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1.运动学 2.1质点运动学基本概念 图2-1-1 211.参照物与参照系 要准确地确定质点的位置及其变化，必须事先选定另一个假定静止的物体作为参照，这个选定的物体称为参照物。 为了定量地描述物体的运动，必须在参照物上建立坐标，形成坐标系。通常采用直角坐标系Oxyz，有时也采用极坐标系。 平面直角坐标系一般有三种类型，一是两轴沿水平和垂直方向，二是两轴沿倾斜平面的平行和垂直方向，三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这一类坐标系称为自然坐标）。 212.位置矢量位移与距离 在直角坐标系中，质点的位置可以用x、y、z三个坐标表示。 粒子运动时，其坐标是时间的函数 x=X(t) y=Y(t) z=Z(t) 这是粒子的运动方程。粒子的
2、位置也可以用从原点O指向粒子P(x，y，z)的一条有向线段来表示。如图2-1-1所示， 也是描述粒子在空间中位置的物理量。 的长度为粒子与原点的距离， 的方向由 的余弦和 决定。它们满足：当粒子运动时，其位置矢量的大小和方向也随时间而变化，可表示为=(t)。在直角坐标系中，设 分别为沿 方向的 和 单位矢量，则可表示为O2 图2-1-2 位置矢量与原点的选择有关。研究粒子的运动，不仅要知道它的位置留学之路，还要知道它位置的变化。如果一个粒子从空间中的一点移动到另一点，则相应的位置矢量由1变为2，这个变化称为粒子的位移，如图2-1-2所示。 位移是一个矢量，是从初始位置指向最终位置的有向线段，描述的是一定时间内粒子位置变化的大小。
3.大小和方向。与坐标原点的选择无关。 213.速度 质点在一段时间内，其位移与所用时间的比值叫做这段时间内的平均速度。平均速度是一个矢量，它的方向与 的方向相同。平均速度的大小与所取的时间间隔有关，所以要具体说明平均速度是哪一段时间（或哪段位移）的。当瞬时速度无穷小，即趋于零时，就成为t时刻的瞬时速度，简称速度。瞬时速度是一个矢量，它的方向是轨迹的切线方向。瞬时速度的大小叫速率。速率是一个标量。 214.加速度 质点的平均加速度使它的速度随时间改变 ，那么 的比值就是这段时间内的平均加速度。平均加速度是一个矢量，它的方向是 的方向。 当瞬时加速度无穷小，即趋于零时， 的比值叫做这一时刻的瞬时加速度，简称加速度。
4、它是矢量，它的方向是速度增量趋近于零时的极限方向。 215.匀加速直线运动 加速度不随时间t变化的直线运动叫做匀加速直线运动。若与 方向相同，则为匀加速直线运动；若方向相反，则为匀减速直线运动。匀加速直线运动规律为： 图2-1-3Ovt 图2-1-4 匀加速直线运动规律也可以用图像来描述，它的位移时间图像（st图）和速度时间图像（vt图）分别如图2-1-3和图2-1-4所示。 从（st）图中可以得到： （1） 任意一段时间内的位移。 （2） 平均速度，即（）时间内平均速度的大小，是图上过点1、2的割线的斜率。 （3）瞬时速度，图形上某一点的切线斜率值等于该时刻的速度值。由st图可得：
5.（vt）图形可以揭示： （1） 任意时刻的速度。 （2） 任意时间段内的位移，该时间段内的位移等于vt图形上时间与横轴所围成的“面积”。这一结论对非匀速加速直线运动也适用。 （3） 加速度，vt图形的斜率等于加速度的值。如果是非匀速加速直线运动，vt图形上任一点的切线的斜率就是该时刻瞬时加速度的大小。 2.2 运动的合成与分解 相对运动 221. 运动的合成与分解 （1） 矢量的合成与分解 矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两个分量构成平行四边形的两条相邻边，合成矢量就是这两个分量共同的平行四边形对角线。 三角形法则由平行四边形法则推导而来，多边形法则可由多个向量的合成推导而来。同一直线上的向量的合成与分解可简化为代数运算，从而
6、不在同一直线上的矢量的合成与分解，一般通过正交分解法计算，即将各矢量投影到互相垂直的坐标轴上，先对各轴进行代数运算高中物理竞赛运动学，再进行矢量运算。 （2）运动的合成与分解 运动的合成与分解是矢量合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的主要特点是：运动的合成与分解总是与力的作用相对应；各子运动具有相互独立的性质，即每一个方向的运动与其他方向运动的存在无关，符合力的独立作用原理；位移等物理量只能在一段时间内完成，因此它们的合成与分解必须注意等时性，即每个运动必须在同一时间内取位移； 瞬时速度等物理量是指某一时刻的物理量，因此，它们的合成和分解必须注意瞬时性。
7.性质，即必须取同一时刻的速度。两个直线运动的合成不一定是直线运动，这一点可以由学生证明。例如：两个匀速直线运动的合成依然是匀速直线运动；两个初速度为零的匀加速直线运动（同一时刻）的合成依然是初速度为零的匀加速直线运动；在同一直线上的匀速运动与初速度为零的匀加速直线运动的合成，是初速度不为零的匀加速直线运动，如：垂直向上与垂直向下的运动；不在同一直线上的匀速运动与初速度为零的匀加速直线运动的合成，是曲线运动，如：斜抛运动。 222.相对运动 任何物体的运动都是相对于一定的参考系进行的。相对于不同的参考系，同一物体的运动往往具有不同的特点，具有不同的运动学量。 相对于观察者静止的参考系通常称为静止参考系；相对于观察者静止的参考系称为静止参考系；
8、运动参考系称为运动参考系。物体相对于静止参考系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对于运动参考系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；运动参考系相对于静止参考系的运动称为牵涉运动，相应的速度和加速度分别称为牵涉速度和牵涉加速度。绝对运动、相对运动、牵涉运动的速度关系为：绝对速度等于相对速度与牵涉速度的矢量和。这一结论适用于运动参考系相对于静止参考系是平移还是旋转。当运动参考系相对于静止参考系平移时，加速度也存在同样的关系：当运动参考系相对于静止参考系旋转时，这一关系不适用。假设有一列平板列车以速度（下标“T”表示
9、火车相对于地面，下同）。有一位大胆的司机在火车上驾驶汽车，相对于火车的速度为，那么显然汽车相对于地面的速度为：（注意：和不一定在一条直线上）如果车上有一只小狗，以相对于汽车的速度奔跑，那么小狗相对于地面的速度为。从以上两个公式可以看出，上述相对运动公式必须遵守以下原则：合成速度的前导索引与第一个分速度的前导索引相同。合成速度的尾随索引与最后一个分速度的尾随索引相同。前一个分速度的尾随索引与相邻的后续分速度的前导索引相同。所有分速度都采用矢量合成法相加。将速度的前导索引和尾随索引互换，改变它们的符号。上述相对速度公式同样适用于相对位移和相对加速度。 相对运动的应用非常广泛，很多问题通过它的应用可以大大简化。
10、换算。下面举两个例子。 =20m/svA=10m/s图2-2-1比如，如图2-2-1所示，两粒子A、B在同一铅垂平面上以初速度向图中两个方向抛出，1s后A、B相距多少米？ 对于这道题，我们可以取一个初速度为零的参考系，A、B被抛出后，以加速度g开始向下运动。在这个参考系中，两粒子A、B都做匀速直线运动，方向互相垂直，它们之间的距离m在空间某点O。 许多小球以同样的速度向三维空间各个方向射出，经过ts后，这些小球中距离最远的两个球之间的距离是多少（假设ts内所有的小球都没有和其他物体发生碰撞）？ 这个问题乍一看似乎是一个比较复杂的问题，因为我们需要考虑小球被射向各个方向的情况。但如果我们取一个与小球被射出同时开始的参考系。
11.在从O点自由落体的参考系中，所有的小球始终在以O点为圆心的球面上。球的半径为，所以最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2。 2.3 抛物运动 231. 曲线运动基本知识 图2-3-1 具有弯曲轨迹的运动称为曲线运动。它一定是变速的运动。图2-3-1显示一个质点做曲线运动，当它经过P点时，在P点两侧的轨迹上取两点。通过三点可以画一个圆，当这两点无限接近P点时，圆也就趋近于一个固定的圆。 我们把这个圆称为P点的曲率圆，曲率圆的半径称为P点的曲率半径，曲率圆的圆心称为P点的曲率中心，曲率半径的倒数称为P点的曲率。如图2-3-1所示，也可以画出Q点的曲率圆。曲率半径越大，曲率越小，曲线弯曲得越慢。曲率半径
12、该值越小，曲率越大，说明曲线很弯曲。直线可以看作是曲率半径为无穷大的曲线。图2-3-2 曲线运动中质点的瞬时速度方向总是沿着该点的切线方向。如图2-3-2所示，一个质点在时间t内沿曲线从A点移动到B点，其速度由V变为VB。那么它的速度增量就是二者的矢量差，=VBV。这个速度增量可以分解成两个分量：在VB上取一段等于V的AC，则V分解成V和V，其中V表示质点从A向B运动时速度方向的增量，V表示速度幅值上的增量。 法向加速度a表示质点做曲线运动时，速度方向变化的快慢，其大小为A点处曲率圆的向心加速度，方向指向A点的曲率中心。切向加速度表示质点做曲线运动时，速度方向变化的快慢，方向也是沿切线方向。
13.它的大小就是总加速度a，是轴向加速度与切向加速度的矢量和。 232.抛物线运动是曲线运动的一个重要特例。物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，物体在地球表面附近运动，其运动高度远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度始终是垂直向下的重力加速度。因此，抛射运动是加速度恒定的曲线运动。根据运动叠加原理，抛射运动可以看作是两个直线运动的叠加。常用的处理方法是：把抛射运动分解为水平方向的匀速直线运动和垂直方向的匀加速直线运动。如图2-3-3所示。取抛物线轨迹所在平面为平面，以抛点为坐标系原点，水平方向为x轴，垂直方向为y轴。 那么抛体运动的规律是：它的轨迹方程是这是开口向下的抛物线方程，当抛掷点与落点在同一直线上时
14、在水平面情况下，飞行时间T、射程R、高度H分别为。抛射运动是对称的，上升时间和下落时间（投掷点与落点在同一水平面上）相等（一般从某一高度到最高点的时间与从最高点到同一高度的时间相等）；上升和下降过程中经过同一高度时速度相等，速度方向与水平方向的夹角相等。以下是一种特殊的抛射运动水平抛射运动：质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫做水平抛射运动。它可以看作是水平方向匀速运动（速度为v0）与垂直方向自由落体运动的综合。 图2-3-4 速度：利用水平和垂直方向的直角坐标系，可得： ，其合成速度的大小为 ，其合成速度的方向为（假设水平夹角为 ），可以看出 时，即速度接近于自由落体的速度。 位移：仍按上述坐标系，可得。仿照上述讨论，可得同样的结论，当时间很长时，水平抛射运动接近于自由落体运动。 加速度：利用水平和垂直直角坐标系，可得，用自然坐标系分解，如图2-3-4所示高中物理竞赛运动学，其法向加速度为 ，其切向加速度为 ，即速度与水平方向的夹角。将速度在水平和垂直坐标系中分解可得： 由此可知，其法向加速度和切向加速度分别为