初中阶段的数学竞赛有很多，以下列举其中一些：
1. 全国数学竞赛：这是由中国数学会普及工作委员会主办的全国性数学竞赛，主要在各大中小学范围内举行，所以这是初中生参加的主要竞赛之一。
2. 全国初中数学竞赛：这也是由我国数学会普及工作委员会主办的一项全国性数学竞赛，这也是很多初中生所期待的，因为这项竞赛能够很好的检验学生的数学水平。
3. 华杯赛：这是由团中央中国少年先锋队发展中心、华罗庚金杯少年数学邀请赛组织委员会主办的全国性少年数学竞赛。
4. 希望杯：这是由华罗庚金杯组委会主办的全国青少年数学竞赛。
5. 走出数学迷宫：这项竞赛主要面向初中生，它考察学生的数学知识水平以及解决问题的能力。
6. 其他省市的地方性竞赛：除了全国性的竞赛之外，很多地方还会举办一些地方性的数学竞赛，比如北京市的“东城杯”数学竞赛等。
这些竞赛对于提高学生的数学兴趣和技能都有很大的帮助，同时也有助于培养学生的综合素质。
好的，我可以给您提供一个初中数学竞赛的例题，以八年级几何竞赛为例。
题目：
在八年级几何竞赛中，有一道题目是：给定一个直角三角形ABC，其中角C为90度，AC=3，BC=4。现在有一个圆O，与边AB相切于点D，与边AC和BC分别相交于点E和F。求证：DE=DF。
分析：
这道题目需要证明DE和DF相等，可以通过证明三角形ADE和三角形CDF相似来解决。由于圆O与AB相切，所以角ADE和角DCF相等，因此可以通过证明这两个角所对的弧相等来得到结论。
解答：
首先，我们可以通过已知条件证明三角形ADE和三角形CDF相似。由于圆O与AB相切，所以角ADE等于角ACB。而角ACB等于角DCF，因此三角形ADE和三角形CDF相似。
接下来，我们需要证明这两个三角形中的对应边相等。由于圆O与AC和BC相交，我们可以得到角OAC和角OBC分别是角DAC和角DBC的补角。因此，我们有角OAC = 90度 - 角DAC 和 角OBC = 90度 - 角DBC。由于三角形ADE和三角形CDF相似，我们可以得到DE/AD = CF/CB。而AD = AB - BD = AB - (BC-CF)，CB = BC，因此可以得到DE = CF。
最后，由于DE和DF都垂直于AB，所以DE和DF相等。
总结：这道题目考察了相似三角形的证明和圆的性质，需要学生有一定的几何基础和推理能力。通过分析题目中的条件和已知的几何性质，可以找到证明相似三角形的方法，从而得到结论。
