1、1角动量定律,1.1质点角动量定律,质点的运动状态：,相对某参考点的转动：相对某参考点的位置矢量r速率v,运动,转动,1,惯性系S中的一个运动质点在运动过程中相对某参考点O的径矢r会相应的旋转,在dt时间质点位移为vdt，转过角度dr便会扫过面积dS,面积速率,O,2,质点在S系中相对参考点O的角动量L,角动量随时间的变化与哪些有关呢？,其中,3,质点所受力相对参考点O的扭矩,质点角动量定律：质点所受力相对某参考点的扭矩等于质点相对该参考点角动量的变化率。,处理转动的所有公式都是从这个公式导入,4,h,扭矩,力臂h：点O到力F作用线的距离。Dye物理好资源网(原物理ok网)

2、,在直角座标系中，M可用导数叙述成,它的三个份量：,5,质点所受各分力Fi相对同一参考点的扭力之和，等于合力F相对该参考点的转矩。,两质点之间一对斥力与反斥力相对于同一参考点扭力之和必为零。,1,2,6,若过程中M恒为零，则过程中L为守恒量,若过程中Mz恒为零，则过程中Lz为守恒量,有心力：质点所受力F若仍旧指向一个固定点O，O为力心。,7,例1,相对不同参考点A、B，估算重扭力和角动量,A,B,参考点A：,重扭力,角动量,参考点B：,重扭力,角动量,8,例2匀速圆周运动,O,选择圆心O为参考点,扭矩,角动量,R,其它任何点则没有这些情况,角动量守恒,9,例Dye物理好资源网(原物理ok网)

3、3月球绕太阳公转,选择太阳为参考点,万有引力的转矩为零,10,例4,圆柱摆如图，摆线长l，小球质量m，取悬挂点O为参考点，求摆球所受转矩和摆球角动量。,摆球受张力和重力,张力对O点扭力为零,摆球所受转矩,摆球角动量,方向如图,选另一参考点,11,例5,z,导入单摆的摆动多项式,转矩和角动量都只有z轴份量,采用小角度近似,借助角动量定律,12,例6,O,A,小球绕O作圆周运动，如图所示。,（1）求B端所受竖直向上的外力T0（2）T0极平缓增到2T0，求v（3）用功的定义式求拉力所作的功。,B,剖析化学过程,以O为参考点，扭力为零，角动量守恒。,T0极平缓减小，径向速率可略，中间Dye物理好资源网(原物理ok网)

4、过程近似为圆周运动。,13,O,A,B,解,（1）,（2）,角动量守恒,圆周运动,14,（3）带动过程中，小球作螺旋线运动,它正好等于小球的动能增量,15,1.2质点系角动量定律角动量守恒定理,在惯性系S中，质点系相对O点的角动量L,质点系角动量定律：质点系各质点所受外力相对同一参考点的扭力之和等于质点系相对于该参考点角动量随时间的变化率。,16,质点系角动量守恒定理若过程中M外恒为零，则过程中L为守恒量。若过程中M外x（或M外y，M外z）恒为零，则过程中Lx（或Ly，或Lz）为守恒量。,非惯性系中质点系的角动量定律,17,例7,l,l,h,质量可略、长2l的跷跷板打坐着两少Dye物理好资源网(原物理ok网)

5、年，左重右轻，,上端少年用脚蹬地，获得顺秒针方向角速率0。,求0起码多大时，右端少年可着地？,O,扭矩,系统角动量,18,角动量定律,积分,此即机械能守恒,19,例8,水平大圆盘绕中心竖直轴以角速率旋转，质量m的,小球从中心出发，沿阿基米德螺线运动，角动量L守恒。试求小球所受真实力的纵向份量和径向份量。,阿基米德螺线,O,角动量L守恒,,20,圆盘系中小球所受合力,合力的纵向份量,合力的径向份量,角动量L守恒，纵向力为零,径向力应合成mar,21,1.3外扭力重心对称球的外引力分布中心,外转矩是质点系角动量变化的诱因,合力为零的外扭矩,质点系所受外力的合力为零时，Dye物理好资源网(原物理ok网)

6、外扭矩与参考点无关。,O,22,一对质心大小相同、方向相反且不在同仍然线上的两个力,质心的扭力不依赖于参考点的选择,1,2,23,重心,坐落rG的几何点称为质点系的重心,质量均匀分布，几何结构具有对称性的物体，重心坐落其几何中心,24,质点系各质点重力的冲量和等于质点系重力的冲量,质点系各质点重力作功之和等于质点系重力作用于重心处所作的功,重力势能,重力的扭矩,重心是质点系重力分布中心,猫的空中转体,25,对称球的外引力分布中心,P,球心是对称球的外引力分布中心,26,例9,质量M的均匀麦管置于光滑桌面上，一半在桌面外。质量m的虫子停在上端，而后爬到右端。随后另一虫子轻轻地落在Dye物理好资源网(原物理ok网)

7、该端，麦管并未倾倒，试求第二个虫子的质量。,麦管长L，虫子相对麦管速率u，麦管相对桌面左行速率v,系统动量守恒,麦管移入桌面宽度,27,分两种情况讨论：,（1）,麦管全部步入桌面，第二个虫子可取任何值。,（2）,麦管和二个虫子相对桌边的重扭力应当满足,28,2对称性与守恒律,2.1对称性,29,荷兰物理家魏尔（H.Weyl）,对称性：系统在某种变换下具有的不变性。,例左右对称，上下对称，俗称镜面对称,30,空间变换对称性,x,O,z,y,系统相对点、线、面的变换,31,镜面反演对称性,镜面反演：对平面直角座标系，仅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的变换。,一个系统若在镜面反演Dye物理好资源网(原物理ok网)

8、变换下保持不变，则称这一系统具有镜面反演对称性。,32,33,空间平移对称性,系统在空间平移，即在,变换下具有的不变性。,34,轴转动对称性（轴对称性）,系统在绕着某直线轴作任意角度旋转的变换下具有的不变性。,35,空间反演对称性（点对称性）,系统在空间反演，即在,变换下具有的不变性。,36,点转动对称性（球对称性）,系统在绕着某点作任意旋转的变换下具有的不变性。,R,R,电场硬度,直径,均匀带电圆球相对球心具有球对称性，它的空间场强分布也具有此种对称性。,37,时间变换对称性,一维的时间只能改变方向和平移，所以只有两种变换：,时间反演对称性,时间平移对称性,38,时间反演对称性,时Dye物理好资源网(原物理ok网)

9、间反演即时间倒流,O,过去,未来,过去,未来,1,2,39,牛顿第二定理具有时间反演对称性,精典热学中，与牛顿第二定理平行的是力的结构性定理,胡克定律、引力定理、库仑定理具有时间反演对称性,减振性作用定理给出的空气阻力、摩擦力等不具有时间反演对称性,时间倒流在真实世界是不可能发生的,40,时间平移对称性,系统在时间平移，即在,变换下具有的不变性。,牛顿第二定理和力的结构性定理都具有时间平移对称性,自然界中不仅与时空变换有关的对称性以外，还有其它的对称性，数学学的后续课程上将会讨论。,41,2.2对称性原理,42,荷兰化学学家皮埃尔.居里（.Curie）在1894年强调,对称Dye物理好资源网(原物理ok网)

10、性原理因中若有某种对称性，果中也有此种对称性，因果间的这些对称性是普遍存在的。,43,2.3对称性与守恒律,Emmy(1882-1935),诺特最伟大的女物理家,44,诺特定律：论证了对称性与守恒律之间存在的普遍联系,连续变换的对称性都对应一条守恒定理,时间平移对称性,能量守恒定理,空间转动对称性,角动量守恒定理,空间平移对称性,动量守恒定理,45,小结,牛顿定理,惯性系,非惯性系,质点,质点系,我们周围的世界,46,3天体运动,太阳系中太阳是质量最大的天体，行星中质量最大的土星,太阳近似处理成不动的质点，行星运动由太阳引力支配。卫星距大行星很近，围绕着行星的运Dye物理好资源网(原物理ok网)

11、动由行星引力支配。,47,3.1天体运动,天体运动的开普勒三定理,第一定理（轨道定理）：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。第二定理（面积定理）：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。第三定理（周期定理）：各行星椭圆轨道半长轴A的三次方与轨道运动周期T的二次方之比值为相同的常量，即,48,牛顿热学结合万有引力定理推论天体运动的开普勒三定理,极座标系角动量守恒能量守恒,49,太阳质量记为M，待考察的行星质量记为m，某时刻M至m的径矢r和m的速率v。,构建极座标系,在径矢r和速率v确定的平面上电子运动的角动量公式，构建以M为原点的极座标系。,5Dye物理好资源网(原物理ok网)

12、0,借助角动量L和能量E守恒,首先可得到角向速率和径向速率,51,行星轨道,方案1：参数多项式,方案2：轨道多项式,52,确定轨道多项式,引入热阻,53,作变量代换,积分后可得,总可选定,54,行星的轨道多项式,这是太阳坐落焦点的圆柱曲线,55,三种可能的轨道：,都与行星质量无关,行星的轨道多项式,56,大行星受太阳引力禁锢，E0，轨道是椭圆,M,m,椭圆偏心率,时，为圆轨道。,57,例10,太阳质量M，行星椭圆轨道半长轴A、半短轴B。行星的轨道运动周期T，试导入开普勒第三定理。,M,m,1,2,选择长轴的两点：近期点1和远日点2，速率与径矢垂直的惟一的两点。,58,机械能守恒,角动量Dye物理好资源网(原物理ok网)

13、守恒,面积速率,行星的轨道运动周期,开普勒第三定理,59,解法二,轨道1处的曲率直径,牛顿第二定理,面积速率,行星的轨道运动周期,开普勒第三定理,60,例11,对于太阳和某个行星构成的两体引力系统电子运动的角动量公式，若考虑到引力对太阳的影响，开普勒三定理将作什么修正？,引入约化质量和行星相对太阳的加速度,将引力公式代入,61,上式可改写为,不仅将太阳质量M换成M+m以外，所有结果保持不变。,开普勒第一、第二定理不依赖于太阳质量，保持不变。,开普勒第三定理依赖太阳质量，严格意义下不再创立。,虽然是行星中质量最大的土星,确实是小到可以忽视,62,例12估算第一、第二、第三宇宙速率,略去月球大气层的影响,Dye物理好资源网(原物理ok网)

14、地球直径,月球轨道直径,太阳质量,地表重力加速度,63,第一宇宙速率：在月球引力作用下，紧贴地面沿圆轨道运动的飞行器速率v1。,飞行器质量m,64,第二宇宙速率：从地面向上发射太空飞行器，为使它能远离月球而去的最小发射速率v2。,月球质量ME,65,第三宇宙速率：从地面向上发射太空飞行器，为使它能陆续脱离月球和太阳的引力禁锢远离太阳系而去的最小发射速率v3。,相对月球的最小发射速率v3需顺着月球轨道的运动方向。,月球轨道速率,在地心参考系中，飞行器距月球足够远时，它相对于月球从v3降为,（1）,66,转入太阳系，飞行器相对太阳的速率为,（2）,为使飞行器刚好能脱离太阳的引力禁锢，Dye物理好资源网(原物理ok网)

15、要求,（3）,67,例13,通过天文观测，发觉存在行星椭圆轨道，假定质点间的万有引力大小与距离r的关系为试就下边两种情况分别确定（1）太阳在椭圆轨道的一个焦点上；（2）太阳在椭圆的中心,M,m,1,2,68,M,m,1,2,面积速率不变,对于椭圆,从开普勒第一、第二定理，导入了引力的平方正比律,（1）,69,（2）,M,m,1,2,3,对于1、3两处,对于椭圆,引力具有弹性力的特性,70,3.2有心力场中质点的运动,存在有心力的空间称为有心力场，以力心为座标原点，在有心力场中质点所受力可叙述成：,71,有心力场中，质点初速率沿径向或为零时，运动轨道是直线。,对于吸引性有心力场Dye物理好资源网(原物理ok网)

16、，质点初速率沿角向并满足运动轨道是圆。,通常情况下，质点的运动轨道都是平面曲线，这一平面由质点初位矢和初速率确定。,72,有心力场中，在由质点初位矢和初速率确定的平面上，以力心为座标原点，构建极座标系。,系统的角动量和机械能都是守恒量：,角向和径向速率,73,为获得r-t，,这是关于r-t的一阶微分等式，原则上可解出r-t关系。,轨道微分多项式,给定V(r)，积分上式，得轨道多项式：,74,对r-t关系的定性讨论,了解r随t的变化范围，确定轨道是有限的，还是无穷的。,取随质点径矢一起变速转动的非惯性系,质点的惯性离心力,此力是保守力，取无穷远点为势能零点，它的离心势能,能量守恒Dye物理好资源网(原物理ok网)

17、式中与角动量有关的动能项可理解为离心势能。,质点的一维运动,75,引入等效势能,径向能量守恒多项式,借助此式就可以讨论r随t的变化,有心力与离心力的合力,等效势能的极值点对应质点所受径向合力为零的点。,若此时质点的径向动能为零，即,则质点作圆周运动。,76,径向加速度使质点仍然有径向朝外的运动趋势，直到无穷远，故质点运动轨道必将是无限的。,有心力是敌视性的,从受力的角度剖析,从能量的角度剖析,敌视性的有心力势能V(r)为正，随r的减小而降低。,离心势能,质点的能量是守恒量，且有限，它的运动范围只能是,无穷远,有限远,77,有心力是吸引性的,吸引性的有心力的通常方式,取不同值对应不同的吸引性的有心力，对应的势能的通常方式为,78,有心力具有胡克力的性质,其它则轨道为椭圆,79,80,有心力如引力和库仑力,其它情况,81,82,定律：只当有心力为平方反比力或Hooke力时，粒子的所有禁锢运动轨道才是闭合的。,83,定律的证明,能量E守恒,角动量L守恒,引入变量,84,Dye物理好资源网(原物理ok网)

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