1六．动量矩定律的应用应用动量矩定律，通常可以处理下述一些问题：（对单轴传动系统尤为便捷）1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外转矩。2．已知质点系所受的外转矩是常转矩或时间的函数，求质心的角加速度或角速率的改变。3．已知质点所遭到的外力主矩或外扭力在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定律求角速率或角位移。七．应用举例[例1]均质圆锥，直径为r，重量为Q，置圆锥于墙角。初始角速率?0，墙壁、地面与圆锥接触处的动滑动磨擦系数均为f'，滚阻不计，求使圆锥停止转动所须要的时间。解：选定圆锥为研究对象。(注意只是一个质心)受力剖析如图示。运动剖析：刚体C不动，质心绕刚体转动。按照质心平面运动微分等式???补充等式：?将?式代入?、?两式，有将上述结果代入?式，有解得：???补充等式：?[例2]两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T形杆具有角速率?=4rad/s。求该瞬时轴承O的反力。解：选T字型杆为研究对象。受力剖析如图示。由定轴转动微分等式依据刚体运动微分等式，得[例3]均质圆锥体A和B的重量均为P，直径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆锥A上，绳的另一端绕在圆锥B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处磨擦。
求：?圆锥B下落时刚体的加速度。?若在圆锥体A上作用一逆秒针转向的力矩M，试问在哪些条件下圆锥B的刚体将上升。选圆锥B为研究对象??运动学关系：??解：选圆锥A为研究对象由?、?式得：代入?、?式得：由动量矩定律：?补充运动学关系式：代入?式，得当M>2Pr时，，圆锥B的刚体将上升。再取系统为研究对象研究质心平面运动的动力学问题，一定要完善补充等式，找出刚体运动与质心转动之间的联系。应用动量矩定律列多项式时,要非常注意正负号的规定的一致性。*§11–1动量矩§11–2动量矩定律§11–3质心定轴转动微分等式§11–4质心对轴的转动力矩§11–5质点系相对于刚体的动量矩定律·刚体平面运动微分等式习题课第11章动量矩定律质点质点系动量定律：动量的改变—?外力（外力系主矢）若当刚体为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，刚体无运动，但是质点系确受外力的作用。动量矩定律构建了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩三者之间的关系。§11-1动量矩一．质点的动量矩质点对点O的动量矩：矢量质点对轴z的动量矩：代数目刚体运动定律：刚体的运动—?外力（外力系主矢）质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺秒针为负逆秒针为正二．质点系的动量矩质系对点O动量矩：质系对轴z动量矩：kg·ｍ2/s。
动量矩测度物体在任刹那时绕固定点(轴)转动的强弱。3．平面运动质心平面运动质心对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于质心陪同刚体作平动时刚体的动量对该轴的动量矩与绕刚体轴作转动时的动量矩之和。质心动量矩估算：1．平动质心平动质心对固定点（轴）的动量矩等于质心刚体的动量对该点（轴）的动量矩。2．定轴转动质心定轴转动质心对转轴的动量矩等于质心对该轴转动力矩与角速率的乘积。解：[例1]滑轮A：m1，R1动量矩定理求角加速度，R1=2R2，I1滑轮B：m2，R2，I2；物体C：m3求系统对O轴的动量矩。§11-2动量矩定律一．质点的动量矩定律两侧叉乘矢径,有一侧可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的行列式，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定律。故：将上式在通过固定点O的三个直角座标轴上投影，得上式称质点对固定轴的动量矩定律，俗称为质点动量矩定律的投影方式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的行列式，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为质点的动量矩守恒。若则常矢量运动剖析：。由动量矩定律即微幅摆动时，并令动量矩定理求角加速度，则解微分多项式,并代入初始条件则运动多项式，摆动周期解：将小球视为质点。
受力剖析；受力图如图示。[例2]单摆已知m，l，t=0时?=?0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。注：估算动量矩与扭矩时，符号规定应一致（本题规定逆秒针转向为正）质点动量矩定律的应用：?在质点受有心力的作用时。?质点绕某心（轴）转动的问题。质点系对任一固定点的动量矩对时间的行列式，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．质点系的动量矩定律右侧交换求和与行列式运算的次序，而一质点系对固定点的动量矩定律对质点系，有对质点Mi：将上式在通过固定点O的三个直角座标轴上投影，得上式称为质点系对固定轴的动量矩定律。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的行列式，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒?当时，常矢量。?当时，常量。定律说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力能够改变质点系的动量矩。解:取整个系统为研究对象，受力剖析如图示。运动剖析：v=ｒ?由动量矩定律：[例3]已知:解：系统的动量矩守恒。猴A与猴B向下的绝对速率是一样的,均为。
[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速率上爬，猴A不动，问当猴B向下爬时，猴A将怎样动？动的速率多大？（轮重不计）§11-3质心定轴转动微分等式对于一个定轴转动质心代入质点系动量矩定律，有—刚体定轴转动微分等式解决两类问题：?已知作用在质心的外转矩，求质心的转动规律。?已知质心的转动规律，求作用于质心的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用刚体运动定律求解。特殊情况：?若,则恒量，质心作匀速转动或保持静止。?若常量，则?=常量，质心作匀变速转动。将与比较，质心的转动力矩是质心转动惯性的测度。§11-4质心对轴的转动力矩一．定义：若质心的质量是连续分布，则质心的转动力矩是质心对某轴转动惯性大小的测度，它的大小表现了质心转动状态改变的难易程度。转动力矩恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。１．积分法（具有规则几何形状的均匀质心可采用）[例1]匀质细直杆长为l,质量为m。求：?对z轴的转动力矩；?对z'轴的转动力矩。二．转动力矩的估算解：2.回转直径由所定义的宽度称为质心对z轴的回转直径。对于均质质心，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质质心，其回转直径是相同的。在机械工程设计指南中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动力矩和回转直径。书中列举几种常见
