更新说明：有网友认为伯努利方程还没有被误解这么严重。 我在本文底部展示了一个非常流行的误解和误用，并添加了几个实验视频。
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伯努利方程可能是流体力学中最著名和最容易被误解的原理。 我听过无数次这样的说法：“快速流动导致较低压力”。 请注意，这种说法是不正确的。 真正严格的说法是：
对于稳定流动的不可压缩无粘流体，在同一条流线上，速度快的地方压力低。
请注意，一般来说，当满足以下条件时，伯努利方程必须成立：
稳流（流量）：也就是说整个流场不随时间变化； 不可压缩流体（流体）：流体的密度不随压力变化； ()：流体的粘度可以忽略不计。 通俗地说，用更容易理解的话来说，就是流体没有摩擦力； 同一流线（Line）：也就是说压力的比较必须在同一条流线上才有意义（“前后”比较而不是“左右”比较）
除了满足这些条件之外，最重要的是伯努利方程说，快速的流动总是伴随着低压。 这是一个“相关性”陈述，而不是“因果关系”，即快速流动导致低压。 陈述。 前者意味着流速快的地方压力总是低的，但并不是因为流速快压力就低。 事实上，恰恰相反，因为压力低，流速快。
让我们看一个简单的例子。 比如有这样一根稳定流动的水管。 B点水管流道较窄，形成“喉咙”（工业上称为文丘里管）。
由于管道内的流动是稳定的，内部任意点的流场不随时间变化。 那么它在不同区域的流量会是多少呢？ 例如，我们选择两个界面AB之间的一段，对其中的水进行质量守恒计算：
每秒进入断面的水量-流出断面的水量=断面内水量的增加量
由于是稳流，因此该段管道内的流体性质不随时间而变化，也就是说该段管道内的水质将保持不变。 这样我们就有：
进入断面的水流量=离开断面的水流量
由于B位置较窄，其流速必须比A位置快，这样才能实现上述质量平衡。 同理，我们也可以知道B处的流速一定大于C处的流速，AC处的流速相等。 我们必须知道三个地方之间的速度关系：
v_A=v_c
现在，我们在管道中放入一个轻质的小球，这个小球会随着水流流下来。 那么当球从 A 行进到 B 时，它的速度一定会随着水流越来越快——它不断地加速。 从B到C，它的速度随着水的流动越来越慢——一直在减速。
根据牛顿第二定律，我们知道从A到B的加速过程中，必然受到一个净向前的力。 这股力量从何而来？
这个力显然是由流水的作用造成的。 请注意，由于球在水流中保持相对静止，因此它所受到的所有力都来自水的静压力，不包括水流的阻力和其他动态力。 那么球所受的力包括两部分：来自后面的向前的压力和来自前面的向后的压力。 由于球上的净力是向前的，因此后部的压力必须大于前部的压力。 换句话说，当船从 A 点到 B 点时，周围的压力不断减小，直到到达 B 点，此时球不再加速。 因此，在从A到B的过程中，流量总是增大，压力总是相应减小。 压力最低的地方，流速最高。
同理可以看出，在从B到C的过程中，小球一直在减速。 也就是说，球前部的压力始终大于后部的压力。 因此，在这个过程中，流速总是减小，而压力总是增大。
所以，在整个过程中，我们知道哪里的流量最高，哪里的压力最低。
从这个例子我们可以看出，伯努利方程中所谓“高流量、低压”的真正原因无非是牛顿第二定律：流体在从高压流向低压的过程中加速，并且在从低压流向高压的过程中减速。
这其实很容易理解：在AB段，当我们努力将流体挤出喉部时，喉部的速度必须加快，否则会造成A段“拥堵”，从而增加上游压力，所以PA>PB。
BC段也是如此。 从B点喷出的流体速度非常快。 虽然直径在下游扩大，但由于惯性，这个速度往往会维持下去，这必然会导致从B部分流出的液体“跟不上前面”。 产生的净力会产生向后的“拉”力，从而降低 C 处的流速。因此，B 处的压力较低，而 C 处的压力较高。
我们不必考虑能量守恒，我们只需凭直觉就可以很好地理解伯努利方程。
我们仔细看看这里的关键点，那就是流体流动的驱动力是压力梯度，而不是压力。 下图显示了一个立方体流体单元。 我们可以在一维简化的情况下分析其前后的受力：
该流体元件上的净力为：
F=-AdP=-Vfrac{dP}{dz}
根据牛顿第二定律我们有：
rho Vfrac{du}{dt}=-Vfrac{dP}{dz}
因此，有：
rho frac{du}{dt}=-frac{dP}{dz}
请注意，上式右侧是压力梯度。 换句话说，压力梯度驱动流体流量的变化。 那么我们就会认为压力其实就是这个驱动力的“势”，压力场就是势场。 如果您不熟悉场论，请考虑一下电势场是如何产生的。 那么我们就可以形象地理解这个伯努利方程了：我们自然地将势能类比为高度，那么流场内部的压力分布就像地形起伏一样。 气压高的地方就相当于地势高。 ，气压低的地方相当于地势低。 粘性流体的流动就像光滑物体在该势场中的运动。 因此，压力低的地方流速就快，就像一块石头从山坡上滑下来一样。 压力越低，流速（流速）越快。
众所周知的伯努利方程的推导过程是基于能量守恒的。 很多人看完推导后还是一头雾水。 这里我们可以应用牛顿第二定律来推导。 首先，为了方便直观理解，我用简化的方法做了一维计算。 直观理解后，我再用流体力学的原理来推导一下。
我们选择一个流体单元并沿其流线l进行分析。
因此，沿着它所走过的道路，牛顿第二定律成立：
rho frac{du}{dt}=-frac{dP}{dl}
根据链条导向公式：
frac{du}{dt}=frac{du}{dl}frac{dl}{dt}=ufrac{du}{dl}
这个公式是什么意思？ 它将我们的微元件运动参考系转变为“静止”流场参考系。 如果你不熟悉坐标变换，你可以想象这样一个场景：当你爬山时，你在某一时刻t的高度取决于两个因素，一是山坡的陡峭程度，二是山体的高度。你爬的山。 速度。 这里，微元件的速度变化还取决于两个因素。 一种是不随时间变化的流速场中速度随位置（陡度）的变化，另一种是流速。
这实际上是雷诺传递定理的简化版本。 有兴趣的可以自行查一下资料。
所以：
rho ufrac{du}{dl}=frac{d}{dl}left( frac{1}{2}rho u^2 right)=-frac{dP}{dl}
也就是说，对于整个流程来说：，
frac{d}{dl}left( frac{1}{2}rho u^2+P right)=0
所以我们得到这个结果：
frac{1}{2}rho u^2+P =const
这对于整个流线来说都是如此。
这就是伯努利方程。 我们可以看到，这是牛顿第二定律的直接结果。 当然，这是一个非常不精确的推导，严格来说，甚至是一个错误的推导。 但它可以帮助我们直观地理解。
最后给大家一个严谨却又简单粗暴的“闭嘴算算”的推导。 对于粘性流体，我们有：
rho frac{Dbf{u}}{Dt}=rho frac{\bf{u}}{ t}+rho left( bf{u}cdotnabla right) bf{u} =-nabla P
对于稳定流，速度不随时间变化：
rho left( bf{u}cdotnabla right)bf{u}=-nabla P
还因为：
left( bf{u}cdotnabla right)bf{u}=nabla left( frac{1}{2}bf{ucdot u} right)+left( nablatimesbf{u} right)times bf{u}
所以，
nablaleft( frac{1}{2} rho u^2+Pright)=left( nablatimesbf{u} right)timesbf{}u
上面的公式告诉我们什么？ 该公式左括号中的梯度集必须垂直于速度和速度旋度。 也就是说，它沿着流线和涡流是恒定的。 事实上，更广泛地说，它是由涡线和流线组成的兰姆平面中的常数。
那么牛顿第二定律实验，我们可以看到下面的公式：
frac{1}{2}rho u^2+P =const
这不仅适用于整个流线。 但它们都建立在同一个羔羊平面上。
如果我们进一步假设流体是无旋场，那么我们得到一个广义的结论：
在无旋场中，伯努利方程在任何地方都成立。
我们可以看到，通过严格的计算，我们发现伯努利方程中的“同一流线”实际上并不是一个必要条件。
严谨的意思是严谨，但在这样的推导过程中，我们很难有一个“直观”的理解。 我们只是进行计算，然后突然嘿，我们得到了一个很好的结论。 只是紫色。
让我们谈谈对伯努利方程最普遍的误解和误用之一。
这是一个广为流传的实验，用来“证明伯努利效应”：向一张纸条上面吹空气，纸条就会向上上升。 我在这里用视频展示一下（请忽略视频中的傻猫）：
猫：惊喜！我好像发现了宇宙的秘密
科普（甚至一些严肃的论文或者科教片）都会把这种现象归结为伯努利原理：看，上面的流速高，所以压力低，所以纸浮起来了。
然而，这种解释是错误的，这种现象所表现出的并不是伯努利效应，而是其他的东西。 这里最大的错误就是忽视了“同流线”条件，从而导致误用。 是的，流量高的地方压力就低，但是所谓的“低”指的是哪里低呢？ 我们之前反复强调过，伯努利方程是沿着同一条流线建立的，而不是在不同流线之间建立的。 当我们遵循流线时，很明显，伯努利方程表明压力低于吹风机内部的压力（如果你用嘴吹气，则表明压力低于肺部的压力）！ 纸张的上下部分根本不在同一条流线上，完全没有可比性。
不相信吗？ 请观看这个视频：
让纸张自由悬挂，然后在纸张的一侧直接向下吹气。 按照之前的逻辑，纸张应该向有空气吹动的一侧移动。 事实上，我们会发现它几乎没有变化。 那么，所说的“流速快、压力低”又如何呢？ 这正好说明了纸条两侧的压力并没有因为流量的变化而变化：因为它们根本不在同一条流线上。
那么，秘密在哪里呢？ 请继续观看视频：
你看到什么了吗？ 纸张偏转的方向根本不取决于气流在哪一侧，而是取决于气流方向与纸张的夹角！
真正的原因恰恰在于伯努利方程忽略了粘度。 下面我就来分析一下。 如下图所示，当气流从喷嘴高速吹出时，由于粘性的存在（可以简单理解为摩擦力），会带动周围的空气随之移动，进而带动空气流动。周围的空气。 这会导致周围的空气流走，然后吸引周围的空气流入补充：
那么对于一张纸来说，这会是什么样子呢？ 我们看一下纸张漂浮的过程如下图（）：
图中黑线代表纸片，红线代表流线。 一开始，纸张垂直悬挂（图A）。 将空气吹到纸张上方，会因粘性（这称为）带走纸张右侧的空气，从而形成低压区。 由于这个低压区的存在，纸张会向右上方漂浮，同时流线会向下弯曲（图B）。 这最终将使流线和纸张相互接近。 此时，空气的流动不再是直线向前，而是呈向下的弧线（图C）。 这是一个旋转的领域。 我们上面最通用的公式可以完美地解释这个过程。 但这里我只给出一个直观的解释：向下弯曲的流线会产生离心力，这个离心力会把纸带起来。 这种效应称为（康达效应）。
柯恩达效应是指粘性流体流过壁面时，产生“柯恩达”效应牛顿第二定律实验，使流体沿壁面弯曲和转向的现象。
在这里，正是粘度的存在使纸张漂浮起来。 纸张漂浮的动力来自于弯曲流线的离心力。 但伯努利方程忽略了粘度，所以用在这里难免出错。
我们还可以对上面的流光实验稍作改动，来演示这种弯曲流线的效果。 我们轻轻地将一张纸放在物体上以形成凹面，然后做相同的实验。 我们会发现那张纸不再漂浮，相反，它会下沉！
在科普（甚至在一些专业论文中）中，伯努利效应经常与这种效应（以及大量其他流体动力学效应）相混淆。 例如，飞机的升力、香蕉球的偏转等都是相同的。 例如，一个流行的用来“证明伯努利原理”的实验如下：
中间的流速高，所以压力低，这不是有道理吗？ 事实上，这是一个很大的错误。 不信，请把杯子换成牛奶盒。
