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求2008年昆明中考试卷

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2007年黑龙江省大庆市中考数学试卷及答案

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2013山东省济南市中考数学试题及答案及解析

如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.

考点: 四边形综合题. 专题: 计算题.
分析: (1)分别以A、B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D,连接AD,BD,同理连接AE,CE,
如图所示,由三角形ABD与三角形ACE都是等边三角形,得到三对边相等,两个角相等,都为60度,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形ABD与三角形ACE全等,利用全等三角形的对应边相等即可得证; (2)BE=CD,理由与(1)同理; (3)根据(1)、(2)的经验,过A作等腰直角三角形ABD,连接CD,由AB=AD=100,利用勾股定理求出BD的长,由题意得到三角形DBC为直角三角形,利用勾股定理求出CD的长,即为BE的长.
解答: 解:(1)完成图形,如图所示:
证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD和△EAB中,

∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD;
(2)BE=CD,理由同(1),
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB,
∵在△CAD和△EAB中,

∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD;
(3)由(1)、(2)的解题经验可知,过A作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°, 则AD=AB=100米,∠ABD=45°, ∴BD=100米,
连接CD,则由(2)可得BE=CD,

∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°,
在Rt△DBC中,BC=100米,BD=100米,
根据勾股定理得:CD==100
米,
则BE=CD=100
米.

点评: 此题考查了四边形综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,等边三角形,等腰直角三角
形,以及正方形的性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
24.(12分)(2013•济南)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,
将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2
+bx+c经过点A、B、C. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似点P的坐标; ②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题.
分析: (1)先求出A、B、C的坐标,再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式;
(2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴,分类讨论当∠CEF=90°时,当∠CFE=90°时,根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标;
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式,设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积,运用顶点式就可以求出结论.

解答:
解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=
=3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的, ∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0). 代入解析式为

解得:.
∴抛物线的解析式为y=﹣x2
﹣2x+3;
(2)①∵抛物线的解析式为y=﹣x2
﹣2x+3, ∴对称轴l=﹣
=﹣1,
∴E点的坐标为(﹣1,0).
如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4);
当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP. ∴

∴MP=3EM.
∵P的横坐标为t,
∴P(t,﹣t2
﹣2t+3). ∵P在二象限,
∴PM=﹣t2
﹣2t+3,EM=﹣1﹣t,
∴﹣t2
﹣2t+3=3(﹣1﹣t),
解得:t1=﹣2,t2=﹣3(与C重合,舍去),
∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2
﹣2×(﹣2)+3=3. ∴P(﹣2,3).
∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3); ②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得

解得:,
∴直线CD的解析式为:y=x+1.

设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,t+1), ∴NM=t+1.
∴PN=PM﹣NM=t2
﹣2t+3﹣(t+1)=﹣t2
﹣+2.
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN, ∴S△PCD=PM•CM+PN•OM =PN(CM+OM) =PN•OC =×3(﹣t2
﹣+2) =﹣(t+)2+

∴当t=﹣时,S△PCD的最大值为
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