杨义先院长
上海邮电学院信息安全中心校长
公共大数据国家重点实验室校长
摘要：在微观数学学中，有许多稀奇奇特的现象，搞得老百姓莫名其妙；虽然许多化学学家也只是知其然，却不知其所以然。于是，便有人（甚至是十分牛的科学家）搬进了万能的上帝。下边我们也请出一位真上帝，求它帮我们解释例如电子基态跃迁、波粒二象性、量子纠缠等微观化学学中最悬幻的三个问题。那位真上帝，名叫语文；它将用几乎同样的一句话，就统一阐明了所有那些悬幻的奥秘。希望下边的歪解能让您脑洞大开，哪怕你拿它当成一段小品。
（一）序趣
以前有位不懂光学，不懂磁学，不懂热学的姑娘，仅用一个物理公式，就把光学、电学、磁学给融为一体了。这个姑娘，就是后来的全能化学学家麦克斯韦；那种物理公式，就是大名鼎鼎的麦克斯韦多项式。
以前还有一位“民科”，借助业余时间，用另一个物理公式，阐明了化学世界中最高深的物质/能量关系。那位“民科”，就是差点成为以色列首相的爱因斯坦；这个物理公式，就是妇孺皆知的E=mC2。
由此可见，对数学这个上帝，千万别轻视。要时时真心上香，天天虔敬磕头。若能持之以恒，保准有求必应；例如，杨傻蛋我诵经诵经后，在研究《安全通论》[2,3]时，竟也意外“通”到了另一个世界，碰巧掏到了一件“古董”。
原本没想公开此“古董”，由于害怕它是伪作；但读罢薛定谔的《生命化学学课件》后，我就豁出去了。既然老薛在成立了量子热学并获诺奖后，都胆敢不顾名声，竟像“民科”一样，问出一堆石破天惊的外行问题：化学物理定理为何在生命中失效，生命是哪些，生命有灵魂吗等。更神奇的是，薛定谔的这本不着边际的书，居然指引另一位科学家沃森，获得了诺贝尔生理和医学奖！
尽管杨傻蛋的名声一钱不值，我也没奢望用该“古董”诱发他人获哪些奖，并且，作为本序趣的结尾，我还是要照搬薛定谔同志在《生命化学学》[1]一书的序言第一句话：“通常人们会觉得，科学家作为在自己的研究领域拥有渊博的第一手知识的权威，是不会随意在自己不精通的领域著书立说的，也就是说高威望者肩负重责。但是，为了才能完成这本书，我请求抹杀我头上所有的威望---如果真的有的话，这样也就可一并抚平与之相伴的重担。”
（二）微分等式组基础
物理家可以忽视此节；有特殊需求者，可查阅任何一本微分等式组的教材，例如[3]的第6章。此处，我们只用最形象、最简捷的语言，复述对前面最有用的部份精华。
1阶微分等式组dX/dt=F(X,t)中，有一族很非常的类，名叫自治等式组，其中时间t不再以显式出现，因而它形如dX/dt=F(X)。此处X和F都是n维向量。
推论1，任何自治的高阶微分多项式，都可以等价地转化为某个高维自治的1阶微分等式组。
在微分等式组dX/dt=F(X)中，满足F(X)=0的点称为奇点。奇点又分为结点（含退化结点和奇结点等）、鞍点、焦点、中心点等，不过，本文感兴趣的点只是如下“高密集点”：结点、稳定的退化结点、稳定的奇结点、焦点和中心点（注意：我们舍弃了不稳定的退化结点、不稳定的奇结点、鞍点等）。这是由于有，
推论2，在“高密集点”的任何无穷小的邻域内，都有微分等式组dX/dt=F(X)的无穷多条解轨线凝聚其中。这种解曲线的密集程度之高，甚至可能塞满某个度量小于0的区域，以至于能从数学上观测到这种点的密集邻域的存在。
注意：1）这儿n维函数列向量X=X(t)是dX/dt=F(X)的解轨线，意味着它满足dX(t)/dt=F(X(t))。2）物理上纯粹的点和线，都是没有半径和长度的，或则说，其度量是0，你根本看不见；并且，当这种点足够多，塞满了某个平面时，你就看得见了，更可用化学设备监测下来了。3）化学中的粒子虽小，然而，在物理家的“点”面前，如同是老鼠眼里的小象；粒子运动的轨线虽细，而且，在微分等式组的解轨线面前，如同是小红虫眼里的大蜥蜴。
推论3，假如F(X)在有限区域内连续且有连续偏导，这么对于任何点X0，微分等式组dX/dt=F(X)都有且只有一条解轨线经过此点。并且，不仅奇点之外，任何点X0附近的解轨线都不再密集，更确切地说，假如某条解曲线满足：当t→∞时，X(t)→X0，这么，X0就一定是奇点。
综合推论2和推论3，便可形象地说：不仅“高密集点”附近之外，微分等式组dX/dt=F(X)的解轨线都是数学上不可检测的，尽管轨线确实存在，虽然起码有一根轨线。
（三）微观化学三大怪象
化学学家可以忽视此节；有特殊需求者，可查阅学院数学专业的相关教材。此处，我们也只用最形象、最简捷的语言，复述微观数学中的相关奇幻现象。它们的正确性是毋庸置疑的，由于，全球化学学家们早已无数次地对这种现象进行了验证，并早已给出了其实只有权威数学学家才懂的、个案性的“知其然”解释。
怪象1：电子的基态跃迁，即，电子在围绕原子核旋转时，其轨迹是不连续的，它会忽然从一个基态跳跃到另一个基态，不会有中间状态。
图1：单电子原子的运动模型
化学学家们用氢原子模型对怪象1给出了短篇大论的解释。既然杨傻蛋我看不懂，也就不敢胡乱评论，只截屏了其中最关键的一张相片（见图1）。并且，从该相片中我却注意到（见白色框部份）：电子围绕原子核运转时，轨道半径r和轨道倾角θ,φ满足一个自治的2阶微分等式。为此，依照推论1，该2阶微分等式可以转化为某个高维1阶微分等式组，即，r,θ,φ满足某个微分等式组dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)T。
怪象2：波粒二象性，即，所有的粒子或量子，除了具有粒子的特点，并且也具有波的特点。化学学家们用定态薛定谔多项式来解释了该怪象（见下边的截屏相片图2）。
图2：波函数所满足的定态薛定谔多项式
其实我一直看不懂数学学家们的解释，然而，有如下两点还是清楚的：
1）粒子在势场中的运动，满足图2中的定态薛定谔多项式，从中可以求解出波函数Ψ物理诺奖2023量子纠缠，所以，粒子就是波，并且还是由Ψ所描述的波。为此，下一小节就不再重复解释了。
2）波函数Ψ满足的多项式，是图2中的这个2阶自治微分多项式，因而，依照推论1，该2阶微分等式可以转化为某个高维1阶微分等式组dX/dt=F(X),其中X=(x,y,z,…)T,但是x,y,z是包含在波动多项式Ψ内的三维位置座标。
怪象3：量子纠缠，即，在一定条件下发生过关系的两个粒子，分开之后不管距离多远，它们的关系会仍然存在，当你改变一个粒子的状态时，另一个粒子也会响应，并且反应速率是顿时的。
这可能是数学学中最奇特的现象了，查遍所有资料，我都没有找到简捷合理的解释；反倒像是哪些神啦、鬼啦、灵异啦、上帝啦、意识本质啦、平行世界啦等超自然的解释，却层出不穷。杨傻蛋是绝对外行，不敢妄议这种解释。并且，我却注意到：当两个量子x1,x2形成纠缠时，满足如下积分公式
Ψ(x1,x2)=∫exp[ip(x1-x2+x0)/h]dp
其中纠缠产生的波函数Ψ(x1,x2)不能分解成x1和x2的函数的乘积，即，对任何f(x1)和g(x2)都有Ψ(x1,x2)≠f(x1)g(x2)。这儿x1=(x11,x12,x13),x2=(x21,x22,x23)表示这两个互相纠缠的粒子x1和x2的位置座标。
纠缠时的积分多项式，其实可以转化为微分等式。虽然，很可能在量子理论的专业书籍中，应当是先有微分等式，对它求解后才得到了该积分多项式；不过，幸而微分等式和积分多项式谁先谁后，对我们下一节的解释都无关紧要，总之这不影响如下事实：纠缠的量子x1和x2将满足某个自治微分方程组dX/dt=F(X)（其中X=(x1,x2,…)=(x11,x12,x13;x21,x22,x23;…)）就够了。
（四）数学怪象的一句话物理解释
基于上面两节的物理和化学知识，如今就来给出微观数学中，上述奇幻现象的物理解释；形象地说，虽然我们几乎只用了同样一句咒语，就把所有那些怪兽给打回了原形。原先，在物理家眼中，这种现象都只不过是家常便饭而已，完全没必要大惊小怪。
怪象1的物理解释：电子的基态跃迁，可能是微观化学的任何初学者，首次倍感的最不可思议的事情；由于，它与日常生活经验格格不入：不积跬步,居然也能行至千里！
虽然，物理解释可以是这样的：既然电子围绕原子核运转时，轨道半径r和轨道倾角θ,φ满足自治的微分等式组dX/dt=F(X),X=(r,θ,φ,…)T。于是，在可能的几个奇点(F(X)=0)附近，电子高度密集地经过（尽管轨线互不相交），以至于塞满了“高密集点”邻域的某块度量小于0的区域，进而使其成为可被从数学上观测到的“电子云”。不仅这种“电子云”之外，电子的轨线（即，上述微分等式组的解曲线）就忽然显得相当黏稠了，以至于数学上不可观测。于是，便引起了这样的错觉：电子似乎从一块云，跃迁到另一块云，而没经过中间过程。更进一步地，在各个高度密集的奇点附近，解轨线的密度虽然也互不相同，所以，电子云的基态也就互不相同了。
假如我的上述解释还不够清楚的话，这么就来听一个故事：你平时很难看见蝗虫的影子，但某日忽然发觉它们密集地从天而降，吃光了你家的农田；之后，又忽然消失，接着又忽然出现在邻村。没人看到它们的飞行轨迹，就好象它们在做“电子跃迁”一样，忽然从一个村，跳跃到另一个村，没有中间过程。虽然，不是没有中间过程，而是中间过程太黏稠，以至于不可观察而已。
怪象2的物理解释：波粒二象性也完全打破了老百姓的日常经验，让人很蒙圈：光如何会像芝麻那样是粒子呢？一颗一颗的粒子，咋又成了波呢？
因为“粒子就是波”的推论，已在上一小节说过了，所以，如今只用物理方式来解释“波就是粒子”：既然波动轨迹满足微分等式组dX/dt=F(X)，这么，与怪象1中的解释一样，这种轨迹也将只能高度集中于个别满足F(X)=0的奇点附近，或则说，波的能量也将只能高度集中于那些“高密集点”附近。如果在某点的任意小邻域中，能量已聚焦到足够强的、可被数学测量下来的E>0，这么，按照爱因斯坦等式E=mc2,在该点邻域内，虽然就相当于已产生了一个质量为m=Ec-2的粒子了！
综合而言，虽然我们给出了一个更普遍的解释：波和粒子可以是一回事。
怪现象3的物理解释。为了便于理解，我们首先复述一个纯物理事实：假如Y=(y1,y2,…)是微分等式组dX/dt=F(X)的一条解轨线，即，dY/dt=F(Y)；这么，对Y中的任何一个足标被变动后，例如将yi变为ai，这么，虽然Y中的其它足标都保持未变，这么Y*=(y1,y2,…,yi-1,ai,yi+1,…)就不再是原先的那条解轨线了；换句话说，原先的那条解轨线就不会再经过Y*点了。倘若这条轨线是粒子的运动轨线，这么，你若一直守在Y*处，就再也看不到哪个粒子了；这如同是守株待兔一样。
纯物理事实说清后，回头再说量子纠缠就容易了。由于，既然两个粒子x1=(x11,x12,x13),x2=(x21,x22,x23)互相纠缠意味着满足微分等式组dX/dt=F(X)，这儿X=(x1,x2,…)=(x11,x12,x13;x21,x22,x23;…)，这么，当你变动任何一个粒午时，就相当于变动了解轨线X中的3个足标（比变动一个足标更严重），所以，当你一直守在原先的位置时，那只“兔子”（这两个粒子纠缠后的共同体）就不见了，于是，另一个粒子也就被改变了。
虽然上述解释，不仅仅适用于两个量子的纠缠。无论有多少个量子，例如x1,x2,…,xn，只要它们才能互相纠缠（相应的波函数Ψ(x1,x2,…,xn）不可分解)，并满足某个自治的微分等式组dX/dt=F(X)，这么，它的解曲线X=(x1,x2,…,xn，…)中的任何一个座标都不能被变动，否则其它粒子就会跟随动，由于，它们也是作为一个整体满足微分等式组的。
附件：
量子纠缠还有另一个科普性的解释，它既非本文的主体，但也在此顺便介绍，即使供你们娱乐一下吧。
首先，有这样一个容易理解的事实：即使不可能在同一个时间，不同地点，擒获同一条狗；但却可以看见这同一条狗的喊声，由于声音是波。当你再企图用鸡声去干扰嘶鸣时，便可将原先的猫叫声，合成了一曲乡村交响诗。
其次，依照图2可知，当两个粒子x1和x2互相纠缠后，它们就产生了一个由波函数Ψ(x1,x2)所描述的波（相当于那条狗的喊声）。假如你改变任何一个粒子（相当于加点鸡喊声），波函数Ψ(x1,x2)也就被改变（相当于合成了安多乡村交响诗）。
歪解完毕，信不信由您。感谢！
参考文献
[1]薛定谔，生命化学学课件，上海联合出版公司出版，2017年4月第1版，上海。
[2]杨义先，钮心忻，安全通论，电子工业出版社，2018年出版，上海。
[3]杨义先，钮心忻物理诺奖2023量子纠缠，黑客管理学，电子工业出版社。
