很多人认为量子力学难以理解，我一开始也是这么认为的。 为什么？ 可以从两个角度来考察：
（首先，我们需要花很多篇幅讲哲学，甚至数学和哲学的关系，你可能觉得这是废话，其实不然。这是介绍“抽象”的两种科学思维和“拓展”。它们是让我们深入“理解”的必要条件……不过，对哲学不感兴趣的朋友可以跳过前几段，直接看下面的文字）
(一)理念
这就是爱因斯坦不懂量子力学的原因。 事实上，哲学概念是从科学事实中抽象出来的（例如，时间和空间的概念是从物质运动规律中抽象出来的）。 关键是哲学始终追求普遍性，从而拓展了抽象概念。 但普遍性必须存在于特殊性之中。 这就是矛盾的症结所在。 尚不确定“高速”的特殊性是否可以通过从低速运动中抽象和扩展的概念来容纳。 量子的哲学困境与相对论相似。 经典物理学（也就是相对论）不涉及物质的内部结构（我前两天写了一篇期刊《外在性质与内在性质》专门讨论这个问题），所以从宏观到微观的转变会给物质带来革命。思维。 影响让人感觉量子力学很难理解。 事实上，微观世界并非没有因果规律。 状态演化的确定性形式和状态测量崩溃的随机性构成了微观世界新的因果规律。 问题是，当哲学思想与科学事实发生冲突时，我们应该坚持哪一个呢？ 反思我们的思维过程，“抽象”没有问题，但“扩展”有问题。 经典力学的决定论不能扩展为普遍适用。
(2) 数学
事实上，数学和哲学并不是没有联系的。 遗憾的是，很多人极力崇尚数学，拒绝哲学。 联系方式在哪里？ 就是前面提到的“抽象”和“扩展”。 有多抽象？ 它并不像常人所说的“难以理解”，而是意味着概括。 例如，“一根筷子和另一根筷子放在一起”和“一只羊和另一只羊放在一起”有共同的特征，所以我们说“1+1=2”。 这是抽象。 如何拓展？ 例如，从有理数到实数再到复数； 从二维空间到三维空间再到高维空间等等。 这种“抽象”和“扩展”找到了数学和哲学之间的联系，表明它们都在追求普遍性。
学了一点量子力学之后，为什么不免费去物理系呢？ 我是否白来物理系主要基于两点：第一，与名校的物理系相比，在燕大这样的烂物理系学到的知识太有限；第二，与名校的物理系相比，我在燕大这样的烂物理系学到的知识太有限了。 第二，与高中相比，我的物理知识有多少增长。 本文重点讨论后一点。
第一点和第二点有什么区别？ 这取决于知识的特性。 也就是说，量子理论与其他理论有很大不同。 其他理论无论学多少，都只是知识的积累，思维方式不会有太大改变； 然而，量子理论改变了你的思维方式。 量子力学与以前的课程有很大不同。 为什么不一样呢？ 虽然力学与理论力学、热与热力学统计物理、电磁学、光学与电动力学（后者比前者深很多，尤其是比高中物理深很多）有很多区别，但毕竟我们还是可以用常规物理思维（只是对数学要求有点高）。 但当涉及到量子力学时，情况就完全不同了。 对数学的要求确实比较高，但不是言语描述方面，而是思维方面。 也就是说，上述其他理论的思想基本上都是纯粹的物理思想，数学只是其语言表达； 而量子力学的物理思想是建立在数学思想的基础上的，量子力学中的数学不仅仅是语言或者思想。 以前的物理思想可以不用数学的帮助，用日常生活的语言（中文和英文）表达清楚，看几本科普书就可以理解； 而量子力学所体现的物理思想必须借助数学来表达清楚（我说的是真正的理解（理解，而不只是表面的味道），如果你不熟悉数学，你将无法理解即使你想读几门科普课程，也无法了解量子力学的内涵，如果你想真正理解量子力学的物理思想，就必须努力研究它的数学思想。
这几天听老师讲量子力学的矩阵形式，感觉很轻松，心里暗自高兴——这完全是我前段时间努力学习数学的结果——和系里的本科生一起听高等代数数学系，和物理系研究生一起听小组讨论。
为什么高等代数和群论对量子力学如此重要？ 这是因为量子力学的基础是空间。 伟大的数学家，无话可说。 关键是“空间”的概念。 什么是空间？ 很多人一提到空间，立马想到的是笛卡尔坐标系（受过物理教育比较好的会想到空间和时间，也就是连接时间和空间。但这并没有多大进展。为什么呢？像相对论的时空观还不够进步？是的。为什么？因为这样的概念对理解量子力学有害！后面我们会讲如何理解空间有利于理解量子力学）这当然是直观的。 但很多时候，大自然就是不喜欢直觉。 量子力学就是这样一个“叛徒”。 “上帝喜欢玩骰子”的数学表达就是上帝喜欢抽象。 所谓现象学理论，一般都是不深刻、不本质的理论。
为什么又提到“抽象”？ 当然。 不然的话，就不用写“简介”来铺路了。 有多抽象？ “直角坐标系”的抽象空间与通常的几何空间有什么区别？ 哈哈，容我再多讲一点哲学（其实就是数学和哲学的联系）。 数学始终追求普遍性。 如何实现通用性？ 这是试图找到不同事物之间的相似之处。 如何找出？ 抽象的。 仅有“抽象”是不够的，还必须有“扩展”，或者说抽象的目的是为了更好的扩展。
那么，如何“抽象”然后“拓展”空间呢？ 就是抛弃不相关的特征，找到本质的特征，或者保留那些有利于扩展的特征。 空间的哪些特征有利于扩展？ 你可以自己考虑一下。 为了节省网上的时间，我就更直接了：不从认识论的角度讨论如何抽象获得抽象空间，而是直接讲抽象空间的特征。 给出一些特征后，与原来的三维几何空间进行比较，你就知道哪些被舍弃了，哪些被保留了。
抽象空间是集合。 收集？ 它们与三维空间有什么共同特征？ 别急，让我慢慢分解。 有了集合，扩展就容易多了。 您可以将空间视为定义某种操作的集合。 线性空间是定义线性运算的集合。 什么是线性运算？ 加法和乘法（严格来说，这两个运算是封闭的）。 有了线性空间，就可以进一步展开。 例如，指定度量属性-内积。 在实数域中定义内积的线性空间是欧几里得空间。 扩展到复域，就是酉空间。 对于不同情况的内积，有不同的线性空间。 其中，内积收敛的空间（平方可以积分）就是空间。 这就是我们之前谈到的量子力学的基础。 不过我们暂且不谈量子力学，先回答一下抽象空间继承于普通三维空间的特性。 我们知道空间有一组基，空间中的任意向量都可以展开为这样一组基的线性组合。 线性组合的系数就是这组基下的坐标。 “基地”这个概念很棒。 有了基的概念，我们就可以有维度了。 维度是基向量的数量。 这样一来，高维甚至无限维空间就不难理解了。 一方面，“基”不一定是一组单位向量i、j、k，也可以是一组函数，只要它们是线性无关的（这是保留的特性）； 另一方面，“选择基础的方法有很多种，不同的方法对应不同的表示（量子力学通常分为波动力学和矩阵力学，分别针对位置表示和能量表示）。不同的表示可以转化为彼此之间（即表示变换，说白了就是坐标变换），可以通过算子进行变换（别害怕，这并不是什么神秘的东西，只是线性变换）。
既然有很多种方法，自然要选择最简单的一种。 经过尝试，我发现选择“正交归一化”基础最为方便。 正交是什么意思？ 在这里，您再次看到前面介绍中的“扩展”一词。 正交是“垂直”概念的扩展。 贵义怎么了？ 从向量的角度来说，就是将其统一化。 但这不利于扩张。 如何方便扩展？ 寻找更重要的功能。 后来我们发现用内积来定义“归一化”更具普适性，这符合我们“追求普适性”的愿望。 事实上，“内积”更容易被视为一个积分（毕竟有一个“积”字），而不是三维几何空间中的点积。 然而点和点乘看似相隔千里，又怎么会扯上关系呢？ 由此可见数学的力量。 我们要抽象、抽象、再抽象，抽象出不同事物的共同特征，然后进行扩展。 你没注意到吗？ 点乘是一种向量运算，而向量有分量形式，因此点乘的结果不是一项（三维几何空间为三项），而是多项之和。 好了，有了这个“和”，我们就可以把它和“积”联系起来了。 只要离散量是连续的，“和”就可以变成“积分”。 这种“求和与积分的相互转化”比高中时三角函数的“和与差积、积与和差”要大得多。 因为它不仅是一种计算方法，更是一种思想。 想法？ 这是正确的。 数学不仅仅是语言，更是思想。 回想一下定积分最初是如何引入的，就是将整条曲线下方的面积相除，然后求和。
分割得越细，近似面积值越接近真实值。 “由近似而知精密”是微积分思维的精髓。 你应该反思一下“由近似而知精确”的数学思想在物理学中占了多大的比重。 我们总是对函数进行泰勒级数展开，然后省略高阶项。 我们的“求曲线下面积”包含两个很棒的想法。 一是“近似知其准”，二是“化和为积分”。 这两种数学思想都对古典物理学和现代物理学产生了致命的影响。 事实上，从经典场论到量子场论的过渡采用了“求和与积分互化”的思想（哲学上体现了离散性与连续性的辩证统一）。
好吧，扯远了，我们回过头来看看我们刚才提到的内积。 在三维几何空间中，将两个向量的分量相乘，然后求和。 当扩展到抽象空间（一种集合）时，两个向量的分量相乘，然后积分。 那么如何统一呢？ 即积分值为1，为什么一定是1呢？ 这不能简单地看作只是一个数学问题（为了数学的一致性：展开必须保留一些原始特征），它还有物理意义。 在量子力学中量子物理学基础课后答案，波函数被展开为特征函数的线性组合。 组合的系数就是前面提到的坐标。 系数的平方和实际上就是发现粒子的概率（波恩的统计解释）。 概率当然是1（因为在非相对论情况下，要求粒子数量守恒。在量子场论中，允许粒子湮灭，这是另一回事）。 这与内积有什么关系？ 哈哈，不仅要注重结果，更要注重过程。 结果积分值为1，操作过程是怎样的？ 一方面，由于要求粒子数守恒，积分至少要收敛，于是“平方可积”的概念应运而生。 这不是之前说的那个空间吗？ 加法和乘法运算的闭集是线性空间。 在实数域中定义内积的线性空间是欧几里得空间。 延伸到重述领域，就是酉空间。 其中，内积收敛（平方可积）为空间。 看似绕口令，实则体现了数学逻辑的严谨性。 另一方面，这个“系数”可以通过求本征函数和波函数的内积（即本征函数和本征函数本身的线性组合的内积）来获得。
这里面有一些学问。 “特征函数的线性组合和特征函数本身求内积的公式”有点奇怪。 由于展开需要一组基向量，因此意味着存在多个特征函数。 那么，我们应该用哪个特征函数对这样一个线性组合的表达式进行内积呢？ 假设它是ψ1。 显然，这个组合的表达式还必须包含ψ1和其他特征函数ψ2。 如果1和1的内积是1，那么1和2的内积就是0。。更一般的，这里的1用m代替，2用n代替，也就是说当m和n相等时，内积为1 ，不相等时为0。这就是δ符号（克罗内克符号，过渡到连续情况下，就是狄拉克函数）。 这样的符号很有趣。 为什么这很有趣？ 如果我们尝试将其表示为一个矩阵，我们会发现这个矩阵除了主对角线之外的所有其他元素都是0。换句话说，“正交”意味着对角矩阵。 矩阵表示？ 感觉抽象？ 事实上，这是可视化抽象线性代数理论的最简单方法。 “表达为矩阵”的结果很美量子物理学基础课后答案，但是如何表达呢？ 这个转型过程会不会很艰难？ 其实并不太难。 您不是已经熟悉向量了吗？ 我们可以将其扩展到张量。 标量是零阶张量，向量是一阶张量。 自然地，我们问什么是二阶张量。 它是矩阵。 高阶的是“三维矩阵”。 张量这个复杂的东西应该不会陌生，因为你最熟悉的电磁场就是张量，它表示为4×4的矩阵（之所以是4×4而不是3×3是因为数学基础电动力学的理论基础是相对论，相对论主张时间和空间不可分割，构成统一的4维时空。
对于3维空间中的张量，它的矩阵是3×3。 例如，偏振矢量之所以不是2维而是3维就是空间各向异性造成的）。 张量本身是抽象的，用分量形式（即矩阵）表示就很容易理解。 我们的波函数也是如此。 张量使用它的分量作为一组基础，而我们的波函数使用它的本征函数作为一组基础。 这不是自然的吗？ 好吧，我们再一遍一遍地讨论本征函数。 到底什么是本征函数？ 为什么能够体现“本质特征”？ 我们之前不是提到过表示和向量吗？ 现在让我们整合这两件事。 在表征变换（不是深刻的，只是坐标变换）中，向量的大小和向量之间的角度保持不变。 重点是什么？ 在几何中，两个向量的大小相乘，然后乘以角度的余弦，就是内积！ 无论如何变换，向量的度量属性（内积）都保持不变。 它不依赖于坐标系的选择。 由于向量本身的属性（比如度量属性）并不随着坐标系（或者更本质的是基向量）的变化而变化（实际上，对称性也是变换中的不变性，即它符合变换后的原图。而描述这种对称变换的数学就是群论。哈哈，这个“不变不变”听起来有点“拓扑”。事实上，薛定谔方程有拓扑结构，贝里曲率程然前辈比较关心的体现了这一点。不过，这在哲学上很容易理解。对称不变性和拓扑不变性都体现了变化与不变的辩证统一），所以当然是它的相对本质特征（ ，简称本征费）。
什么是坐标系？ 在物理学中，它是参考系统。 当参考系改变时，物理定律不会改变。 这是自然的。 似曾相识吧？ 这就是相对论的基本原理。 等等，我们不是在谈论量子力学吗？ 我们为什么要谈论它的主要竞争对手？ 事实上，相对论和量子力学之所以难以统一，并不是因为“相对论原理”。 相对论原理在任何地方都是正确的。 关键在于另一个基本原理（狭义上是光速不变原理；广义上来说是等效原理）。 因此，如果微观物体也遇到需要考虑相对论的情况，量子和相对论就不再是死敌，而是可以联姻了。 比如一些微观粒子可以运行得极快（接近光速），这就需要考虑狭义相对论，量子电动力学就应运而生。 至于加速系统和引力场的等价性，并不是说它与量子力学无关，只是相关性大小的问题（说得更深一点，就是“弱等价”和“强等价”）。 这个问题高手们还没有解决，所以我们后辈不敢谈。 那么，学术讨论就结束了，我们来聊点闲聊吧。 我很想回到这篇文章的标题，谈谈为什么“这次物理系之行终究没有白费”。
曾金言的《量子力学导论》（第二版）最后几页谈到了教授量子力学和培养创新人才。 里面有这样一句话：“真理总是简单的。我相信所有的理论，无论多么困难、复杂、抽象，总有一种方法可以用简单而深刻的方式把事情解释清楚。做不到这一点就是往往是因为老师自己对问题的理解太肤浅了。” 这几天听了吴老师的量子课，没想到竟然能听明白。 “真理总是简单的，无论多么困难，总有办法理解它”，这句话让我深受感动。 我想这一部分是因为吴宜东老师对量子力学有了更清晰的认识，另一部分是因为我前段时间参加了高级代数和群论课程。 前面一段关于线性代数理论的内容是在旁听高级代数课程时产生的； 而开头引言中提到的“抽象与扩展”（并贯穿全文）是群论老师自己说的（他从集合论开始，使得群的概念并不太难理解。正如提到的前面，通过集合，可以定义抽象空间。而且，子空间可以通过子集类推来理解，子空间的“直和”可以根据交集为空来定义。通过集合，我们可以扩展这个概念群。当然，展开之前需要抽象（群的定义是从“对称变换”中抽象出来的，即对称变换的集合）。 谨向三位老师表示特别的感谢。 另外，感谢李景阳学长建议我去数学系上课。 我还要感谢潘一文教授，他用数学理解物理的方法对我产生了深远的影响。 值得尊敬、可爱的前辈还有很多，在此无法一一列举。
量子力学经受了近100年的考验，因此可以被视为真理（尽管它不是终极真理）。 道理很简单，那么量子力学也应该是可以理解的。 那么为什么很多人不明白呢？ 正如一开始所提到的，这些人要么不理解其哲学意义，要么不理解其数学基础。 我想之所以不理解它的哲学，是因为头脑里残留着太多经典物理学的成见； 之所以不理解它的数学，是因为对数学的偏见。 我用自己的亲身经历证明，量子力学的数学并没有想象中那么难，线性代数、群论和泛函分析也一样（虽然我还没有真正学过后两门课程，但基础知识我已经了解了） ）想法和结论如何影响量子力学）。
当然，这并不意味着我学会了量子力学。 因为我只是感觉自己正在慢慢入门，很多问题我还是不知道答案。 尤其是做练习对于我来说绝对是一个超级挑战。 学习了四大力学后，我发现即使了解了基础知识点，也不一定能做练习。 。 。 。 。 。 虽然我只对知识本身感兴趣，但是我还是要做练习。 因为我要考研。 我之所以考研，是因为我的大学学习资源太匮乏。 在燕达，像上述三位老师那样的人才是凤毛麟角。 而且即使有群论课程（还有量子场论课程），学时也太少，有才华的老师不可能只讲32个小时。 （而在名校，如中国科学技术大学，同一门课程的学分相当于我们的5倍）。 因此，在燕大这样的环境下，很容易产生“白来物理系”的感觉，这是一个很大的心理问题。 今天能写出这篇日记，真是不幸中之幸。 事实上，我一直在寻找理由，让自己在逆境中不感到自卑。 因此，这篇文章的标题是《物理系之行没有白费》，以勉励自己以及和我陷入同样命运的朋友们。
最后回答一下“诸葛”朋友的问题：数学思想是如何推动物理学进步的？我查阅了物理学史，发现：1、哥白尼提出日心说，是因为他觉得数学思想托勒密地心说的描述过于复杂； 2、欧姆受到傅立叶的启发发现了欧姆定律，而且因为德国不重视数学。 被同事排斥； 3、麦克斯韦尝试用数学方法描述法拉第力线并建立了麦克斯韦方程组； 4. 数学分析导致了最小作用原理的发现和分析力学的建立，分析力学是量子场论等现代物理学的基本要素。 这个想法是找到哈密顿量； 5、“对称导致守恒定律”原理是数学家发现的。 从此，寻找对称性成为物理学家面对未知世界的主导思想。
因此，数学不仅仅是一种描述物理定律的语言，也不仅仅是在物理定律建立后为物理定律提供更深刻的支持（如支持规范场物理思想的纤维束的数学思想、群论等）和功能分析）。 数学思想支持量子力学的物理思想，微分几何的数学思想支持广义相对论的物理思想等），它们也是导致物理发现的思想的先驱。
