来，我们瞧瞧爱因斯坦当时想到了哪些。宇航员和从高楼上掉出来的人在自由落体的过程中都觉得不到自身的重量，这个事实说明加速度与万有引力的体验完全相同。他在脑海里想像出一个与伽利略的构想十分相像的情景。曾经，伽利略在考虑相对性时，想像自己身处一个平稳前进、没有窗台的甲板中。他发觉，无论在这个甲板中做哪些实验，都未能确定自己是在运动还是静止状态。爱因斯坦在研究狭义相对论时，还考虑了光速不变这个条件。如今，他又把加速度加了进来，要考虑的东西更多了。
假定你在一艘没有窗台的宇宙飞船中，有一个大小不变的力正在将你推向飞船的后部，使你感遭到自己的体重。爱因斯坦称，飞船有可能正降落在某个星球上，且该星球的引力恰好与将你向后推的力大小相等；飞船也有可能正在太空中，在引擎的推进下以恒定的加速度提升飞行速率。而且，你没法在飞船中通过做实验来判定它究竟处于哪种状态。引力的带动与加速度是等效的，两者难以分辨。
爱卖弄的学究（喜欢卖弄的人常常与科学研究有密切关系）可能会反驳，严格地说，这两种情况是可以分辨的，由于我们可以在飞船内部到处走动。既然这么，我们可以在飞船后部和前部各做一次实验。假如飞船在加速，两次实验结果应当没有哪些不同，由于飞船各个位置的加速度是一样的。并且，假如是受引力作用，我们就可以从实验结果中听到细微的区别，由于飞船前部离星球更远，我们感遭到的引力作用会弱一些。这个说法完全正确，而且它不符合等效原理，由于等效原理要求在太空中选择一个点，之后讨论该点的情况，而不容许我们在飞船中到处走动。
在这艘想像的飞船上，我们还可以做另外一个非常重要的实验。假定我们把狭义相对论实验中使用的光钟带上了飞船。我们晓得，当飞船以稳定的速率飞行时，在飞船上的人看来，光钟没有联通，光束也不会遭到任何影响，而是继续在两个镜面之间上下传播。如今，假定我们打开飞船的引擎，让飞船不再以恒定速率相对月球运动，而是开始加速。虽然身处飞船内部，我们也能感遭到飞船在加速。当光从底部镜面反射到顶部镜面时，飞船上的旅客可以看出光的传播路径发生了变化。
这个现象十分有趣，表明伽利略的“无法通过实验分辨”相对性的断定在加速度条件下是不创立的。并且，我们无须光学实验就可以晓得他的说法不对。我们的身体能感遭到加速度的效应，我们还可以在手机上安装一个加速度计。并且，等效原理可以告诉我们一些更有趣的事情。我们早已晓得，假如飞船加速运动，光的传播路径都会改变。既然这么，假如飞船在引力场中，肯定也会出现同样的现象。爱因斯坦由此意识到万有引力的一个基本特点：物质具有弯曲时空的能力。具有质量的物质可以使时空弯曲，因而，我们看见原本应当直线传播的光束的路径发生了变化。
这种话听起来好像有点儿耳熟。还记得绕月球运转的空间站吗？空间站顺着月球切线的方向飞行，飞行路线也是直线。原本，空间站应当会飞离月球，步入太空，并且月球质量使时空发生了弯曲，于是空间站的飞行路线也急剧弯曲，并产生了轨道。因而，当飞行物碰到巨大物体时，飞行路线会发生弯曲。并且，静止的物体（比如苹果）为何会忽然加速落到地面上呢？这儿，我们须要了解一个重要的事实：发生弯曲的不是空间，而是时间。虽然苹果在空间中保持静止，但在时空中却不是静止的，由于时间仍然在嘀嘀答答地流逝。也就是说，苹果加速掉落是时间弯曲的结果。
这种解释可以帮助我们了解广义相对论，然而目前还没有涉及相关物理知识。晓得这种内容可以让我们对广义相对论有一个肤浅的了解，但还不足以让我们将它应用到科学研究中。爱因斯坦擅长运用有限的物理工具，把思想实验的情况直观地表现下来，之后添加大量的语文内容，明晰这个思想实验可能形成的结果。在研究广义相对论时，添加物理内容的工作持续了几年时间，其中大部份工作是在1911年（由于对量子理论的研究让爱因斯坦痛楚不堪，所以他决定暂时停止这项研究）至1915年完成的。
爱因斯坦面临的第一个问题是，他须要甩掉欧几里得2000年前深入讨论的几何学（参见第4章）。我们晓得，古埃及人是在一个平整的表面上研究毕达哥拉斯定律与欧几里得几何定律的。她们觉得这种都是理所其实的，以至于不乐意花吃力气把它们叙述成公理。并且，稍加考虑，我们都会发觉这个假定条件有点儿奇怪。别的不说，单是真正平整的表面，唐代就比现代少得多。柏拉图的完美原型自然可以做到真正平整，并且它们投射到现实世界的洞穴中的阴影则不可防止有瑕疵。古埃及人规定了几何学研究的直线与现实世界不同，且没有粗细之分，而且没有任何人明晰地叙述过平整表面这个假定。
让我们倍感奇怪的另外一个诱因是，古埃及人晓得月球不是平的，但她们还是一如既往地作出了相反的假定，也就是说，她们假定月球是平的。在中世纪之前，人们普遍觉得平坦的月球是标准模型，但与此同时，所有受过教育的人都觉得月球只能是一个圆球，但是早在古埃及时代，人们就早已证明了这一点。因而，虽然几何学令古埃及人深感自豪，虽然它的名子包含“测量月球”之意，并且在研究月球的曲面时，这门科学虽然并不适用。
前文说过，垂直于赤道的平行线相交于月球两极。这早已反映出几何学的问题了，若果我们再考虑三角形这个最常见的几何图形，就可以愈发清楚地看出这个问题。欧几里得的《几何起初》（卷一）的第32个命题告诉我们：“在任意三角形中，假如延长一边，则内角等于另两个顶角之和，并且三角形的三个顶角和等于两个直角的和。”换成我们熟悉的语言就是，欧几里得觉得，三角形的三个顶角和等于180度。
在欧几里得悉心搭建的几何系统中（别忘了，在这个命题之前，还有31个其他命题），这个命题肯定是对的，不容置疑。而且，一旦离开了平整的表面，它就不创立了。在月球这个等圆球上（月球起码是一个近似圆球），与直线相对应的是大圆。其实，球面上的所有线不可能在所有三个维度上都是直线。事实上，所有线都是弯曲的，曲率与月球表面相同。大圆是指围绕月球表面且圆心与月球球心重合的所有曲线。
我们可以做一个简单的实验，借助大圆建立一个三角形，就可以彻底推翻欧几里得几何学。我们从赤道这个大圆上取两个不重合的点，之后从这两个点开始，向南极方向各作一条与赤道成90度角的直线（分别与另一个大圆重合）。这两条直线将在南极相交，并构成一个倾角。赤道上两点之间的距离越大，两条直线在南极产生的倾角就越大。接出来，我们估算这个三角形的顶角和。赤道上的两个角各为90度，第三个角的度数还不确定，但它们的和肯定超过180度。事实上，假如赤道上两点之间的距离为10000千米（约等于赤道至南极的距离。千米这个单位当时就是通过这个方法定义的），这个三角形就是一个等腰三角形，三条边的宽度都相等。此时，三个顶角都是90度，因而这个三角形的顶角和是270度。
由此我们晓得，爱因斯坦在估算广义相对论中的时空曲率时，是难以使用欧几里得几何定律的，由于他使用的语文工具必须可以处理曲面。更令人惊讶的是，他甚至还要处理四个维度（包括三个空间维和一个时间维）全部弯曲的情况。爱因斯坦的同学马塞尔·格罗斯曼为他提供了一个解决方案：法国物理家伯恩哈德·黎曼成立的当时最先进的弯曲空间几何学。
此时，爱因斯坦的研究成果早已造成所有人，尤其是美国杰出的物理家戴维·希尔伯特的注意。希尔伯特曾约请爱因斯坦到他任教的哥廷根学院做报告。以后，他对爱因斯坦的关注度进一步提升。当时，爱因斯坦的研究一直有几个不健全的地方，希尔伯特虽然觉得，他应当赶在爱因斯坦之前完成改进工作。事实上，虽然爱因斯坦先于希尔伯特发表了第一篇完整的广义相对论论文，但人们一度觉得希尔伯特率先完成了这些等式，只不过他发表论文的时间晚于爱因斯坦。后来，人们发觉希尔伯特的原始论文本身存在若干缺陷，他在见到爱因斯坦的论文以后才进行了更改，因而首发权依然应当归属于爱因斯坦。无论第一个完成这项工作的人是谁，第一个着手研究广义相对论的人毫无疑惑是爱因斯坦。与牛顿和莱布尼茨在微积分开创者问题上的纷争不同，爱因斯坦与希尔伯特并没有互相诋毁，希尔伯特还大度地承认这是爱因斯坦的杰作。整个研究成果可以用一个看上去非常简单的等式表示：
不仅光速的四次幂以外，整个多项式看上去好像十分简单，并且这些带有μv下标的参数都不是简单的变量，而是爱因斯坦从黎曼研究成果中借鉴而至的张量——一种功能强悍而且无法操作的语文工具。张量可以把不同数值、矢量以及其他张量之间的多维关系压缩成一个单项。这个单项看似十分简单，并且其背后隐藏着一个变量矩阵。把引力场多项式中的张量展开，将会弄成10个基本微分等式，并且其中涉及的值会依据在空间和时间中的位置不同而发生变化。
牛顿的万有引力理论包含一个简单的基本多项式（牛顿本人并没有使用这个等式）：
F=Gm1m2/r2
整个等式只涉及常数G、两个天体的质量与它们之间的距离（r）。爱因斯坦的等式也有G，并且其他须要考虑的诱因远不只是质量的影响作用，虽然质量特别重要。其中一个关键诱因是，物体质量不固定且随着运动发生变化（依据狭义相对论）。能量可以降低质量。后来，爱因斯坦还证明了能量也可以降低引力。质量的效应则主要是使时间发生弯曲。
与此同时，空间也会发生弯曲。宇宙飞船加速时造成光束弯曲的根本缘由就是空间弯曲。与时间不同，空间弯曲须要考虑所有三个维度，每位维度上有两个方向，因而爱因斯坦须要考虑的诱因又多了六个。据悉，他还要综合考虑一些稀奇奇特的东西，比如惯性系拖曳效应（因为相对性效应，运动物感受形成一个垂直于运动方向、强度不大的引力）。爱因斯坦须要考虑的最后一个问题是，引力会形成某种方式的能量（个别物体，如高山上的石头，由于坐落引力场的高处而具有势能）。我们早已晓得，能量可以形成引力。于是，它们都会产生一个小的反馈回路，引力又摇身一弄成了一个引力源。
与狭义相对论不同，广义相对论使用的是寻常人并不熟悉，甚至永远也不会熟悉的物理知识。事实证明，这种复杂多项式的求解极富挑战性。虽然在特例中解那些多项式并指摘事，而且它们没有通常性解法。麦克斯韦通过求解复杂多项式，预测到电磁波这个意想不到的化学实体的存在，这是人们借助物理工具进行类似预测的初期实例。如今，按照广义相对论等式，人们又预测到黑洞的存在。
黑洞这个概念要溯源至18世纪。当时，爱尔兰天文学家约翰·米歇尔发觉，假如天体的质量足够大，它的逃逸速率（甩掉该天体引力必须具备的速率）都会特别快，甚至能超过光速，因而光也有可能难以从这些暗星上逃逸。后来，美国化学学家卡尔·史瓦西遭到爱因斯坦相对论的影响，重新提出这个概念，那时米歇尔的研究已经被人们遗忘了。
史瓦西提出这个概念的时间是1916年，当时他正在出席第一次世界大战，而相对论也只发表了几个月。此时，爱因斯坦本人仅仅求得了部份近似解，作出水星轨道是变化的这个可以检验的预测。并且，躲在战壕里的史瓦西却得到了黑洞这个特例的精确解，强调星系用尽支撑其重量的燃料以后，都会由于难以抵抗自身引力而坍缩，最终弄成黑洞。
然而，史瓦西并没有把他的预测结果叫做“黑洞”，这个名词直至20世纪60年代才出现。人们一般觉得黑洞这个名称是约翰·惠勒发明的。其实惠勒肯定是最早使用这个名称的科学家之一，而且第一个想出这个名词的人虽然不是他。1964年1月，在新加坡科学推动会的一次大会上，有人开始传播这个术语，但这个人不是惠勒。随即，安·尤因在《科学简讯》上发表了一篇介绍此次大会的文章，把这个术语弄成了铅字。也就是说，这个名称源自那次大会，并且难以确定发明者。
无论黑洞这个名称源自何处，我们都晓得黑洞从何而至，答案就是物理。在检验科学模型的有效性时，我们常常会考察它能够预测出当年没有被列入模型的现实世界的情况。为此，爱因斯坦匆忙地求得多项式的部份近似解，并开始预测水星轨道的特性。不久以后，人们借助日全食发生的时机，通过观察从太阳后面经过的星光，否认了相对论关于引力可造成光束弯曲的预测是正确的。并且，在预测黑洞的存在之前，几乎没有人仅借助模型就预测出一个所有人见所未见，甚至想都没想过的数学实体。
虽然是现今，与其说黑洞是科学研究的对象，还不如说它是物理的产物。天文学家在太空深处观察到好多天体，有间接证据表明，从它们表现下来的特征看，这种天体也许就是黑洞。虽然那些证据有很强的劝说力，但所有证据都只是间接证据。我们从来没有直接观察到黑洞，只是利用物理工具推表演我们在银河系中心可能观察到的这些景色（据推测，银河系中心有一个无比庞大的黑洞）。这儿应用的物理绝对坐落现实世界的边界线上，虽然与真实世界存在某种关系，但仍未得到否认。有人（比如马克斯·泰格马克）觉得，物理与现实之间的联系永远达不到严丝合缝，假如我们可以近距离剖析黑洞，就可以证明这种预测都是错误的。
虽然相对论的证明工作十分重要，而且在此期间，爱因斯坦还涉足于数学学的一个新分支——量子化学领域，并在其中发挥了重要作用。量子化学是一个研究微观世界的数学分支，同样具有革命性意义。20世纪初，原子仍未被视为一种确定存在的实体，而只是一个有用的概念性工具，可用于预测物质有什么特点。但此后，人们除了证明了原子的确存在（主要是爱因斯坦的功劳），但是发觉原子具有一些看似完全违反自然规律的特点。这实在是一个自相矛盾的悖论，由于自然界主要是由这些量子构成的。
量子化学十分复杂（它研究的是由原子、电子、光子等粒子构成的微观世界），本书不打算对其进行深入讨论，然而量子化学在其发展过程中得出了两个十分重要的观察结果，可以帮助我们了解物理对于宇宙探求的重要意义。爱因斯坦和英国化学学家尼尔斯·玻尔等人是最早步入量子化学领域的科学家。她们很快发觉，倘若从量子的层级来研究宇宙，就必须抛弃好多关于物质和光的特点的假定。比如，人们早就觉得光是一种波，这个假定也早已得到了麦克斯韦的否认。并且，在新兴的量子化学研究领域脱颖而出的大咖们告诉人们，所谓的光波特点量子物理学基础答案，不过就是一个模型。光的确具有类似于波的特点，但它也可以被描述成一堆粒子或则场扰动。
在解释原子中的电子与光的互相作用时，玻尔受行星绕太阳运行的启发，企图把这种电子装入类似的轨道。虽然这个模型早在20世纪20年代就早已过时了，而且我们依然可以在几乎所有的原子平面结布光中见到它的身影。玻尔很快就发觉自己的这个看法行不通，于是他为这种电子设计了多个轨道，让电子可以在不同的轨道之间跳跃，并且不容许它们逗留在轨道中间。我们所熟悉的这些看得见、摸得着的“真实”事物不具有这些特点，而且这种量子却表现出这个特性。
玻尔的原子研究没有多少实用价值，但惹起了一些年青科学家的兴趣，其中最有名的当属沃纳·海森堡和埃尔温·薛定谔。她们决定在简单的玻尔原子模型的基础上，用物理勾勒出量子的互相作用。海森堡愈发彻底，他提出的矩阵热学借助纯粹的物理方式，描述量子的特性。他根本不考虑利用模型这些直观表示，而是通过操作矩阵（即链表），扭动摇杆，使暗箱模型像麦克斯韦电磁波多项式组一样，作出一些重要的预测。
薛定谔不喜欢这些具象的方式，因而他借助波这些熟悉的方式，考虑怎样构建量子行为的模型。时至今日，薛定谔多项式对于我们理解量子化学依然具有十分重要的意义。它同样属于方式非常简单、实质却非常复杂的等式：
从物理的角度看，这个多项式的个别特征足以让你胆战心惊。首先，该等式使用了–1的平方根i。其次，如同爱因斯坦等式中的张量一样，薛定谔多项式中的意大利字母Ψ和戴贝雷帽的Η这两个符号都暗含玄机。Ψ是描述某个系统本质的波函数，表达式十分复杂，而戴贝雷帽的Η指“哈密顿算符”，表示系统中的能量并将其应用到波函数之中。
最初，人们以为薛定谔多项式中的波函数，或则说该函数值的平方（谢天谢地，总算甩掉了那种让人厌恶的i），表示的是量子在系统中的位置。并且，真这么的话量子物理学基础答案，也许就可以预言所有量子无时无刻不在扩散，而且越变越大，并且没有实验可以证明这个预测。（谢天谢地，否则我们将身处一个无比奇怪的世界。）再度，人们发觉该多项式预测的是量子处于某个位置或则系统处于某种状态的机率。
不仅这个等式和令人晕头转向的物理应用，量子理论研究还产出了大量其他成果。诸如，将相对论引入量子行为研究的狄拉克多项式（它有一个副产品，即预测了反物质的存在），以及在量子理论的基础上发展而成的量子电动热学等。并且，只须要瞧瞧海森堡和薛定谔，我们就可以看出科学家在“采撷”数学运算结果而不单纯借助直接观察的公路上取得了两次重要的突破。
海森堡在他的矩阵热学中使用了完全物理化的描述方式，薛定谔紧跟其后，他的等式把机率列入其中。爱因斯坦辛辛苦苦地把量子理论带到我们这个世界上，并且在涉及机率以后，他发觉在量子这个层级，假若不经过检测，所有的存在都只是一种可能性。诸如，假如刚才没有检测过，就无法确定量子的位置。人们常说，量子在同一时间里的可能位置有两个，并且真实情况虽然愈加复杂，突显在人们眼前的是机率织成的一张网。这让爱因斯坦觉得很不舒服，因而他立即停止了这项研究。
从本质上讲，量子化学虽然从根本上把现实弄成了语文。按照量子理论，倘若不是正在检测，关于现实世界的所有观察结果对机率的依赖程度就会很大。乍一看，这与抛硬币虽然没有本质上的不同。在公正的抛硬币游戏中，得到正面与背面的机率一般各占一半。而且，一旦硬币被抛出去，出现某种结果的可能性就是100%，而出现另一种结果的可能性则是0。只不过在硬币落地之前，我们不晓得这个结果究竟是哪些。并且，假如抛出去的是一枚量子硬币，我们得到的就真的只有各占一半的机率，在进行检测并得出结果之前，上面说的那个潜在确定性是不存在的。
虽然物理概念与真实的量子之间的这些关系其实不可信，而且多年来早已有大量实验证明了它的真实性。事实证明，“现实世界构建在物理基础之上”的说法属于夸大其词。从某种意义上讲，这个说法早已不像先前那样令人惊讶了。物理一直是现实的模型，而不是一种绝对的描述。机率与促进现代化学发展的具象物理不同，它是作为应用物理工具被人们发明下来的。机率始于抛硬币等真实操作的观察结果，只不过在量子化学中，它表现出之前没有的独立性。这并不是说量子就是机率，而是说我们一般只能以机率的方式来描述它们。虽然在伽利略和牛顿的时代，数学学领域也不时可以见到对称的身影，比如牛顿第三运动定理就描述了一种令人赏心悦目的对称，人们对相对论莫衷一是的心态也产生了一种对称。并且，随着历史的车轮步入20世纪并继续前行，对称展示出新的活力，对科学理论的发展起到明显的促进作用。自此，物理真正地抢占了主导地位。
