译者按：知名化学学家杨振宁先生近来在《今日化学》（Today）发表中文文章，以清晰的思维娓娓道来麦克斯韦的重要研究。麦克斯韦多项式被誉为影响世界十大多项式之一。它除了为明天家电化生活奠定理论基础，并且是理论化学学界至关重要的规范理论之概念的起源。《赛先生》译为英文发表，以飨我国读者。
麦克斯韦多项式和规范理论的概念起源
杨振宁
诺贝尔化学学奖得主
复旦学院高等研究院名誉校长
人们一般觉得库仑（de）、高斯（CarlGauss）、安培（AndréMarieAmpère）和法拉第（）分别发觉了热学和磁学中最基础的热学规律，而麦克斯韦（JamesClerk）做的只是将这种规律的物理抒发最终总缔结一套具有高度统一性和对称性的等式——麦克斯韦多项式。而且我认为，麦克斯韦的贡献远远不限于将已有的电磁学规律加以总结。麦克斯韦在多项式中对几何和对称性的微妙化学直觉除了推翻了十九世纪“场是超距作用”的错误认识，更在二十世纪直接促使形成了具有高度统一性的粒子化学标准化模型。
十九世纪的数学
人类对电与磁的探求源于十九世纪。1820年，奥斯特（Hans，1777—1851）发觉电压可以造成附近的小n极运动，这个发觉让整个法国为之激奋。最终安培（1775—1836）将之归结为“超距作用”理论。彼时西班牙的法拉第（1791—1867）也在同一领域进行研究，但其物理基础略逊一筹。1822年物理学家麦克斯韦简介，法拉第在一封给安培的信中写道：“我认为我的物理知识太短缺，所以我无法理解具象的推论而只能专注于发觉和总结具体的实验事实”。（参考文献[1]）
法拉第是一位依赖直觉的实验化学学家。从1831年到1854年，他将观测的实验事实总缔结三卷专著，是为《电学的实验研究》(图1)。不同寻常的是，三卷本不朽巨作里居然没有一个公式。法拉第用他出乎寻常的语言能力和几何直觉，用平实的语言记载了化学规律和物理理论。
图1法拉第的《电学的实验研究》三卷分别发表于1839、1844和1855年。两侧为法拉第的原稿，写于1831年10月17日，这天他发觉，在螺线管中联通吸铁石时，螺线管会形成电压。他为此发觉了电磁感应现象，这一定理最终成为我们明天制造大大小小发电厂的理论根据、并促进人类科技水平长足的进步。
图2法拉第画像。插图摘自1831年10月17日法拉第发觉电磁感应的原稿。
在《电学的实验研究》一书中，法拉第系统地探求了各类各样的电磁感应实验。诸如，他尝试用不同种类的金属制造螺线管，将螺线管曝晒在不同的介质中，用两个螺线管来进行电磁感应等等。他沉迷于两个实验现象，第一个是他发觉吸铁石必须被联通能够在螺线管中形成电压，第二个是感应的方向其实垂直于磁场的方向。
法拉第觉得自己好像理解了电磁感应，从而引入两个几何概念：磁力线和电紧张态。后者可以通过将铁屑置于螺线管和吸铁石门口被直接观测到。这种力线在昨天的数学课本圆通常用H来表示，称为磁场。而电紧张态，却一直未在《电学的实验研究》一书中有更清楚直观的定义。这一概念虽然首次出现在第一卷的第60节时也无清楚的定义。在此后的章节中，电紧张态又被频繁赋于各类其他的名子，例如特殊态、强度态、特殊状态等等。诸如在第66节中法拉第称：“所有的金属都有特殊状态。”在第68节中写道：“这种态是顿时形成的。”我们在《电学的实验研究》第1114节还读到——
“当我们企图将电与磁觉得是统一事物的两面时，或则当成一种独特的可以在垂直方向互相作用的物体时，我直观地认为这两种状态或则物质是可以互相转化的。”
直至1854年法拉第在63岁逝世时，他所提出的几何直观以及电紧张态都欠缺清晰的定义。
走入麦克斯韦的世界
1854年，麦克斯韦（1831—1879）结业于知名的三一大学，那时他是一名对化学饱含激情的年青人。刚才结业的麦克斯韦对电磁学有着极大的兴趣，并寄信给时任悉尼学院自然哲学系院长的汤姆森（）：
“假设一个人有一些对热学的基本认识，并且想进一步了解电磁学，他应当以哪些次序和形式通读安培和法拉第的专著呢？他应当如何通读您在剑桥刊物上发表的论文呢？”(文献[2])
汤姆森（1824—1907，后来的开尔文爵士）当时极具影响力。麦克斯韦咨询他是明智的选择，由于早在1851年汤姆森就引入了矢势A的概念来表示磁场H:
多项式1。
这个等式对麦克斯韦形成了巨大的影响。
我们无从考证汤姆森怎么回复此信，但仅一年后，麦克斯韦就发表了其改变人类电磁学历史的三篇专著中之第一篇，其中，麦克斯韦基于等式1给出法拉第所谓电紧张态的物理描述。麦克斯韦的三篇专著于1890年被尼文（Niven）整理为两卷本《麦克斯韦的科学论文》。
麦克斯韦的第一篇论文发表于1856年。它似乎满含公式但却比法拉第的《电学的实验研究》更加易懂。该文的核心是第二部份，名为“法拉第的电紧张态”。第204页有电紧张态的物理描述，用明天的向量抒发可以写为：
等式2。
这儿Ａ指法拉第的电紧张硬度。
在第207页，麦克斯韦用文字描述了上述公式：
“第六定理－任何导体上的电动力决定于电紧张硬度的变化率物理学家麦克斯韦简介，这一变化既可以是硬度大小又可以是方向。”
在我看来，借助汤姆森的矢势Ａ的概念对法拉第提出的电紧张态进行物理定义是麦克斯韦科研生涯中第一个概念上的突破。假如对等式2两侧取旋度，我们可以得到如今广为人知的法拉第定理之物理表示，
多项式3。
或则同一方程的另外一种积分方式：
多项式4。
麦克斯韦当时并未将法拉第定理写成多项式3或则多项式4的方式，因其主要目的是为法拉第的电紧张态找寻确切的物理定义。而矢势A的概念却自此贯串麦克斯韦一生的思维方法和理论体系。
麦克斯韦很快意识到，与其他化学量不同的是，在多项式1—3中，矢势A可以被任意加上一个散度为零的矢量而不影响最终的估算结果和实验观测，《麦克斯韦的科学论文》一书第198页中的定律五对这一规范自由度进行了讨论。这么麦克斯韦到底为多项式1—3中的A选择了如何的规范呢？他在书中未触碰。我揣测麦克斯韦暗示存在一种对Ａ规范，致使多项式1—3被同时满足。
麦克斯韦当时也一定意识到用汤姆森的矢势概念来定义法拉第的电紧张态是很重要的。但为防止汤姆森毋须要的误会，麦克斯韦在第一篇论文的第二部份称：
“针对当前理论的历史背景，借助文中的物理函数描述法拉第电紧张态，并以之估算电动势和电动力，是具有独创性的。不过，最初关于可用物理抒发来描述电磁学现象之理念来自于汤姆森院士的论文。”
麦克斯韦的“涡旋”
在第一篇论文完成三年后，麦克斯韦发表了他三篇专著中的第二篇论文，它分成四部份在1861年—1862年间相继发表。与第一篇论文相比，这篇论文变得极为隐晦难懂。麦克斯韦企图通过引入“涡旋”模型的概念来解释和统一电与磁。他觉得电磁现象是由无数个微小、看不见、又不停旋转的物质所导致，他称之为“涡旋”。这种“涡旋”的旋转方向和外磁场的方向一致（《麦克斯韦的科学论文》第489页）。
图3“涡旋”模型示意图，摘自《麦克斯韦的科学论文》第488页。“涡旋”六边形周围的箭头方向错了，恐怕为做图时疏漏。
麦克斯韦为“涡旋”作了一幅示意图（图3），但是在《麦克斯韦的科学论文》中第477页给出了如下的描述：
“在PLATEVIII中，令AB表示从A流向B的电压。在AB上方和下方的空间表示涡旋。令分开涡旋的小圆圈代表表示电压的粒子而且令电压从左往右流动。在AB上方的涡旋gh将会形成逆秒针旋转。我们称逆秒针方向为正，而顺秒针方向为负。假定涡旋ｋｌ仍处于静止状态，这么这一层上的粒子将会在gh的下方形成作用，而在上方将会静止。假如它们皆可自由运动，它们将沿负方向旋转，并同时从右往左联通。所以感应电压的方向与初始电压AB相反。”
麦克斯韦在第二篇论文的第二部份详尽描述了这一模型，发表在1861年4月出版的《哲学刊物》第21卷。麦克斯韦当时其实非常投入其“涡旋”理论，用了11页短篇大论此模型。
1862年发表第二篇论文的第三部份，其标题为：“分子涡旋理论在静电学的应用”。通过历时七页的剖析，麦克斯韦推导入其命题14：“为了纠正因为介质弹性对电压的影响”（《麦克斯韦的科学论文》第496页）。一个额外的纠正项（4πj）在安培定理中被加到与位移电压一起。
我曾多次企图理解麦克斯韦在此论文中所提“空间介质的弹性”的概念，但皆以失败告终。值得一提的是“位移”的概念在第二篇论文第二部份的最后11页中仅出现一次，并且是在无关紧要的语境中。不过此概念在第三部份前7页频繁出现而且成为麦克斯韦理论的核心。这两部分发表时间相距仅8个月，虽然在这短短8个月时间里麦克斯韦找到了“涡旋”模型的新特点，因而形成了“位移”概念。
基于命题14，麦克斯韦很快预言了电磁波的存在。通过推论，麦克斯韦估算出电磁波的速率就是光速。他这么论述这一推论：“光波所含纵向介质震动是与电磁现象的形成原理相同的。”（《麦克斯韦的科学论文》第500页，粗体为麦克斯韦本人所加。”）
有趣的是，麦克斯韦乃极为虔敬的信徒，我推测他在祈祷时其实祈祷上帝怜悯其发觉造物主创造光的秘密。
场论的诞生
麦克斯韦三篇专著的最后一篇发表于1865年，其中他总结归纳了知名的麦克斯韦多项式。其实现在麦克斯韦多项式由四个矢量多项式构成，麦克斯韦在最初的论文中用了20个多项式描述电磁现象，由于他当时把这种等式写成份量方式，并包含了电介质和电压多项式。
这一论文的意义远超过电磁学本身，它同时为之后的场论发展提供了最为重要的理论基础，即“世界上的能量存储于场中”。麦克斯韦在其论文中写道：
“谈到场的能量，我希望读者能清楚地理解这一概念。所有的能量和机械能都一样，不管它以运动、弹性甚或其他的方式存在。电磁现象的能量就是机械能。惟一的问题是，这种能量存在于何处？按照旧的理论，这种能量以不为人知的势能形式存在于带电体中。它们可以产生电路、磁铁等等并可形成超距作用。在我们的理论中，这些能量存在于电磁场中，而这些场存在于带电体或带磁极中，也存在于它们周围空间的电磁场中。这些能量以两种方式存在，即电极化和磁极化。假如提些很有可能创立的假定，这些能量存在的方式是以太介质运动的挠度（《麦克斯韦的科学论文》第５６４页）。”
但是为了与当时科学主流保持一致，麦克斯韦又写道：
“我们因而有理由相信，在光和热的现象之中，必然有一种以太介质无处不在且可以渗透各类物体。这些介质可以运动也可以将自己的运动从一个地方传递到另外一个地方，但是将有序的运动以某种方式转化为热能。（《麦克斯韦的科学论文》第528页）。”
麦克斯韦意识到他在前两篇论文中提及的位移电压的概念和光的电磁波属性的概念是极为重要的发觉。所以他在第三篇论文再度归纳了这两个概念的物理描述。而且此时，虽然麦克斯韦本人也意识到“涡旋”概念的不合理，所以在这篇论文中，他再也没有企图用“涡旋”来解释电磁现象。因而我们可以合理地假定，在1865年，麦克斯韦早已不再觉得“涡旋”模型是一个必不可少的解释电磁现象的概念。不过当时他一直坚持“必须存在一种以太介质，它无处不在而且可以渗透物体。”
1886年，赫兹（(Hertz，1857—1894）用实验证明电磁波的存在，用他设计的电路成功地发射、接受到了电磁波。
在十九世纪80年代，亥赛维（，1890—1925）和赫兹分别发觉可以去除麦克斯韦多项式中的磁矢量势Ａ。这一简化使麦克斯韦多项式更好地诠释电与磁的对称之美。其实我们明天晓得，在量子热学的框架中，不能去除磁矢量势Ａ，因其可在阿哈罗诺夫—玻姆(-Bohm)效应中被观测到。
二十世纪的理论进展
二十世纪场论的发展起源于爱因斯坦于1905年提出的狭义相对论。爱因斯坦从概念上革除了困惑理论化学界多年并且并不正确的“以太”，并提出电磁波本身就是一种看得见摸得着的介质。真正的真空指无实体粒子、亦无电磁场的时空。真空概念的提出解决了1887年由迈克耳逊－莫雷实验（-）而引出的化学疑云。当时这一实验的目的是找寻“以太”，但以失败告终。而且，现今化学学界觉得，爱因斯坦之所以提出真空的概念并不是为了解释迈克耳逊－莫雷实验，而是为了正确地解释化学中“同时性”这一基本概念。
从1930年到1932年，随着实验化学学家发觉质子，科学家广泛采纳狄拉克提出的“真空是由无限负能量的粒子组成”的概念，并最终演化成名为“量子电动热学”的重要理论。20世纪30年代，量子电动热学在低级近似估算中取得成功，但却因为其中存在对“无穷大”的定义，致使其在中级近似估算中并不成功。
1947年—1950年，随着一系列理论和实验化学学的突破，量子电动热学在被进行重整化修正后成为当时最为精确的估算粒子化学电磁性质的理论。最新的报导显示，借助量子电动热学估算的电子反常磁矩与实验值的误差只有十亿分之一（(文献[3]，QuickStudyby,Today,Dec2013,p64）。
随着重整化技巧在量子电动热学中的成功，以及诸多新的基本粒子的发觉，化学学界开始通过拓展场论的方式来解释粒子之间的互相作用。其实那种时代数学界发表了大量的研究成果，但均无法推进根本性地理解粒子间的互相作用。那一时期的热点包括，带有矢量互相作用的标量介子理论、带有赝矢量互相作用的赝标量介子理论等等。当时也有化学学家在场论的范畴之外企图解释这种互相作用，但这种努力均未形成突破性的进展。
回到场论
从20世纪70年代开始，数学学家开始重新对场论感兴趣。这其中最为重要的理论当数起源于麦克斯韦多项式的“非阿贝尔”规范理论。这儿的“非阿贝尔”指的是，一个群中，不同操作发生的前后次序不能否被交换（我曾在”’son”,Today,1980p42一文中讨论规范理论。假如读者对更多的技术细节感兴趣，可以参阅Today,Mar1982,p41）。迄今，规范理论被理论化学学界觉得是解释物质结构和互相作用的根基。其现代描述可以溯源到物理家外尔（Weyl）于1918年至1919年发表的三篇论文。其中可见，外尔受到爱因斯坦对电磁场几何性的启发。(文献[4])。
外尔的理论完全基于他对平行位移重要性的深刻理解。他说：“黎曼几何的发展假如要符合于自然界的规律，这么必须基于矢量的无限小位移。”外尔进一步考虑，假如在矢量的无限小位移中它的方向发生改变，这么为何其宽度不能发生改变？因而外尔提出了不可积的伸缩因子的概念，但是通过下边的等式成功地与电磁场联系上去：
多项式5
这儿Ａ是一个四维矢量势，而系数γ为实数。外尔将伸缩因子赋于给每位带电物体在时空中的运动。爱因斯坦批评外尔在三篇论文中的第二篇里提出的位移的厚度改变的概念。当时，外尔并不能合理回答爱因斯坦的批评。
随着1925年—1926年的量子热学的发展，福克（Fock）和巴黎（Fritz）分别强调在新的量子热学体系中，传统的(p-eA)应当被改写成：
多项式6
与多项式5相比，eAdx/γ被ieAdx/替代，也就是说γ被-i代替。
外尔似乎接受了γ应当是虚数的概念。他于1929年发表了一篇重要论文，定义了量子电动热学中的规范变换，而且证明在这些变换下麦克斯韦多项式在量子热学中是不变的。
在规范变换下，外尔定义的伸缩因子可以被改写成：
等式7
很显著，从等式7我们可以看出，这个因子实际上是一个相位变化因子。这一改变，也让爱因斯坦先前的批评不辩自破。
1905年—1907年，分别发觉洛伦兹不变量的爱因斯坦和明科夫斯基（）最早发觉蕴藏在麦克斯韦多项式中的高度对称性。外尔于1929年发觉麦克斯韦多项式在规范变换下的不变性，阐明了麦克斯韦等式的另一个重要对称性。明天，我们意识到麦克斯韦多项式中的对称性正是当代数学学的基石。
外尔的规范变换涉及一种理论界名为U(1)的在复数空间中的几何转动——这一转动与之前麦克斯韦所提出的“涡旋”的概念有惊人的相像。从物理上来说，多项式7中的相位因子产生了一个名为U(1)的李群，而李群正是外尔最为感兴趣的研究方向之一。更进一步，对于这些更为专业的读者，一种名为“纤维丛”的理论在1929年之前就早已发展成形。但是，外尔当时并没有意识到电磁现象本身就是一种U(1)束理论，但是本该才能在1929年将它推广成非阿贝尔规范理论。
事实上，这一推广发生在1954年，引起这一推广的并非物理，而是由于当时粒子化学学界不断发觉新的粒子，所以她们急需一种理论来解释不同粒子的互相作用。这些强烈的需求在以下一段发表于1954年的摘要中有清楚的彰显：
“电荷是电磁场的起源。这一现象中的重要概念是规范不变量，而规范不变量与以下几个方面相关（1）描述电磁场运动的等式，（2）电压密度，（3）带电的场与电磁场之间的互相作用。我们曾企图通过扩充规范不变量的概念来解释同位旋守恒。”(文献[5])
这一推广形成的非阿贝尔场论在物理上极为完美，但却多年未能得到化学学家们的认可。这是由于，这一理论要求存在一种不具有质量但却带电荷的粒子。
此后为了给非阿贝尔场论中的无质量粒子赋于质量，理论化学学界于上世纪60年代引入了自发对称破缺的概念。这一概念最终形成了一系列重要的理论突破，包括借助U(1)xSU(2)xSU(3)规范来统一弱互相作用、电磁互相作用和强互相作用的标准化模型。从1960年开始，国际理论和实验化学学界逐渐对标准化模型进行验证。其中最为引人注目的当属2012年在CERN发觉的上帝粒子——“希格斯玻骰子”。有数千名化学学家参与这一实验（Today,Sep2012,p12）。
虽然标准化模型取得了惊人的成就，但它并非最终的理论。首先，这个理论包含诸多人为添加的常数。更重要的是，其基础——对称破缺机制仅仅是一种唯象的概念。费米对beta衰减的“四势互相作用”的解释从1934年开始主导理论界达40年(文献[6])，它最终还是被愈发深刻的基于U(1)xSU(2)规范的强电统一理论所代替。
规范自由度早在十九世纪50年代就被麦克斯韦和汤姆森所意识到。甚至可能更早法拉第已凭着自己的数学直觉注意到这一现象。最终，物理家外尔于1929年将麦克斯韦多项式中的规范自由度与量子热学统一上去，并为现今规范化模型奠定了基础。
麦克斯韦多项式是线性的。在非阿贝尔规范理论中，多项式是非线性的。这些非线性从概念上来说与广义相对论中的非线性具有相同的来源。关于广义相对论中的非线性问题，爱因斯坦曾说：
“我们仅仅考虑纯引力场的物理抒发。
这种多项式的奇特点一方面在于其复杂方式，尤其是其场量和微分的非线性。另一方面，这一复杂性又是极为必要的，由于是变换群决定了场论的复杂性。（文献7，p75）。
因而，真正的理论必然是非线性的（文献7，p89）。”
二十世纪前半叶，物理家们完全独立地提出了名为“纤维丛”的理论。这一理论有诸多源头，包括卡坦（lie）的微分方式、豪泰林（）的统计学、惠特尼（）的拓扑学、陈省身的整体微分几何、埃尔斯曼（）的联络理论。这么多样的起源表明纤维丛理论是当时物理发展的核心。
在二十世纪70年代，化学学家和物理家惊愕地发觉阿贝尔和非阿贝尔规范理论均与纤维丛理论不谋而合（文献[8])。其实，你们乐于接受这一发觉，由于它生动地展现了物理与数学的紧密联系。这一联系曾在二十世纪中叶，因为理论物理的不断具象化而被短暂地中断。
在1975年，在我的物理朋友赛列日（James）发觉纤维丛理论并非必要时，我掏出一篇狄拉克于1931年发表的讨论磁单极子的论文给他看。他吃惊道：“原来狄拉克在物理家之前就发觉了平凡和不平凡的纤维丛的概念。”
最后我想以一段麦克斯韦发表于1867年对法拉第逝世的讣告来结束我们的历史回顾。麦克斯韦写道：
“法拉第使用假想力线的方式来解释电磁感应，说明他实际上是一位具有高度智慧的物理家”；
“从欧几里德的直线到法拉第的力线，这一切说明了动态和几何的思维不断推进科学的发展与进步”；
“以明天搜集到的科学证据为基础，其实下一位如法拉第般伟大的哲学家能发展出全新的科学，而我们明天很可能对此一无所知”。
文献：
1.F.A.J.L.James,ed.,Theof,Vol.1,of(1991),p.287.
2.J.,Proc..Soc.32,695(1936),p.697.
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5.C.N.Yang,R.Mills,Phys.Rev.95,631(1954).
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7.P.A.,ed.,:-,OpenCourt(1949).Thetwoare’snoteswhenwas67yearsold.
8.T.T.Wu,C.N.Yang,Phys.Rev.D12,3845(1975).
英语版发表于Today（2014年11月，45—51页)，《赛先生》中文版由胡雷克萨斯（芝加哥学院理学博士，飞利浦电子北美研制中心分子影像科学家）翻译。摄影：李晓明。——赛先生陌陌公众号文末顶部原文阅读可查看赛先生原文
