顺磁介质的磁化硬度与哪些有关？怎样借助玻尔兹曼分布推论磁化硬度公式？10月28日12时，《张朝阳的数学课》第九十六期播出，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐阵搜狐视频直播间，先备考了玻尔兹曼分布公式与角动量量子化的内容，此后借助磁矩的势能公式估算出无轨道角动量的电子在外磁场中的基态。接着借助玻尔兹曼分布推导入磁化硬度公式，并在弱场极限下对其展开，然后还将其扩充到任意角动量的情况。
求解外磁场下的电子载流子基态写出玻尔兹曼分布
在之前关于求解空气密度随高度的分布，以及用统计方式求解麦克斯韦速率分布率的课程中，张朝阳推导入了理想二氧化碳的玻尔兹曼分布。在更通常的情况下，对于量子热学分立的基态体系，玻尔兹曼分布是指，粒子处于第i基态的机率为：
其中，Ei是第i基态的能量，gi是第i基态的简并度。
借助玻尔兹曼分布公式，接出来剖析外磁场中电子的基态情况，以及处在各基态上的机率。设电子具有弱冠动量J，这么按照之前的课程内容可知，电子磁矩与角动量的关系满足：
其中qe是单位电荷，公式中的“-”来始于电子带负电-qe。
设匀强外磁场B顺着z轴方向，按照势能公式可知电子在外磁场B中的能量为：
其中，Jz是电子弱冠动量J顺着z轴的投影。
在精典热学中，Jz是连续的，能量φ和磁矩μ也是连续的。当磁矩μ与B的方向越近（即它们的方向倾角θ越小）电子角动量公式，能量φ越小，说明电子磁矩有沿B方向排列的倾向，这与之前的磁矩力矩公式是一致的。
而在之前量子热学课程中，张朝阳早已求解得悉角动量z份量的取值并不是连续的，而是取如下分立的值：
其中j是某一整数或半整数。
对于无轨道角动量的电子，弱冠动量由载流子角动量决定，这时j=1/2，所以角动量z份量Jz的只能取两个值：
其中，依照能量φ的表达式可知，载流子朝着z方向（即与B平行）时取正值，载流子朝着z方向的反方向时取负值。
在外磁场中的电子能量φ也只能取两个值：
同样也是载流子朝着z方向时Φ取正值，载流子朝着z方向的反方向时Φ取负值。
为了便捷后续的讨论，这儿定义一个常数磁矩μ0：
于是，当载流子朝着z方向时，依据电子磁矩μ与角动量J的关系式，可知电子磁矩的z份量是-μ0，能量φ取正基态：
这么按照玻尔兹曼分布，电子处在正基态上的机率为：
其中a是归一化常数。
而当载流子朝着z方向的反方向时，依据电子磁矩μ与角动量J的关系式，可知电子磁矩的z份量是μ0，能量φ取负基态：
同样按照玻尔兹曼分布，电子处在负基态上的机率为：
这样就求出了外磁场中无轨道角动量的电子在各基态上的玻尔兹曼分布电子角动量公式，以及各基态所对应的磁矩z份量。
推论顺磁磁化硬度公式线性展开并推广到通常情况
有了电子在各基态上的机率分布以及各基态对应的磁矩，就可以求解磁介质的磁化硬度。按照机率分布可以估算出电子磁矩的z份量的平均值：
至于磁矩的x和y份量的平均值，可由对称性可知它们都等于零。
（张朝阳借助玻尔兹曼分布推论磁化硬度公式）
磁化硬度M定义为每单位容积中的净磁矩，设单位容积内的电子数为N，这么磁化率M为：
当外磁场B很大或气温极低时，双曲余弦函数会促使磁化率M趋向一个固定的极限值Nμ0，相当于所有的载流子都转向了z轴（即外磁场B的方向），这时磁化率达到饱和。当外磁场B比较弱时，无规则热运动会促使磁矩倾向于无规则的排列，抵消磁场B的转向作用，这时可以借助双曲正切函数的线性展开特点：
将弱场情况下的磁化率近似写成：
这表明在弱磁场情况下M与外磁场B成反比。
前面的公式是假定弱冠动量J完全是载流子角动量ћ/2得下来的，为了得到更普遍的公式，张朝阳将μ0^2的表达式具体写下来：
进一步定义波尔磁子μB为：
可以将μ0^2写成更加紧凑的方式：
波尔磁子是与具体系统无关的常数，与电子载流子相关的量就是上面的系数g与(1/2)^2。由于载流子g约等于2，所以从这个公式能看出，载流子磁矩几乎就是一个波尔磁矩。因为磁矩与角动量成反比，磁矩的平方与角动量的平方有关，而在量子热学中角动量的平方的取值为j(j+1)ћ^2。这儿电子载流子对应j=1/2，于是考虑将(1/2)^2写成如下角动量平方（本征值）方式：
这样就只要不限制j=1/2，这么就将上述(μ0)^2扩展到任意弱冠动量j的情况：
对应的在弱场B情况下的磁化硬度近似为：
这就是外磁场B在顺磁介质中诱导出的磁化硬度公式，而玻尔磁子大致标定了原子磁矩的大小。从公式中可以看出，水温越高因为无规则热运动越剧烈，致使排列倾向混乱，会降低磁化硬度。据悉，磁化硬度还与原子角动量的平方，粒子数密度与外磁场（弱场）成反比，符合之前用磁矩力矩公式关于顺磁介质的定性剖析。
（张朝阳将磁化硬度公式进行弱场展开并定义玻尔磁子）
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