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问题 5：开普勒定律
2022/1/4
定律
三定律
眉宇间，飞雪亲吻着大地最后一丝秋色。
抬头仰望，一片浩瀚星空，深蓝的色彩点缀着夜的私语。
从宇宙到世间微尘，一切都是相连的，看不见，无声无息，看不见……
如果影子不能在一起，那我愿星与你，在梦里……
——格拉斯调香师
小时候，老师给我们讲过牛顿在一棵果树下发现万有引力定律的故事，一颗熟透的苹果从树枝上掉下来，虽然砸伤了牛顿，但也揭示了人类对自然的认识。
工程趣话·第五期
我们体能测试立定跳远的时候，都希望引力消失一秒钟，当然这是不可能的，引力是宇宙间最基本的力，只要有两个有质量的物体，它们之间就一定存在引力。
在生活中，引力很常见，但多是地球“吸引”物体，人基本感觉不到引力的存在。但放眼宇宙，当两个物体是行星、恒星时，它们之间的引力就变得非常巨大。这种力就像一根绳子，把两个天体绑在一起，使行星围绕恒星做周期性运动。
随着我们年龄的增长和知识的增加，我们知道行星的运动符合开普勒三大定律。
在中学时，我们知道万有引力定律结合曲线运动公式可以导出开普勒三大定律，而将万有引力定律与开普勒定律结合起来，可以更加准确的描述天体的运动。
在本期《趣味工程》中，我们将对万有引力定律的推导过程以及开普勒三大定律和万有引力定律的应用进行更深入的了解。比如，我们知道行星的轨道是椭圆形，那么我们能否利用开普勒三大定律推导出万有引力定律呢？这是我们本期《趣味工程》要讨论的问题之一。
由于篇幅有限，还有很多知识需要同学们在以后的学习中去探索，事不宜迟，让我们开始本期《有趣的工程》的讨论吧！
目录
行星的运动
①万有引力定律
② 开普勒定律
有精力
①扭矩
② 动量矩
③角动量定理与角动量守恒定律
④ 有精力
#证明精神力量是一种保守力量
轨道微分方程-比奈公式
①利用比奈公式求轨道方程
②极坐标系中的圆锥曲线方程
③ 利用能量准则寻找轨道方程（可选）
开普勒定律和万有引力定律
①利用开普勒三大定律和比奈公式，推导出万有引力定律的数学形式
平方反比引力与稳定性
① 适应性与稳定性的平衡
② 引力平方反比与圆形轨道的稳定性
行星的运动
01
万有引力定律
我们在中学的时候就学过，世界上的一切物体，大到天体，小到尘埃粒子，也就是一切有质量的物体，都会受到一种力的作用，这种力就叫引力，这个定律就叫万有引力定律。
这一伟大定律是由英国科学家牛顿发现的，后人根据牛顿的发现完善了万有引力定律，设计实验测定了万有引力常数G，并最终给出了万有引力定律在国际单位制中的表达形式：
万有引力定律可以用文字表达如下：
“任何两个粒子在它们中心连线的方向上都存在吸引力。这种吸引力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比。它与两个物体的化学成分和它们之间的介质类型无关。”
--自然哲学的数学原理
其实万有引力定律的推导过程是一波三折的，历史上，伽利略早在1632年就提出了离心力和向心力的初步设想，布里亚尔在1645年提出了万有引力平方反比的设想，而万有引力与相互作用物体质量乘积成正比的设想，是从发现万有引力平方反比定律到发现万有引力定律的必经阶段。
沿着离心力—向心力—重力—万有引力这一概念的演进顺序，牛顿从1665年到1685年，用了整整二十年的时间，才最终提出了“万有引力”的概念和术语。
1665年至1666年间，牛顿只利用了离心力定律和开普勒第三定律，因此只能证明圆形轨道上的引力平方反比关系，而不能证明椭圆轨道上的引力平方反比关系。1679年，他懂得了利用开普勒第二定律，但证明方法上没有突破，停留在以前的水平。几年后，牛顿基于开普勒第三定律、向心力定律以及极限和微积分等数学概念，用几何方法证明了这个难题。
02
开普勒三大定律
开普勒定律是德国天文学家开普勒提出的行星运动三条定律。第一、第三定律发表于1609年，是开普勒根据天文学家第谷·布拉赫观测火星位置得到的数据总结出来的；第三定律发表于1619年。这三条定律又称为椭圆定律、面积定律、调和定律。
椭圆定律：所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆形，太阳位于椭圆的一个焦点上。
面积定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
谐波定律：所有行星绕太阳公转一周的时间的平方与其半长轴长度的立方成正比，即：
此后，学者们对第一定律进行了修改：
“所有行星（和彗星）的轨道都是以太阳为焦点的圆锥曲线。”
只有当行星的质量远小于太阳时，第二定律才是正确的。如果我们考虑到行星也吸引太阳，这就是一个二体问题。
修正第三定律的准确表达式为：
其中m1，m2为两颗行星的质量，m0为太阳的质量。
有精力
顾名思义，有向心力，即力有一个“力心”。
对于任何行星来说，它所受到的力主要都是太阳的引力，而这个引力的作用线也总是通过太阳的中心。对于人造卫星来说也是如此，它所受到的力几乎就只有地球的引力，而这个引力的作用线也总是通过地球的中心。
一般而言，如果力作用于运动粒子上时，其作用线总经过一个固定点，我们就说作用于这个粒子上的力是向心力。向心力的大小一般是半径r（粒子与力心之间的距离）的函数，力的方向总是沿着粒子与力心的连线。凡是趋向于固定点的力都是吸引力，凡是远离固定点的力都是排斥力。
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扭矩
我们在初中学习杠杆问题的时候，引入了“杠杆臂”的概念，它指的是“从杠杆作用力的一端到杠杆所在直线所引的垂直线的长度”。
我们知道，图示杠杆的平衡条件是：
我们把
它被称为 F1 和 F2 的力臂。我们乘以
它被称为 F1 和 F2 的矩。以矢量积的形式，我们可以将矩写为：
以半径向量L的方向作为支点指向力的作用点。
势头
我们以与扭矩相同的方式定义角动量。
假设有一物体以速度v运动，我们在该物体周围选取一个参考点O，并过O画一条轴l，该物体可看作一个质量为m的点粒子。
半径矢r的模数定义为粒子到轴线l的距离，r的方向是从轴线到粒子m。
所以m的角动量为：
角矩定理和角矩守恒定律
高中的时候老师教过我们“力作用在粒子上一般会改变物体的动量”。我们不妨猜测，力作用在粒子上的瞬间也会改变粒子的动量，因为它们是一一对应的。那我们来验证一下这个猜测是否正确呢？
力矩 M 等于 r 和 F 的矢量积。为了找到力矩 M 的影响，我们将运动方程乘以位置矢量 r：
由两边可得：
由复合函数的导数规律可知：
在动作分析第二期中我们谈到了：
即向量函数在某点的导数也是一个向量，且这个向量在该点处垂直于原向量，因此根据向量积的计算规则有：
然后我们得到：
所以，
如果将上式写成分量表达式的形式，
然后我们有：
它可以写成上面的形式，其中利用了行列式的知识：
其中i，j，k分别为x，y，z方向的单位向量。利用向量相等时，相应分量系数也相等这一知识，可以得到分量表达式。
因此，力矩确实可以改变动量。这种关系称为动量定理，又称角动量定理。即“惯性系中质点绕某一定点或定轴的动量对时间的微分（导数）等于作用于该质点的力绕同一点或轴的力矩。”
如果以J表示角动量，M表示力矩，则角动量定理可以写成：
其积分形式为：
我们把上式的右边称为冲量矩，因此，粒子的角动量的变化量等于该时间内外力赋予粒子的冲量矩。
如果一个粒子不受外力作用，那么对于该点来说，该粒子的角动量是一个恒定的矢量。我们把这种关系称为角动量守恒定律，或者角动量守恒定律。
补充完扭矩和角动量相关的知识之后，我们可以继续进行心智方面的研究。
在向心力作用下，粒子总是在一个平面内运动，因为F与位置矢量r共线，r×F=0，J为常数矢量。根据我们刚刚补充的知识，粒子满足角动量守恒定律的条件。
中心力F的值一般是径向矢量r的函数，即：
或者
在直角坐标系中，以力的作用点为原点，以质点的运动平面为xy平面，则质点的运动微分方程为：
显然，r²=x²+y²，m为粒子的质量。可见，用上述公式来研究向心力十分不方便。因此，我们可以尝试用极坐标系来研究这个问题。
在第二期中，我们提出了极坐标系中粒子的加速度分量：
因此，我们可以在极坐标系中写出粒子的运动微分方程：
请注意，第二个公式可以简化为：
对两边进行积分可得：
也可以写成：
其中h为常数。现在我们来理解一下上述公式的物理意义。
在第二期中，我们给出了极坐标中粒子的速度表达式：
因此动量横向分量的大小为：
径向分量矢量的幅度为：
由于径向分矢量经过O点，所以绕O点的动量矩的大小为0，而绕O点的横向分矢量的动量矩的大小为
也是整个粒子到O点的动量值，因此公式为：
也就是说，在极坐标系中，离心动量守恒定律有一个数学表达式。
事实上，对于有心力，外加力矩r×F=0，角动量J是一个常数矢量，其分量当然也是常数。
用心力动量守恒定律代入运动微分方程第二方程，可得到以下方程组：
这是粒子在向心力作用下所要满足的方程组。
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证明思想是一种保守的力量
要证明一个力是保守力，我们需要证明这个力所作的功与路径无关。例如引力是保守力，引力也是保守力。接下来我们开始证明有心力也是保守力。
大脑所做的工作量是：
我们可以在极坐标中分解力：
类似地，我们也可以对单元位移做同样的分解：
因此，在极坐标系中，所做功的表达式为：
在前面的讨论中，我们得到：
然后积分可以简化为：
显然，F(r)的原函数一定存在，所以定积分的值只和起点和终点对应的半径r有关，和路径无关。（这里要和我们学过的定积分区分开来，因为A、B表示位置，也就是说是在实际曲线上进行积分运算，r1、r2是对应于位置的积分极限，相当于把实际曲线上的积分搬到坐标系轴上算图像面积。所以，不管从A→B走什么路径，对应的积分极限都是相同的。又因为原函数一定存在，所以结果就是函数图像与坐标轴围成的面积，也就是积分结果总是一样的。）
或者我们可以利用第三和第四阶段旋度的知识来判断该力是否为保守力，即判断：
为了证明这个公式是否恒成立，我们在平面极坐标系中写出上面公式的各分量：
制作：
所以：
所以精神力量是一种保守的力量。
且必须有一个势能V，使得精神力满足：
去掉上式右边的负号后，我们称之为标量场的梯度（梯度是函数在某点的方向导数的最大值所确定的矢量，它的大小就是该点方向导数的最大值。）
由于势能差与原点无关，因此我们可以：
此时势能函数V当然只是半径向量r的函数，即V=V(r)。至于机械能守恒定律，当然也是成立的。其具体表达式为：
其中E是粒子的总能量，它是一个常数。
轨道微分方程-比奈公式
在第二节中，我们提出了质点在有心力作用下的运动微分方程：
那么我们可以做出一个猜想：从这组方程出发，能否解出粒子的运动轨迹方程r(θ)=r呢？
对于系统中的每个方程，我们可以解微分方程来获得参数方程：
但很多时候我们无法推导出这样的显函数，而只能将其表示为关于t的隐函数。
那么我们能否对上述公式进行变形，推导出粒子的轨道微分方程呢？
其实是可以的，因为在力学问题中，为了求轨道方程，我们通常先求出运动定律，然后从运动定律中消去t。在有心力问题中，我们可以用另一种方法：先消去参数t，然后求出运动定律。
基于这个想法开普勒第三定律，我们不妨从方程组中消除角度量θ。
为了计算方便，我们通常做如下代入：
代入第二个方程，我们得到：
还因为：
代换
必须：
类似地，我们可以得到：
捆
代入第一个方程，我们得到：
此公式称为比奈公式，当F为引力时，F为负数，反之为正数。利用此公式，我们不仅可以求出已知力条件下的轨道方程，而且还可以由已知粒子在向心力作用下的轨道方程，求出向心力F(r)的具体形式。
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利用比奈公式求轨道方程
为了计算方便，我们把太阳和地球看作质点，设太阳的质量为ms，行星的质量为m。那么万有引力定律告诉我们，太阳与行星之间的力可以写成：
其中G为万有引力常数，k²=Gms是一个与行星无关、只与太阳有关的量，称为太阳高斯常数。R为地心与日心之间的距离。将万有引力定律代入比奈公式，可得：
现在：
如果我们订购：
那么原公式就变成：
所以我们接下来的主要任务就是解这个微分方程。
如果我们订购：
那么微分方程可以写成：
我们将等式的两边乘以 ξ 的一阶导数，得到：
写成积分形式即为：
利用分部积分的方法，可以完成上述积分并得到：
其中C为积分常数，然后将dθ乘以两边并取平方根：
再次积分，我们得到：
因此我们可以得到：
这里的调整利用了三角函数的诱导公式。
和：
或者：
其中A和θ0为两个积分常数，如果我们手动旋转调整极轴，可使θ0=0，则上式可简化为：
如果命令：
那么上面的公式可以写成：
这是极坐标中以焦点为原点的圆锥曲线方程。
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极坐标中的圆锥曲线方程
高中时我们学过直角坐标系下圆锥曲线的标准方程，那么在极坐标系下它们的表达式会是什么样的呢？
其实，只利用几何知识和简单的计算技巧，我们就可以推导出极坐标系中圆锥曲线的方程（以椭圆为例）。
P为焦弦长度的一半，r为焦点到曲线上某点的距离，半焦距为c，半长轴长度为a，θ为r与x的夹角，则可写出准线方程：
将点 (c, p) 代入椭圆的标准矩形方程：
得到：
因此我们可以将准线写成如下形式：
半焦距也可以写成：
利用椭圆的第二个定义，我们可以得到方程（重点放在右边）：
简化一下，我们得到：
此时极坐标系的原点即为右焦点。
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选择
读
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利用能量标准寻找轨道方程
这一点还需要围绕向心力的性质展开讨论。前面我们讨论到，向心力是保守力。那么机械能守恒定律应该成立。我们是否可以用总能量E作为判断标准呢？现在我们就来讨论一下这个问题。
当然，前提是知道F(r)的形式，我们来试着求出势能V(r)的具体形式。
如前面提到的：
在向心函数中，V只能是r的函数，则：
所以：
取无穷大作为势能零点，则重力势能为：
因此机械能守恒定律可以写成：
现在，让我们想办法消除 dt 这个术语：
进行以下转换：
还因为：
将其代入机械能守恒定律，可得：
接下来我们分离变量并得到：
我们可以使用积分公式：
对原公式积分开普勒第三定律，可得：
然后解出 r，即：
使用标准方程：
比较一下你就会知道：
所以：
①E＜0，e＜1，轨道为椭圆。
②E=0，e=1，轨道为抛物线。
③E＞0，e＞1，轨道为双曲线。
开普勒定律和万有引力定律
前三节我们主要讨论了向心力的性质及其相关的应用，并利用向心力的知识给出了质点在向心力作用下的轨道微分方程——比奈公式。
所以在这一节中，我们将利用开普勒三大定律和比奈公式，尝试推导万有引力定律。
根据开普勒第二定律，单位时间内径向矢量扫过的面积A相等，即：
让我们尝试找到面积随时间 t 变化的率的表达式：
P1、P2是行星轨道上相邻的两个位置，当P1、P2特别接近时，扫过的面积约等于三角形OP1P2'的面积，即：
但：
所以：
由已知条件可知：
如果它们都是常数，那么行星绕太阳转动的角动量守恒，也就是行星绕太阳转动所受的力矩为0，行星受到的力必定是向心力。
现在，根据开普勒第一定律我们得到：
轨道为椭圆，以右焦点为极点，轨道方程为：
或者：
将此关系代入比奈公式，我们注意到：
所以：
所以：
上述公式表明，施加在行星上的力与其距离的平方成反比。
但是还有一个问题，公式里的系数：
它不一定是常数，也不代表该公式就是万有引力定律。
所以我们还是要用开普勒第三定律。
我们使用之前得到的公式：
整合，我们得到：
当径向矢量扫整整个椭圆时，A =πab，所需的时间为t，则：
和：
因为
所以：
根据开普勒的第三定律，上述方程式的左侧是与行星无关的常数。
如果：
然后，我们可以将重力写为：
这是普遍重力定律的数学表达。
平方重力和稳定性
我想知道您是否曾经有这个问题：为什么重力能够满足逆方法律？
实际上，要回答这个问题，我们只需要再次查找星空，我们会发现太阳，月亮和星星在不断移动，但它们并不是不规则的或不稳定的。
这种稳定在物理学中称为平衡。
例如，如果在开放空间上有半球并将球放在顶部，则整个系统可以处于力平衡状态。
但是这种平衡是不稳定的，如果我们在水平方向上给球带来了一个小的干扰，球将失去平衡并从圆柱体上滚下来。
但是，如果将球放入半圆形碗中，如图所示：
无论干扰多么小，只要我们将球保留在碗中，它最终将达到平衡状态。
我们将第一种平衡称为适应性平衡，第二种是稳定的平衡。
因此，为了找出为什么重力遵守逆方法律，我们可以从行星轨道的稳定性开始讨论。
为了方便起见，我们讨论了圆形轨道的稳定性。
对于圆形轨道，参数为：
从高中知识中，这总是一个常数，我们知道，如果轨道是圆形的，那么速度是平等的，也就是：
引入角度θ，我们得到：
或者：
因此，二阶导数是：
替代双折射公式：
当粒子轨道是圆形轨道下的圆形轨道时，在中心力的作用下应满足的方程式：
在：
它代表了每单位质量颗粒上施加的吸引力。
接下来，让我们探索对粒子的微小干扰是否会影响其运动的稳定性。
让初始值为：
显然很满意
引入骚乱：
我们可以将ξ及其在公式中的导数视为非常小的痕迹。
显然，我们看不到结果，因此我们需要使用通用的泰勒公式将上述公式的右侧扩展到一个系列中：
请注意，由于ξ是无限量的数量，因此：
将类似的术语结合在一起，我们得到：
在：
采用一阶跟踪并引入常数
你可以
写为：
C2是另一个常数，其价值独立于问题的性质。
接下来，我们将研究C1不同值对微分方程解的影响。
我们订购：
①当C1
将双方乘以ξ'，我们得到：
同时集成双方并使用零件公式的集成，我们得到：
现在：
简化：
取平方根并分开我们得到的变量：
不可缺少的：
完成上述集成，我们得到：
其中θ0是集成常数，求解ξ产量：
扩展由三角函数引起的公式，并使用A和B表示系数：
然后，我们完成其他两种情况的解决方案，并列出以下总解决方案：
只有当C1> 0时，ξ的表达在其他两个表达式中的值才会随着θ的增加而增加，并最终倾向于无穷大。
因此，满足在圆形轨道上运行的质量点：
当时，它将变得稳定。
所以
在特殊情况下，我们考虑了重力和距离的n阶段。
因此很容易得到：
而不是C1 ＞0获得n <3。
因此，只有当n = -1或n = 2时，才能给出稳定的圆轨道。
因此，重力可以符合正方形逆法律。
参考书目
①第四版的“理论力学教程” -Zhou
高等教育出版社
②第七版“高级数学” - 汤吉大学数学系
高等教育出版社
③“财富几何”的第四版-Mei /Huang
高等教育出版社
④北京大学的“高级代数” - 数学部门的第五版
高等教育出版社
⑤第六版的“线性代数” - 汤吉大学数学系
高等教育出版社
@Media中心网络工作室
土木工程与力学和力学中心的网络工作室已经进行了相关工作，依赖于大学Rong Media ，宣传专业并谈论学科。
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