1 磁路简介
磁路介绍：结构上大多由高磁导率磁性材料组成。 高磁导率材料的存在往往会限制由该结构确定的路径中的磁通量，并且电流被限制在电路的导体中。 两者非常相似。 我们通过下面的例子来简单介绍一下磁路：
简单磁路
铁芯由磁性材料制成，其磁导率μ远大于周围空气的磁导率(mugg mu_{0})。 磁性铁芯的高磁导率使得磁通量几乎完全限制在铁芯内。 磁力线遵循铁芯指定的路径（mu_{0} = 4pi times 10^{-7} H/m 是自由空间的磁导率）。 磁芯具有均匀的横截面，并由承载电流 I 的 N 匝绕组激励磁通量公式，从而在磁芯中产生磁场。
穿过表面 S 的磁通量 phi 是磁通密度 B 法向分量的面积积分： phi = int_{S}^{} B cdot da 单位：韦伯 Wb
如果假设磁芯所有截面上的磁通密度均匀且相同磁通量公式，则磁通计算公式可以简化为： phi_{c} = B_{c} A_{c}
式中：phi_{c}为铁芯中的磁通量； B_{c}为铁芯内的磁通密度； A_{c}是铁芯的横截面积。
磁场强度 H 沿闭环 C 的切向分量的线积分是磁势 F，它也等于通过与环相关的任何表面 S 的总电流：
oint_{c}^{} Hdl=int_{s}^{}Jcdot a=Ni=F
磁场强度H与磁通密度B的关系是磁场所在材料的特性：B=μH，其中μ是材料的磁导率
在实际的电机中，磁路中必然存在气隙。 当气隙长度 g 远小于相邻磁芯表面的尺寸时，磁通量 phi_{c} 将沿着磁芯和气隙限定的路径流动。 您可以使用磁路分析方法。 如果气隙长度变得非常大，则可以观察到磁通从气隙边缘“泄漏”，并且磁路分析方法将不再严格适用。
假设下图中的气隙长度g足够小，可以将其分析为具有两个串联部件的磁路。 两个串联部件通过相同的磁通量phi：
铁芯内的磁场密度：B_{c} = frac{phi}{A_{c}}； 气隙中的磁场密度： B_{g} = frac{phi}{A_{g}}
磁势： F = Ni =H_{c}l_{c} + H_{g}g = frac{B_{c}}{mu}l_{c} + frac{B_{g}}{mu_ {0}}g = phi（frac{l_{c}}{mu A_{c}} + frac{g}{mu_{0}A_{g}})
有气隙的磁路
我们定义铁芯和气隙的磁阻R：
磁芯磁阻：R_{c} = frac{l_{c}}{mu A_{c}}； 气隙磁阻： R_{g} = frac{g}{mu_{0}A_{g }}
因此，F = phi (R_{c} + R_{g}) 或 phi = frac{F}{R_{c} + R_{g}}
整个系统的总磁阻R_{tot} = R_{c} + R_{g}，磁阻的倒数称为磁导{tot} = frac{1}{R_{tot}}
由于气隙磁阻远大于磁芯磁阻，R_{tot}R_{g}； phi frac{F}{ R_{tot}} = frac{Fmu_{0}A_ {g}}{ R_{g}} = Nifrac{mu_{0}A_{g}} {R_{g}}
电路与磁路的类比
在分析问题时，我们假设磁场完全局限于铁芯和气隙内，但实际上绕组电流也会在铁芯之外产生磁场。 在变压器和旋转电机中，当两个或多个绕组放置在磁路上时，铁芯外部就会产生磁场。 这种类型的磁场称为漏磁场。 漏磁场会显着影响器件性能，不容忽视。
当磁场随时间变化时，在空间中产生电场，可用法拉第定律描述：绕组端子处的感应电压等于闭环磁通量随时间的变化率：
e = Nfrac{d}{dt} = frac{dpsi}{dt}
式中，psi为绕组磁链，定义为psi = N，其中符号用于表示时变磁通的瞬时值。
对于由具有恒定磁导率的磁性材料组成的磁路，或者包含主导气隙磁路，psi 和 i 之间存在线性关系，定义为电感 L：
L = frac{psi}{i} = frac{N^{2}}{R_{tot}}
可以看出，磁路中的绕组的电感与匝数的平方成正比，与与该绕组相关的磁路的磁阻成反比。 可见，电感可以看作是电路产生磁链的能力。
假设磁芯磁阻与气隙磁阻相比可以忽略不计，则公式可以简化如下：
L = frac{N^{2}}{(g/mu_{0}A_{g})} = frac{N^{2}mu_{0}A_{g}}{g}
电感与匝数、磁导率和横截面积的平方成正比，与长度成反比。 需要强调的是，电感的概念要求磁通量与磁势呈线性关系，因此不适用于磁性材料的非线性特性。 然而，在许多实际应用中，系统的磁阻以气隙磁阻为主（气隙磁阻是线性的），磁性材料的非线性效应可以忽略不计。
2 同步电机磁通方程
了解了电感的定义后，我们还需要知道同步电机的磁通方程：
2.1 漏电自感和定子绕组自感
三相电流流入永磁同步电机的定子绕组后，电流产生的磁通分为两部分：一部分是漏磁通，相对于漏磁通的电感无关与转子位置有关并且是一个恒定值； 另一部分是漏磁通。 一部分为主磁通，穿过气隙并与其他两相定子绕组交链。 当电机转子旋转时，凸极效应会引起主磁通路的磁阻发生变化，相应的电感系数也会相应发生。 种类。
交流永磁同步电机结构原理图
在与 d 轴夹角 θ 的 Q 点，单位面积的气隙磁导 {delta}left( thetaright) 可表示为：
{delta}left(thetaright)={}-{}cos2theta
其中，{}为气隙磁导率的平均值； {} 是气隙磁导率的二次谐波幅度。
气隙磁导波形图
气隙磁导波形图描述了气隙磁导与转子位置角θ之间的关系：
永磁同步电机中，d轴电感小于或等于q轴电感，电励磁同步电机则相反。 为了更加符合PMSM情况，将公式稍作修改，得到：
{delta 0}=frac{1}{2}left({delta d}+{delta q} right) ;
{delta 2}=frac{1}{2}left({delta d}-{delta q} right) ;
{delta}left( thetaright)=frac{1}{2}left( {delta d}+{delta q} right)+frac{1}{2} left({delta d}-{delta q} right)cos2theta ;
以A相定子绕组为例，当流过电流i_{A}时，A相定子绕组轴向的磁动势F_{a}和单位面积上的气隙磁导Q点{delta}A相定子绕组气隙磁链psi_{Adelta}left(thetaright)对应left(thetaright)满足如下关系：
psi_{Adelta}left(theta right)=Kcdot F_{A}cdot {delta}left(thetaright)
psi_{Adelta}left( theta right)=Kcdot N_{A}i_{A}cdot left( frac{1}{2}left( {delta d}+ {delta q} right)+frac{1}{2}left( {delta d}-{delta q} right)cos2theta right)
psi_{Adelta}left( theta right)=i_{A}cdot left( frac{1}{2}left( L_{AAd}+L_{AAq} right)+ frac{1}{2}left( L_{AAd}-L_{AAq} right)cos2theta right)
其中，K为气隙磁链、磁动势、气隙磁导的比例系数； N_{A}是A相绕组的匝数。
L_{AAd}=Kcdot N_{A}i_{A}cdot{delta d};L_{AAq}=Kcdot N_{A}i_{A}cdot{delta q}
根据漏自感和自感的定义，A相定子绕组的漏自感L_{Asigma}和自感L_{AA}表示为：
L_{Asigma}=frac{psi_{Asigma}}{i_{A}}=L_{1}
L_{AA}=frac{psi_{Asigma}+psi_{Adelta}left(theta right)}{i_{A}}=L_{1}+frac{1}{ 2}left( L_{AAd}+L_{AAq} right)+frac{1}{2}left( L_{AAd}-L_{AAq} right)cos2theta=L_{s0}- L_{s2}cos2theta
其中，L_{1}为漏自感平均值，与A相定子绕组的漏磁链psi_{Asigma}有关，与转子位置无关； L_{s0}为A相定子绕组自感的平均值。 ，L_{s2}为A相定子绕组自感二次谐波的幅值：
L_{s0}=L_{1}+left( L_{AAd}+L_{AAq} right)/2
L_{s2}=left( L_{AAq}-L_{AAd} right)/2
由于B相定子绕组、C相定子绕组和A相定子绕组在空间上相差120°，因此可以认为三相定子绕组A、B、C的漏感为相等，即：L_{Asigma}=L_ {Bsigma}=L_{Csigma}=L_{1}
将式中θ分别代入（θ-120°）和（θ+120°），可得三相定子绕组A、B、C的自感：
2.1 定子绕组的互感
当A相定子绕组流过电流i_{A}时，A相定子绕组轴向磁动势F_{A}可分解为式中的直轴磁动势分量F_{Ad} d轴方向和q轴方向。 交轴磁动势分量F_{Aq}：
直轴磁动势分量 F_{Ad} 和交轴磁动势分量 F_{Aq} 产生各自的磁联动分量 psi_{Ad}left( theta right) 和 psi_{Aq}left (thetaright)：
由于 d 轴和 B 相定子绕组轴不同相（θ-120°），因此 psi_{Ad}left( theta right) 与 B 相定子绕组相交的部分为 psi_ {Ad}left( theta right)cosleft( theta-120° right) ; psi_{Aq}left( theta right) 与 B 相定子绕组相通的部分为 psi_{Aq}left( theta right)cosleft( theta-120° right) ; 因此，A相定子绕组电流i_{A}通过气隙并与B相定子绕组磁链psi_{BAdelta}left(thetaright)交链可表示为:
psi_{BAdelta}left( theta right)=psi_{Ad}left( theta right)cosleft( theta-120° right)+psi_{Aq}left( theta right)cosleft( theta-120° right)
psi_{BAdelta}left( theta right)=L_{AAd}i_{A}cosleft( theta right)cosleft( theta-120° right)+L_{AAq} i_{A}sinleft( theta right)sinleft( theta-120° right)
psi_{BAdelta}left( theta right)=-i_{A}left[ frac{1}{4} left( L_{AAd}+L_{AAq} right)+frac {1}{2}left( L_{AAd}-L_{AAq} right)cdot cos2left( theta +30° right)right]
A相定子绕组与B相定子绕组之间的互感M_{BA}可表示为
M_{BA}=frac{psi_{BAdelta}left(theta right)}{i_{A}}=-M_{s0}+M_{s2}cos2left(theta +30° 正确的）
式中，M_{s0}为A、B相定子绕组平均互感的绝对值； M_{s2}为A、B相互感二次谐波的幅值：
M_{s0}=frac{1}{4} left( L_{AAd}+L_{AAq} right)
M_{s2}=frac{1}{2}left( L_{AAd}-L_{AAq} right)=L_{s2}
由于空间对称性，当电流i_{B}通过B相定子绕组时，B相定子绕组与A相定子绕组之间的互感可表示为：
M_{AB}=-M_{s0}+M_{s2}cos2left(theta +30° right)
将上式中的θ分别替换为（θ-120°）和（θ+120°），可得三相定子绕组A、B、C的互感：
再将上式代入磁链分量方程可得：
永磁同步电机定子绕组电感与转子位置关系示意图2.3定转子绕组互感计算
为了便于推导电机的电磁扭矩公式，我们将转子永磁体与转子励磁绕组等同为电流i_{f}（对于正弦磁场分布的PMSM，i_{f}为常数值） 。 转子绕组f与定子三相绕组之间的互感矩阵[M_{sf}]为：
永磁体磁链表示为：
综上所述，三相定子全磁链可表示为：
对上式进行dq0变换，得到dq电感模型：
L_{d}=L_{s0}-M_{s0}+frac{3}{2}L_{s2}
L_{q}=L_{s0}-M_{s0}-frac{3}{2}L_{s2}
3 电感测量方法 3.1 LCR测量仪器法
通过LCR设备测量电感有两种接线方法，如下图所示。 实验原理为：对电机被测端进行阻抗解耦分析，推导其等效阻抗数学模型，手动改变转子位置，不断搜索转子位置。 使等效阻抗模数达到最大值（读取时转子应停止），记录阻抗值，然后根据等效阻抗数学模型计算电机的dq电感。
接线方式
对于实验方法1，B相和C相并联。 此时电机被测端的等效电感极值为：
L_{min}\frac{3}{2}L_{d}
L_{max}\frac{3}{2}L_{q}
对于第二种实验方法，仅使用A相和B相进行测量。 此时电机被测端的等效电感极值为：
L_{分钟}\ 2 L_{d}
L_{max}\ 2 L_{q}
采用该方法测量dq电感参数的优点是操作方便、实验装置简单、LCR测量仪可以保证高精度测量。 但该方法仅适用于测量电机停止时的数据，且受到测试电流幅值的限制。 而且该方法不能充分考虑磁路饱和的影响，因此在一些实际应用中不适合推广。
3.2 直接加载法
直接加载法也是常用的实验方法。 原理比较简单。 根据电机发电或运行时的相量图，得到横轴和直轴电感的计算公式，然后测量公式中的各个参数，如通过电压、电流、功角、等，即可得到所需的电感参数，更能真实地反映电机的实际运行情况。 下图为永磁同步电机带感性负载时发电状态的相量图。
永磁同步电机发电状态相量图
直接负载法主要通过测量相量图中的各个参数来达到最终电感辨识的目的。 实际测量时，采用专用电参数测量仪器测量电枢端电压、电流和空载相反电位，以保证这三个量的测量精度。 通过在电机侧安装编码器来测量角度。
该负载法能够充分考虑磁路饱和的影响，计算量小，运算也不复杂。 但当电机长时间运行或超过额定电流时，很容易导致电机发热，进而影响定子电阻的变化。 当电流过大时，电压降对定子电阻会产生较大的影响，从而影响电感值。 另外，由于空载反电动势E_{0}在公式中所占比例较大，其微小的波动也会造成较大的误差。 因此，为了提高电感测量的精度，对测量仪器有一定的精度要求。 。
3.3 基于遗忘因子递推最小二乘法的参数辨识
与上述常见的计算量要求较小的实验方法不同，许多研究人员开始利用其他学科领域的各种算法和知识进行参数辨识，最小二乘法就是其中较常见的方法之一。永磁同步电机在dq轴下为
为了实现永磁同步电机的参数辨识，这里引用q轴电流方程，进行离散化，此时采用i_{d}=0的控制策略，可得
i_{q}(k)=alpha i_{q}(k-1)+beta u_{q}(k-1)+gamma omega(k-1)
式中，alpha=1-frac{R_sT}{L_s}、beta=frac{T}{L_s}、gamma=frac{}{L_s}、R_{s}为永磁体同步电机 的定子电阻，L_s 为电机电感（此处为隐极永磁同步电机，因此 dq 电感相同），psi_f 为永磁体磁链。
当输入量电角速度 omega、dq 电流和 q 轴电压已知时，可以确定所需的参数 R_s、L_s 和 psi _f
遗忘因子的大小直接影响算法的性能。 值越大，算法的鲁棒性越好，但跟踪能力会下降； 反之，跟踪能力增强，但鲁棒性减弱，对外界的干扰和噪声变得敏感。 因此，该方法的识别精度会受到遗忘因子值的影响。 遗忘因子的大小一般在0~1之间，太大或太小都会影响识别过程，且其稳定性难以保证。
3.4 高频注入法电感辨识
高频注入法是在电机定子端加三相平衡高频电压。 电压幅度不受限制。 通过分析高频响应信号获得电机电感参数信息。 原理如下图所示：
高频注入法电感辨识原理
U^*_{dq}为电机两相旋转坐标系dq下的电压给定值，U^*_{alphabeta}为电机两相静止坐标系αβ下的电压给定值电机，U_{alphabeta i}为坐标系αβ上注入的旋转高频电压信号，I_{uvw}为电机电流响应信号，为电机电角位置信号。 从高频注入电压信号获得高频响应电流信号。 通过提取高频电流响应的正负相序幅度，可以识别横轴和直轴电感参数。
高频电流响应分量、电流基波响应分量、电机本体谐波分量和逆变器谐波分量都是电机高频响应电流信号的分量。 因此，有必要设计一种合适且高效的过滤器进行过滤。 这是该方法的一个主要难点，将使电感识别过程变得极其复杂。 此外，电机驱动控制系统将采用逆变器。 一般逆变器具有非线性效应，会导致逆变器输出的电压波形中存在其他次谐波，从而降低逆变器的电压利用率。 ，对逆变器的死区补偿性能要求也变得更高。
参考文献^《永磁同步电机电感参数测量研究综述》电气工程笔记-磁路与磁性材料^《永磁同步电机dq电感参数实验获取新方法》《AE和D Umans第6期》 J Pan：如何理解永磁电机的各种电感？
