第一宇宙速度的推导主要有以下几种：
1. 能量法（涉及机械能守恒）：
mv²/r = mgh + (1/2)mv²，其中h为高度，r为轨道半径，g为重力加速度。令h=r=h0，即可解得第一宇宙速度v = √(gh0)。
2. 动力学法（近地飞行器受力平衡）：
重力充当向心力，所以mg=mv²/r，由此可得到第一宇宙速度的表达式v = sqrt(gr)。
以上两种方法可以推导出第一宇宙速度的表达式，即v = sqrt(gr)，其中g是重力加速度，r是地球半径。
需要注意的是，第一宇宙速度也被称为环绕速度，是物体紧贴地球表面圆周运动的速度。因为地球对物体的引力完全提供所需向心力，所以物体能紧贴地球表面圆周运动而不会掉下来。
以上信息仅供参考，如果还有疑问，建议查阅专业书籍或咨询专业人士。
假设地球的质量分布均匀，且在地球表面附近，一个物体在地球表面附近绕地球做圆周运动。根据牛顿第二定律和万有引力定律，这个物体所受的向心力与它到地球质心的距离的平方成反比，即：
F = mv^2/r
其中，F是向心力，m是物体质量，v是物体运动速度，r是物体到地球质心的距离。
同时，这个物体受到的重力等于万有引力，即：
GmM/r^2 = mg
其中，G是万有引力常数，M是地球质量，m是物体质量，r是物体到地球质心的距离。
将上述两个公式联立，消去m，可以得到：
v^2 = GM/r
为了使物体能够绕地球做圆周运动，它的速度必须达到第一宇宙速度。第一宇宙速度的定义是物体在地面附近绕地球做圆周运动的临界速度。根据牛顿第二定律，这个物体的向心力等于它受到的重力，即：
F = mg
将F = mv^2/r代入上式可得：
mg = mv^2/r
将v^2 = GM/r代入上式可得：
gr = GM
因此，第一宇宙速度v = √(gr) = √(GM/r)。
需要注意的是，这个推导假设了地球的质量分布均匀且物体在地球表面附近绕地球做圆周运动。如果地球的质量分布不均匀或者物体不在地球表面附近绕地球做圆周运动，那么第一宇宙速度的计算方法可能会有所不同。
