牛顿通过以下步骤证明万有引力定律：
1. 假设两个物体之间存在引力，那么它们之间的引力大小与它们的质量和距离成正比。
2. 测量相同质量的物体在不同距离时受到的引力，并比较它们的大小，以验证上述假设。
3. 通过实验发现，物体之间的引力与它们的质量和距离的乘积成正比，这与万有引力定律的公式相符。
4. 牛顿还通过数学方法证明了万有引力定律的公式可以解释为一种基于微粒相互吸引的力，这些微粒被称为“质点”。
总之，牛顿通过实验和数学方法证明了万有引力定律，该定律指出任何两个物体之间都存在引力，且引力与它们的质量和距离成正比。
假设有两个物体A和B，它们之间存在万有引力，物体A的质量为m1，物体B的质量为m2，它们之间的距离为r，那么根据万有引力定律，物体A受到物体B的引力大小为：F=Gm1m2/r^2
现在假设物体A有一个速度v1，它在这个速度下做圆周运动。那么根据牛顿第二定律，物体A受到的向心力等于万有引力，即：F=ma1
同时，物体A还受到其他力的作用，比如空气阻力、重力等。这些力的合力等于物体A做圆周运动的向心力，即：F=m1v1^2/r
将这两个等式相等，可以得到：Gm1m2/r^2=m1v1^2/r
化简后得到：Gm1m2=v1^2r
这个公式说明物体B对物体A的万有引力等于物体A的速度乘以物体A和物体B之间的距离的平方。这个公式与万有引力定律的形式是一致的。
这个例子只是一个简化版的证明过程，实际上牛顿在证明万有引力定律时使用了更复杂的数学方法和理论推导。同时需要注意的是，这个例子中忽略了其他因素的影响，比如行星之间的相互作用、行星的自转等。这些因素在实际应用中是需要考虑的。
