首先我们来看一个物体的滚动,以一个立方体为例,如图1所示,设重力为G,瞬心O到重力线的距离为e,立方体在外力P的作用下会滚动,显然G·e就是滚动的阻力。
随着物体滚动,e逐渐减小;G·e也减小。当G与N共线时,G·e为零。超过共线点,-e的绝对值逐渐增大增大摩擦力的方法,Ⅰ-G·eⅠ也增大;此时不需要外力P作用,物体可以自行滚动至稳定状态。我们将阻力矩从最大值G·e到最大值Ⅰ-G·eⅠ称为一个力矩循环。在这个循环中,G·e从最大阻碍变成最大助力,然后又变回阻力,开始下一个力矩循环。
物体重力产生的滑动阻力和滚动阻力相比较,大多数情况下滚动阻力较大,但球形物体的滚动阻力很小。这是由于球形物体独特的几何形状所致。通常我们说的滚动阻力,都是指球形物体的滚动。我们先来看看球形物体的滚动阻力矩:
如图2所示,如果我们增加立方体的边数,会发现随着边数n的增加,e减小,从而导致G·e的初值减小,扭矩变化周期缩短。当n趋向于无穷大时,正多边形趋向于圆形,此时由于圆周上各点到圆心的距离相等,-e现象消失;扭矩G·e趋向于一个常数,在滚动过程中始终保持滚动前的临界状态,这个常数就是圆形体的滚动阻力。相比较而言,圆形体的G·e阻力比滑动时摩擦产生的阻力小得多。
人体行走相当于多边形的滚动,步幅的一半相当于力臂。
扭矩 N·e 不是摩擦效应。
通常,滚动分析是以圆形体的形式进行的。G为物体的重量;P为外力;F为摩擦力;N为G的反作用力;e为N在外力作用下的位移;O'为N的原始作用点;O为瞬心;h为外力P到瞬心的距离。这里需要特别注意的是瞬心的确定。在我们的教科书和相关书籍中,滚动分析大多是以旋转体的质心或内维度上的点O'作为平衡中心来进行的。其实这些点通常是运动点,不能直观地表现出物体的临界运动状态,容易引起分析的误差;而O点是滚动体的临界矩中心,是一个瞬时不动点。因此,我认为选择O点作为平衡中心进行分析是比较合适的。
主要力P能使物体绕O点转动,即滚动。这种滚动是一种特殊的旋转状态,是一种旋转中心不断变化的力矩作用,旋转中心即为瞬心。在滚动过程中,瞬心O的位置沿面不断变化,使两物体产生相对运动,此时N、F对O点的矩均为零,因此,它们既不是滚动的驱动力,也不是滚动的阻力,只有G对O点的矩与主要力矩相反,因此,它是滚动的阻力。
以往我们多以力偶M(G,N)或力矩N·e的形式来分析滚动阻力,并称之为“摩擦”。从数学公式上看,它们等于G·e,但从物理角度看,它们是不同的。从前面的分析可以看出,滚动阻力本质上是物体位移引起的反作用力,一般用G·e来表示更为合适。即使是以M(G,N)或N·e的形式,将其理解为摩擦也是不正确的。N与G在垂直方向上是平衡的、成比例的,所以N不随外力P的变化而变化。当外力P撤去后,N仍然存在,但对于摩擦而言,当外力撤去后,它就不存在了。这是N与摩擦的本质区别;同样,力矩e不具有摩擦特性,它由物体的刚度、重量、材料、几何形状等因素决定,不受滚动力矩大小的影响。因此,N·e不能视为“摩擦”。
摩擦的辅助作用
力偶和力矩都能使物体滚动,但它们对瞬心有平移作用。滚动时的摩擦力就是这种平移作用引起的反作用。它与滑动时的摩擦力相同,滑动时的摩擦力也是静摩擦力。
这个反作用力F的大小对物体的滚动有很大的影响。前面的讨论都是基于F大于P(或Pm)的假设。当F小于P(或Pm)时,物体就会滑动或转动。这种事实在我们日常生活中很常见。例如,如果脚很滑(即摩擦作用小),人就会走路吃力;如果汽车在结冰的路面上行驶,就会“打滑”。它们都表明摩擦对滚动运动有很大的影响。换句话说,对于滚动来说,摩擦是稳定瞬心增大摩擦力的方法,防止其发生位移的必要条件。摩擦作用越大,瞬心稳定性越强;此外,没有摩擦就不能发生滚动。
力偶和力矩对瞬心的平移作用是不同方向的。力矩对作用点的平移作用需要用相反的力来平衡,而力偶对作用点的平移作用则需要用与力偶中另一个力方向相同的力来平衡。这就是自行车前后轮摩擦力方向不同的原因。由此可以推论,滚动体的瞬心受力偶作用时,摩擦力的方向与滚动体运动方向相同,受力矩作用时,摩擦力的方向与滚动体运动方向相反;反之,这个推论也成立。例如,人走路时,摩擦力的方向是向前的,所以人走路(滚动)的力就是力偶的作用;如果人被人推,摩擦力的方向是向后的,就是力矩的作用。
以上也说明,滑动摩擦与滚动摩擦都是阻碍平动的,但它们对两种运动的作用不同,一个是阻碍,一个是辅助,因此,我们不应该把摩擦分为两类。