石宇
（复旦大学物理系）
一、简介
由于在拓扑相变和物质拓扑相方面的开创性工作，Solis (David J.)、 (FM) 和 (J.) 共同荣获 2016 年诺贝尔物理学奖[1]。
这三位获奖物理学家都是长期在美国工作的英国人。 他们出生于英国，本科就读于剑桥大学。 索利斯出生于1934年，在美国康奈尔大学获得博士学位。 他的导师是著名物理学家汉斯·贝特。 他是华盛顿大学的名誉教授。 霍尔丹出生于 1951 年，在剑桥大学获得博士学位。 在我心目中，他的导师是爱德华兹（Sam F.）和当时在剑桥大学兼职的著名物理学家菲尔·W·安德森（Phil W. ）。 他是普林斯顿大学的教授。 科斯特利茨出生于1942年，获得牛津大学博士学位，现为布朗大学教授。
在颁奖当天写下的即时评论中，作者曾表示：“今年的奖项对他（索利斯）来说已经姗姗来迟了。”[2] 除了字面意思之外，这句话也有点特别。 意思是，因为可悲的是，索利斯患有轻度痴呆症（）。
拓扑原本是一个数学概念，指的是物体在连续变化下保持不变的性质。 连续变化是指拉伸、扭曲、变形等，但不能被“用力过猛”撕裂
。 例如，球体和椭球体，甚至任何没有孔的形状的物体，在拓扑上都是相同的。 百吉饼在拓扑上与带把手的茶杯，甚至任何带有孔的物体相同。 因此，孔的数量（数学上称为亏格）是一个拓扑性质，也是一个整数。
三位获奖科学家发现拓扑在凝聚物质的某些物理性质方面起着至关重要的作用。 凝聚态物质是指由大量粒子组成的物质，如固体、流体等。这些物理性质一般是指低温下的性质，其中量子力学发挥着重要作用。 三位科学家的获奖工作都是关于研究低维凝聚态物质系统。 通常空间是三维的（长、宽、高）。 当组成系统的微观粒子的运动受到限制时，它可以成为低维系统，即二维（只有长度和宽度）或一维（只有长度）。 索利斯和科斯特利茨的获奖作品是关于二维系统的。 霍尔丹的获奖作品涉及二维和一维系统。
三位获奖者的成果后来导致了这一研究领域的巨大进展，使我们能够从微观粒子的拓扑性质角度理解凝聚态物质，并设计新材料、新器件，甚至有可能为量子计算机的实现做出贡献。
2. 拓扑相变
获奖成果之一是所谓的拓扑相变。
相变是指由相同微观粒子组成的宏观体系在不同温度下表现出完全不同的性质。 例如，随着温度下降，气体变成液体，液体变成固体。 再比如，随着温度下降，液氦可以变成超流体凝聚态物理得诺贝尔物理学奖，即变成没有粘度的流体（类似于超导）。 不同宏观性质的表现形式称为相，如水的气相、液相和固相，或者液氦的超流相和正相。
相变的发生是由于两个因素之间的竞争：能量和一定程度的无序（称为熵）。 一方面，不同的相具有不同的能量。 例如，简单来说，液相的能量比气相低，固相的能量比液相低。 另一方面，液相比固相更混乱，并且气相比液相更混乱。 对于液氦来说，超流相的能量比正相低，正相比超流相更加混乱。 混沌程度（熵）乘以温度可以直接与能量进行定量比较。 为了稳定，系统既希望能量尽可能低，又希望混沌程度尽可能高。 最终结果是存在一个温度，高于该温度系统处于一个相，低于该温度系统处于另一相。 这是一个相变。
1972年之前，物理学家普遍认为从正相到超流相的相变只能存在于三维系统中。 对于二维系统，当时认为在非零温度下不存在相变。 换句话说，在任何非零温度下，正态性总是获胜，因为它在混沌程度上的优势总是能够克服能量上的不利趋势。 因此，有人说，在2D或1D系统中，在任何非零温度下，热波动破坏了有序性凝聚态物理得诺贝尔物理学奖，并且不存在相变。
1972年，英国伯明翰大学数学物理教授索利斯和博士后科斯特利茨发现，通过拓扑可以在二维上发生新的相变，即拓扑相变。 具体来说，到达此拓扑的路径是通过涡流。 涡流是指液体在一定区域内绕轴旋转（或某种物理性质随绕轴角度变化）。 这是一种拓扑结构，因为无论怎么旋转，旋转一圈总是360度。 与没有涡流的情况有很大不同。 表征涡流的量是其绕数，即绕其轴的圈数。 索利斯和科斯特利茨发现，在二维系统中，涡旋有两种形式。 一种是旋转方向相反的漩涡束缚在一起，另一种是它们彼此不束缚。 这两种形式之间存在能量和无序的竞争，导致非零温度下的相变。 低于该温度，正向和反向涡流形成束缚对。 高于这个温度，涡流可以自由移动。 这种相变称为拓扑相变或KT相变。 Solis和最初讨论了超流薄膜的相变，但类似的KT相变也存在于其他系统中，例如超导薄膜、平面磁系统等。
索利斯和科斯特利茨的理论发现后来在超流体薄膜、超导薄膜和各种其他系统（包括最近的冷原子、极低温下的原子气体）中得到了实验证实。
3. 量子霍尔效应中的拓扑
1980年，德国物理学家冯·克里青（von）研究了二维电子气的霍尔效应。 在两种不同的半导体之间，可以形成薄导电层，其中电子形成二维气体。 在电压下，电子形成电流。 此时，加上垂直磁场。 由于磁场的作用，在垂直于电流的方向上也会形成电压，称为霍尔电压。 这一基本现象由霍尔于1879年发现，称为霍尔效应。 可以用电磁学来简单地解释。 另一方面，冯·克利青将样品保持在极低的温度下，以观察量子力学的效应。 他发现电流与霍尔电压之比（称为霍尔电导）始终是某个物理常数（电子电荷的平方除以普朗克常数）的整数倍，这就是量子霍尔效应。 而且这种量子化非常精确，精确度达到十亿分之一，因此这个物理常数的倒数（即普朗克常数除以电子电荷的平方，称为冯·克利青常数）现在被用作阻力的标准。 单元。 冯·克利青因这一发现荣获 1985 年诺贝尔物理学奖。
实验发现霍尔电导非常稳定。 在一定范围内，当温度、半导体中的杂质浓度和磁场变化时，霍尔电导保持恒定。 当磁场变化到一定程度时，霍尔电导对应的整数变为相邻整数。
1980年，索利斯转到华盛顿大学工作。 在那里，他和他的合作者贾元振（Jia ）、南丁格尔（MP）和M. Den Nijs提出（根据四位作者的姓氏，简称TKNN），量子霍尔电导的量子化起源对于拓扑来说，对应的整数是一个拓扑数。 这就是数学大师陈省身多年前发现的陈数（中国人的骄傲）。 后来，索利斯还与当时的学生牛谦、当时该系高能物理组的吴永石合作，给出了另一个更一般的推导，适用于杂质的情况。 顺便说一句，牛前（德克萨斯大学教授）和吴永石（犹他大学教授，现兼任复旦大学教授）长期以来对凝聚态物质的拓扑性质做出了重要贡献。 最近，Solis 等人的研究结果。 冷原子实验也证实了这一点，其中通过实验测量了陈数。
陈数源于拓扑学，可以简单理解如下。 表面总是被其边环包围。 该循环可以是 1 个循环或 2 个循环。 事实上，它可以是任意整数n个循环。 这个整数n是拓扑数，是绕数，与面的具体形状无关。 在量子霍尔效应中，这个表面处于一个抽象的参数空间中，拓扑在物理上表现为前面提到的霍尔电导，对实验和样品的细节不敏感。
通过Solis等人的工作，霍尔电导的量子化归因于某个参数空间的拓扑数。 因此，原则上，即使没有磁场，只要能够实现参数空间中的陈数，电导就可以被量子化，即与整数成正比。 由于这种拓扑结构，表现出量子霍尔效应的电子气被称为拓扑量子流体。
得益于索利斯等人的基础工作，霍尔丹于1988年发现，即使没有磁场，只要存在所谓的时间反演对称性破缺（指构成系统的微观粒子的运动处于从任意初态到过去时间的终态反转，即当时间变化的符号发生变化时，系统的能量函数发生变化；否则称具有时间反演对称性），存在能带具有非零陈数（固体中每个电子的能量在某些范围内有连续的可能值，在其他范围内有连续的不可能值。这种分布称为能带）。 也可以形成类似于量子霍尔效应的拓扑量子流体，也会出现类似的量子霍尔效应。 电导的量子化。 当时，霍尔丹依赖于晶格上跃迁电子的理论模型。 最近使用激光形成的晶格上的冷原子直接模拟了该模型。
霍尔丹的无磁场拓扑量子流体的想法近年来也在所谓的拓扑绝缘体中得到了实现。 拓扑绝缘体通常是由自旋轨道耦合和时间反演对称性引起的拓扑状态。 由于拓扑的原因，拓扑绝缘体的本体是绝缘体，而表面是导体。 在这里，动量就像磁场一样。 在拓扑绝缘体中，电子表现出所谓的量子自旋霍尔效应。 这是 C. Kane 和 E. Mele 于 2005 年在石墨烯模型中提出的。然而，石墨烯中的自旋轨道耦合太小。 斯坦福大学教授张首晟及其合作者于2006年利用半导体量子阱提出了现实可行的解决方案，并由德国的(L.)分组。 2007年通过实验实现。提出的无磁场的量子霍尔效应被称为反常量子霍尔效应。 薛其坤课题组于2013年首次利用掺杂磁性杂志的拓扑绝缘体验证了这一点（从而打破了时间反转对称性）。 现在人们还发现了三维拓扑绝缘体。
4. 一维反铁磁性和对称保护拓扑态
1982年，霍尔丹研究了一维磁体的拓扑特性。 一维磁体也可以称为自旋链。 它是由许多原子组成的。 每个原子都有一个自旋（内部角动量，类似于绕自己的中心轴旋转，但实际上并非如此）。 在一定的基本单位下，它可以是半整数，也可以是整数。 如果相邻原子的自旋之间的相互作用是正的，那么当相邻的自旋方向相反时，从简单的经典物理来看，能量较低，这称为反铁磁性。 但关键是要考虑量子力学效应（所谓的量子涨落）引起的与这种经典状态的偏差。 霍尔丹指出，具有整数和半整数自旋的反铁磁自旋链具有完全不同的性质。 对于整数自旋链，最低能量和最接近能量之间存在有限差，称为能隙。 由半整数自旋组成的链没有能隙，这意味着它是连续的。 霍尔丹的猜想首先在磁性材料中得到验证。
在霍尔丹的论证中，他从相邻自旋相反的情况考虑了量子力学效应引起的偏差（涨落）。 每种情况都有一定的概率。 而这个概率取决于时间和一维空间组成的抽象二维空间中的一个拓扑量，即绕数乘以自旋（整数或半整数）。 该拓扑量是复数的相位，导致整数自旋链的复数为 1。 当匝数为偶数时，半整数自旋链的复数为 1，否则为 -1。 由于需要考虑各种缠绕数的可能性，对于相邻自旋相反偏离的情况，半整数自旋链的各种缠绕数对概率的贡献相互抵消。 所以半整数自旋链的能量情况就像相邻自旋的相反情况一样，没有能隙。 对于整数自旋链，情况总是偏离相邻自旋的相反方向，从而产生能隙。 这称为霍尔丹相。
现在人们认识到霍尔丹相、整数量子霍尔效应态和拓扑绝缘体都是所谓的对称保护拓扑态。 还有一些拓扑态不属于这一类，例如分数量子霍尔效应和自旋液体，其中还有许多未解之谜。 目前，国际上物质拓扑态研究方兴未艾。 其中一位领导者是温小刚（麻省理工学院教授），他在与牛谦合作的一篇文章中首次提出了拓扑序的概念。 拓扑序后来成为拓扑量子计算的基础。 物质拓扑态的研究对于量子计算的实现也非常有意义。
这篇文章提到了很多在拓扑物质这个凝聚态物理前沿领域做出重要贡献的中国人或者中国人。 此外，还有很多华人和华裔科学家活跃在这一领域。 例如，中国科学家在三维拓扑绝缘体、外尔半金属的研究中做出了非常重要的贡献。
参考：
1. 2016年诺贝尔物理学奖官方资料
2. 石宇，2016年诺贝尔物理学奖：姗姗来迟，当之无愧，科学网络博客； 物理文化微信公众号。
