1. 抛物线运动
抛物运动是现实生活中很常见的一种比较简单的运动模型，比如向空中扔球、向河里扔石子等。根据投掷方向的不同，抛物线运动可分为垂直投掷运动、水平投掷运动、水平投掷运动等。投掷运动和斜投运动。
这些类型的运动有两个共同点：
首先，物体有一个初速度。 这个初速度是通过“投掷”的动作获得的，比如发射炮弹、跳跃运动员、弹出弹簧等。“投掷”的动作在给予物体初速度后立即消失。 也可以说，“投掷”相当于初速度。第二，物体会受到恒定的外力，其中最常见的是重力和后面将要学习的电磁力。
抛物线运动有一般的处理方法：根据牛顿第二定律，将恒定的外力转换为恒定的加速度，将运动的合成与分解结合起来进行数学处理。 主要困难在于数学处理。
1.1 垂直投掷运动
垂直投掷运动是最简单的抛物线运动，实际上是匀速直线运动。
垂直投掷动作可分为垂直向上投掷和垂直向下投掷两种，从字面上看很容易理解。
垂直向上投掷是将物体垂直向上投掷，使其具有垂直向上的初速度。 在重力的作用下，物体的上升速度逐渐减小，直至达到0，此时达到最高点。 然后开始自由落体。
垂直投掷是将物体垂直向下投掷，使其具有垂直向下的加速度。 物体的速度在重力的作用下不断增加。
垂直向上投掷的上升阶段是匀减速直线运动，下降阶段是匀加速直线运动。 垂直向下运动是匀加速直线运动。
处理垂直投掷运动的关键步骤是根据牛顿第二定律将重力的作用转化为物体的加速度——即重力加速度。 剩下的就是二次函数的数学。 匀速直线运动在《机械运动（一）直线运动》中有详细介绍。
1.2 平投运动
水平投掷运动是物体水平投掷的运动，物体的运动轨迹是抛物线。
在“投掷”的作用下，物体在水平方向上有一个初速度。 由于物体不受水平方向外力的影响，因此水平方向的速度保持不变。 同时，物体在垂直方向受重力影响，以匀加速运动。 物体的实际运动轨迹是一条抛物线高中物理三，下面将结合具体例子详细介绍。
例1.2：在20米高的山坡顶上，一块重20克的石头被水平风吹落。 下落瞬间，水平方向的速度为15m/s。 重力加速度为 g=10N/kg ( m/s^2)。 现在让我们研究一下这块石头的运动。
首先建立平面直角坐标系，以起始位置为原点，水平和垂直方向分别为x轴和y轴，向前和向上分别为正。
水平方向：石块以匀速直线运动。 速度与时间的关系为v_{x}(t)=15（下图左）。 任意时刻水平方向的速度为15（m/s）； 位移与时间的关系为s_{x}(t)=15t（下图右），简单匀速直线运动。
垂直方向：石块做匀加速直线运动。 速度与时间的关系为v_{y}(t)=-10t（下图左侧），方向向下，符号为负； 位移与时间的关系为s_{y}(t)=- 10t^2/2=-5t^2（下图右），相关推导在《机械运动（一）直线运动》中。
现在，基于以上两组关系，在同一时刻，以石块水平方向的位移为横坐标，垂直方向的位移为纵坐标。 画出图形，得到石头的实际运动轨迹。 方法如下：
步骤1：分别列出石头在水平和垂直方向上的位移-时间关系表达式。
s_{x}(t)=15t
s_{y}(t)=-5t^2
我们现在需要做的就是将 s_{x} 和 s_{y} 代入方程以揭示它们之间的关系。 可以发现，两个公式中有一个共同的变量t（时间）。 这个公共变量也称为参数。 您可以使用此参数将 s_{x} 和 s_{y} 连接在一起。 这是第二步。 去做。
步骤 2：消除参数
根据s_{x}(t)=15t，可得t=s_{x}(t)/15，
根据 s_{y}(t)=-5t^2，可得 t=sqrt{s_{y}(t)/(-5)}
（注：因为s_{y}(t)leq0，根符号为非负数，时间t始终为非负数）
结合上面的方程我们得到：
s_{x}(t)/15=sqrt{s_{y}(t)/(-5)}
上式显示了任意时刻石块的水平位移与垂直位移之间的关系。
第 3 步：简化
由于上式中没有时间t，只有两个方向的位移，我们可以简单地将s_{y}(t)替换为y，将s_{x}(t)替换为x，即：
x/15=sqrt{y/(-5)}
y 相对于 x 的函数为：
y=-x^{2}/45
这就是平抛运动的轨迹，它是一个二次函数，如下图所示。 因此，二次函数的图像也称为抛物线。
利用上面获得的条件，可以获得许多其他数据。
例如：山坡的高度为20m，也就是说当y=-20时，石头就会落到地上。 根据y=-x^{2}/45，代入y=-20：-20=-x^{2}/45，得到x=30（水平位移始终为正）。 我们可以知道石头落到地面的位置距离。 山坡水平距离为30m。 根据毕达哥拉斯定理，直线距离可计算为 sqrt{30^{2}+20^{2}}=10sqrt{13} (m)
另外，知道石头落地时的垂直位移，根据s_{y}(t)=-5t^2，我们可以求出石头落地时已经移动的时间，然后找出此时的水平和垂直位移。 对于各个速度，可以根据向量的加法和减法求出实际速度的大小和方向。 请独立完成。
1.3 斜投掷运动
斜投掷运动是物体沿倾斜角度投掷的运动。 生活中常见的抛射运动大多是斜向投掷。 完全水平或垂直的抛射物在现实生活中并不像倾斜投掷那么常见。
斜投运动的特点是物体有一个倾斜的初速度，并且在垂直方向上始终受到重力的作用。 处理斜向投掷运动与处理平投掷运动类似，只是需要先将初速度分解为水平和垂直方向。 物体在水平方向做匀速直线运动，在垂直方向做匀速直线运动。 下面通过具体的例子来详细介绍一下。
例 1.3 一个人在海滩上把贝壳扔进海里。 炮弹以与水平线成30°角以20m/s的速度斜向上抛掷。 重力加速度为10N/kg。 假设炮弹从水平高度抛出。 现在让我们研究一下这个壳的运动。
首先，仍然建立平面间坐标系：以水平向前和垂直向上方向分别为x轴正、y轴正，以炮弹被投掷的起始位置为原点，建立平面直角坐标系。
沿水平和垂直方向分解壳的初速度：
v_{x}=20*cos(pi/6)=10sqrt{3} (米/秒)
v_{y}=20 *sin(pi/6)=10 (米/秒)
垂直方向也受重力加速度影响：a_{y}=-10m/s^2
通过模仿平投运动来分析两个方向的运动。
水平方向：炮弹以匀速直线运动。 速度与时间的关系为v_{x}(t)=10sqrt{3}（下图左），位移与时间的关系为s_{x}(t)=10sqrt{3 } t（下图右）。
垂直方向：炮弹垂直向上抛掷，速度与时间的关系为v_{y}(t)=10-10t（下图左）； 位移与时间的关系为s_{y}(t)=10t-5t^2（下图右）。
关于炮弹的实际运动轨迹，因为s_{y}(t)=10t-5t^2，所以将t转化为s_{y}的函数是非常麻烦的，所以不要硬性将其转化为t=f (v_{y})= g((v_{x}) 然后求解。可以使用简单的 s_{x}(t)=10sqrt{3}t，并得到 t=s_{x}( t)/10sqrt{3} ，然后直接代入 s_{y}(t)=10t-5t^2 得到：
s_{y}(t)=10*s_{x}(t)/10sqrt{3}-5*(s_{x}(t)/10sqrt{3})^2
即 y=sqrt{3}x/3-x^{2}/60
图片如下：
概括
以上就是抛物线运动的主要模型。 许多运动可以参考抛物线运动来处理。
例如，一辆汽车在行驶过程中突然急刹车，如果与地面的摩擦力保持不变，那么汽车从刹车到静止的过程类似于垂直向上运动，是一条直线运动，均匀的速度。 例如，从船上，始终保持船头面向对岸（垂直于河流的方向），并以恒定的速度朝该方向移动过河。 船过河的过程类似于平抛运动。 例如，如果船头沿倾斜角度以恒定动量向前移动，则其轨迹类似于斜运动。 只要物体的运动符合“具有初速度并受到恒定的外力作用”，就可以做到这一点。
更一般地，根据牛顿第二定律将力函数转换为加速度函数，然后进行数学处理就足够了。 主要难点集中在数学处理上。
2、匀速圆周运动
抛物线运动的轨迹虽然是一条曲线，但在实际处理中可以将其分解为两个方向的直线运动来简化。 匀速圆周运动和抛物线运动有非常明显的区别。
这里我们只是简单研究一下圆周运动的基本情况。 深入的推导和扩展将在后续章节中详细给出。
2.1 匀速圆周运动
速度保持恒定但方向始终变化且运动轨迹为圆的运动称为匀速圆周运动。 现实中匀速圆周运动的例子有很多，比如匀速旋转的摩天轮、旋转木马、绑在绳子一端匀速抛掷的钥匙等等。
在匀速圆周运动中，速度的大小不变，但方向始终在变化。 严格来说，速度一直在变化。 这与速度方向保持不变或只有两个方向的线性运动不同：正方向和负方向。
2.2 方向：逆时针、顺时针
在圆周运动中，通常将逆时针旋转方向定义为正向，顺时针旋转方向定义为负向。 即，普通时钟指针沿“负”方向旋转。
2.3 尺寸：线速度和角速度
物体做匀速圆周运动的实际速度称为线速度，表示单位时间内物体在圆周上行进的距离，单位为m/s。 匀速圆周运动的物体除了有线速度外，还有角速度。 接下来详细介绍线速度和角速度的区别和联系。
2.3.0 弧度
在谈论角速度之前，我们需要专门谈谈弧度。 本章中的所有角度均以弧度为单位。
我在几何中学过，角度将圆周分为360份，单位是度。 每部分为 1 度，圆周为 360 度。 这个单位“度”的起源有些不明，数字“360”的使用没有任何理由，也没有任何数学或科学依据。 弧度直接揭示了角度和长度之间的关系。 弧度是角度，但它们比角度更有用。
定义弧度：弧长等于半径的弧，它所对的圆心角为1弧度，单位为rad，即1rad。 即从圆周上切出一条长度等于半径的圆弧，这条圆弧对应的角度为1弧度。如下图
如上图所示，在单位圆的圆周上，截取一条长度等于半径的圆弧（红色）。 该弧对应的圆心角为一弧度：1 rad
单位：弧度单位是rad，与基本物理单位无关。 如果非要说的话，rad的单位是“1”（数字“一”），因为弧度代表弧长与半径的比值。 弧长的标准单位是米，半径的标准单位也是米。 两者相比，m/m=1。
根据pi，我们可以知道，对于任何圆，它的周长与直径的比值都是一个常数值，大约为3…，称为pi，用π表示。 这种定量关系表示为C=πd或C=2πr。 C 是周长，d 是直径，r 是半径。
由于整个圆的周长为C=2πr，因此可以将其视为首尾相连的长度为r的2π弧。 每段对应的角度为1rad，所以整个圆周角度为2πrad。 对于半径为 r 的圆，每个大小为 a rad 的角对应于弧长 ar。
如上图所示，六个彩色圆弧的长度均为r，黑色圆弧的长度为(2π-6)，它们共同构成了一个圆。
角度与弧度的关系：
360°=2πrad，即a°大小的角换算成弧度为：a°/360°=(xrad)/(2πrad)，x=πa/180。 反之则类似。
用弧度代替角度最大的方便在于可以直接看出长度和角度的关系。 然而，由于角度使用时间长且学得早，一开始很难习惯使用弧度。 尽可能使用曲率。 一旦你熟悉了它，你就会清楚地感受到它的优点。
2.3.1 返回角速度
角度表示物体单位时间内旋转的弧度，单位为rad/s。 它与线速度类似，但将距离（m）替换为弧度（rad）。
2.3.2 线速度与角速度的关系
根据弧度的定义（弧长与半径的对应关系），可得：对于沿半径为r的圆做匀速圆周运动的物体，其角速度ωrad/s和线速度vm/s有定量关系 ω=v /r
很容易理解：单位时间内，物体沿圆周所走的距离为am，即这条弧线的长度为am。 长度am对应的弧度为a/r rad。 单位时间内，物体旋转的弧度为ω，所以ω=a/r。 物理量的单位也一致。
2.3.3 相同角速度不同线速度示例
对于具有共同旋转轴、相同中心、不同半径的两个物体，比如下图中一大一小两个齿轮，它们的角速度相同，即完成所需的时间一场革命是一样的。 但线速度不同。 根据定量关系a=ωr可知，半径越大，线速度越大。 他们同时完成一个圆圈，但大圆圈的总距离较长，小圆圈的总距离较短。
举个生活中的例子，跑步时，如果一个同学跑内圈，另一个同学跑外圈，两个学生以固定的角速度将一根杆子的两端握在一起，则该学生跑在外圈。外圈会比内圈的同学跑得快。 只要跑得更快就可以了。
如上图所示，当共享旋转轴时，红色小滚轮和蓝色大滚轮具有相同的角速度，并且同时旋转共同的角度α。 由于大滚轮的半径较大，小滚轮的半径较小，因此单位时间内大齿轮转动了αR的距离，小滚轮转动了αr的距离。 两者的线速度与半径有关。
2.3.4 线速度相同但角速度不同的示例
对于两个利用皮带、联动齿轮等连接圆周上某些点或固定一个位置作为接触点的旋转物体，如下图传动带两端的大小两个滚轮，由于为了保证传动带的固定效果，传动带上任意位置的线速度都是相同的，从而导致两端的两个滚筒也具有相同的线速度。 但由于两个滚轮的半径不同，根据ω=a/r，可以看出，较大滚轮的角速度小于较小滚轮的角速度。
我们还使用跑步距离。 对于相同速度的学生来说，完成200m一圈比完成400m一圈所需的时间要少。
如上图所示，一大一小两个滚筒被一条黑色的固定传送带捆绑连接。 输送带上各处的速度相同，因此两个滚筒的线速度也相同。
2.3.5 自行车就是两者的一个很好的例子。
脚踏板与内部的滚轮共用同一轴线，且具有相同的角速度，即脚踏板每踩一次，内部的滚轮就会转动一圈。 自行车的滚轮和后轮通过链条固定，两者具有相同的线速度。 自行车的前轮和后轮都在地面上行驶，具有相同的线速度。 它们滚动的距离必须相同，否则如果前后速度不一致，自行车就会散架。 在前后轮尺寸差异较大的自行车上看起来会更明显。 小轮胎转了好几圈，大轮胎却连一圈都没有转完。
2.4 向心力
物体做圆周运动需要向心力。 向心力根据力的作用而得名。 它可以是重力，例如地球绕太阳旋转（近似圆周运动）。 也可以是绳子的拉力，比如用绳子系住一个球，然后把它扔出去。
对于做匀速圆周运动的物体来说，向心力的大小不发生变化，但方向始终在变化。 它垂直于速度方向并沿着物体指向圆心。
向心力的计算公式为：F=mv^2/r，m为运动物体的质量，单位为kg； v为运动线速度，单位为m/s； r为运动半径，单位为m。
向心力也可以用角速度来表示。 根据 ω= v/r，可得： F=m(ωr)^2/ r=mω^2 r，ω 为角速度，单位为 rad/s。
现实生活中常见的匀速圆周运动，比如匀速抛绳子时，手对绳子的拉力是这样变化的。 但实际上，这是在手的控制下，刻意让绳子做匀速圆周运动。 有一种“为了创造均匀的速度”。 圆周运动刻意营造向心力的感觉。 这与汽车制动、自由落体等运动中“客观存在的力迫使物体做匀速加减速运动”的感觉不同。 那么是否存在某种客观的力迫使物体做匀速圆周运动，而不是故意产生向心力以维持匀速圆周运动呢？
是的，但是离现实生活还有一定的距离。 例如，地球绕太阳转，月球绕地球转，人造卫星绕地球转。 它们都可以近似地视为使地球、月球和卫星作匀速圆周运动的万有引力。 另外，正如稍后您将了解电磁学一样，在一些常见情况下，电磁力也会迫使带电物体做匀速圆周运动。
2.5 向心加速度
在向心力的作用下，物体产生向心加速度。 使用牛顿第二定律很容易找到向心加速度的大小：
a=F/m=(mv^2/r) /m=v^2/r 或 a=F/m=(mω^2 r)/m=ω^2 r
向心加速度虽然称为“加速度”，但其作用并不是增加物体的速度，而是改变物体的运动方向。 不要被名字误导。
2.6 向心力的变化
高中物理主要考察匀速圆周运动。 向心力的大小是恒定的。 向心力大小的突然变化通常只需要定量地考虑。
根据具体情况，当做匀速圆周运动的物体受到向心力突然变化时。 需要分解考虑新的力的作用：分解为沿运动方向的方向和朝向圆心的方向：沿运动方向是否存在改变物理速度大小的力？ 指向圆心的力大于还是小于保持匀速圆周运动所需的力？ 如果它大，物体就会靠近圆心，如果它小，它就会远离圆心。
向心力和向心加速度的推导将在后续章节详细解释。
3、单摆
摆锤将在后面的机械振动章节中详细解释。 这里我们简单介绍一下基本情况。
将一根失重的绳子（或直杆）的一端固定，使绳子可以沿着这个固定点自由地前后摆动。 将一个有质量的重物绑在绳子的另一端。 在保持绳子自然伸展的同时，将重物推到不太高的高度，然后突然松开。 带有重物的绳子开始来回摆动。 这种模型称为摆。 真正的秋千非常接近钟摆。如下图
摆模型有几个关键点：绳子或杆子没有质量，末端的物体有重量，绳子或杆子可以沿固定点（某一方向）自由摆动，以及摆锤的角度。升力不大（θ通常不大于10°），整个系统无摩擦和阻力，摆动范围也不会太大。
摆锤作周期性运动，有固定的周期T，每次经过整数个周期T后，就会恢复到原来的运动状态。 也可以说，当时间间隔为整数个周期时，摆的运动状态是相同的。 循环时间是从一种运动状态到该运动状态再次出现的最小间隔。 例如，从一个最高点摆动到另一个最高点高中物理三，然后再返回。 或者从最低点摆动到最高点，然后到另一个最高点，然后回到最低点。
单摆并不是高中的重要科目。 你只需要记住它的周期公式就可以了。 这个公式的推导是大学里的内容，不需要掌握。 单摆的周期公式为：
T=2 pisqrt{l/g}
从公式中可以看出，摆的周期与其长度有关，与摆动物体的质量无关，与升力的最大高度无关（在小范围的角度内） ）。
