贡献者：；亚的斯亚贝巴
初步知识：电场高斯定律、磁场高斯定律、安培环路定律（静磁学）
在本文中，我们总结了静电场和磁场的一些基本属性。这里所谓的“静态”是指系统的状态不随时间而改变。例如，电荷、电流、电场等的强度和分布是恒定的。注意，这里的“安静”和“静止”的含义并不完全相同。并不是说没有电荷流（电流），而是意味着电荷流的速度是均匀的，即所谓的“恒定电流”。
1. 电荷、电流和电荷守恒
什么是收费？从有意义的角度来说，电荷是“粒子与电磁场相互作用的强度”。然而，对于初学者来说，您需要知道的是，电荷是粒子/物质的属性，就像质量一样。引入电荷概念是因为人们发现物质之间除了源于质量的引力相互作用外，还存在另一种相互作用，其强度与质量无关，而是与物质的另一种性质有关。这种性质称为“电荷”，这种相互作用称为“静电力”。
当电荷呈离散分布时（例如众所周知的点电荷模型，对应于“粒子”），我们可以描述每个点电荷所携带的电荷量$q_i$；而当电荷连续分布时（例如物体各处都有电荷，对应“刚体”），我们更喜欢使用电荷密度，即单位体积的电荷量 $rho = frac{{ d}{q}}{{d}{V}} $.
当（大量）电荷沿一个方向移动时，就会产生电流。电流可以用电流强度$I$和电流密度${{j}}$来表示：
表1：电流强度和电流密度
电流强度$I$：“单位时间内通过横截面的电荷量”
$I = frac{{d}{q}}{{d}{t}} $
电流密度${{j}}$：“单位时间内通过单位面积的电荷量”
$$I = oint {{j}} cdot ,{d}{ {{S}} } ~$$ $$ {{j}} = frac{{d} {I}}{{d}{S_perp}} hat n~$$ $$ {{j}} = ne {{v}} ~$$其中，$n$ 是携带 载流子的体积数密度（载流子就是电荷载流子）高中物理磁场公式，$e$是每个载流子的电荷量，${{v}}$是载流子的速度。
与质量一样，电荷也是守恒的。也就是说，如果某个区域有电荷（电流）流出，那么该区域的电荷量就会相应减少。 $$oint {{j}} \cdot ,{d}{ {{s}} } = - frac{{d}}{{d}{t}} int rho ,{d}{V} qquad sum_i I_i = - frac{{d}{q}}{{d}{t}} ~,$$其中，$ {{j }} $ 为电流密度网校头条，$rho = frac{{d}{q}}{{d}{V}} $ 为电荷密度，$I>0$ 表示流出的电流区域，否则输入电流。或 $${nabla}{cdot} {{j}} + frac{ rho}{ t} = 0~.$$ 静态场条件下，空间中的电荷密度和电流密度不随时间变化，所以 $${nabla}{cdot} {{j}} = 0 qquad sum_i I_i = 0~.$$这个结论也称为 丈夫第一定律。
2.静电场和静磁场
图1：电荷和电流分别在截面上产生的电场和磁场的示意图。 CC 0
众所周知，电荷和电流在它们周围分别产生电场和磁场。下表反映了电荷、电流及其产生的电场和磁场之间的关系：
表2：静电场和静磁场
电场 $ {{E}} $
磁场 $ {{B}} $
场源
收费 $q$
当前（移动费用）$I$
由字段源生成的字段
$$ ,{d}{ {{E}} } ( {{r}} ) = frac{1}{4 pi } frac{ ,{d}{q} }{R^2} {{hat R}} ~ $$ 不太严格地说， $ ,{d}{ {{E}} } $ 由单个小电荷组成 $ ,产生的电场为{d}{q}$。
$$ ,{d}{ {{B}} } ( {{r}} ) = frac{mu_0}{4pi} frac{I ,{d}{ {{r}} '} \times hat{{{R}}} }{R^2}~$$ 毕奥-萨伐尔定律； $ ,{d}{ { {B}} } $ 是一小部分电流 $I ,{d}{ {{r}} '} $ 产生的磁场。
线性叠加原理
$$ {{E}} ( {{r}} ) = int ,{d}{ {{E}} } = frac{1}{4 pi } int frac{ ,{d}{q} }{R^2} {{hat R}} ~ $$ 由于相应的方程是线性的，如果空间中有多个电荷，则它们的总和电场是各个电荷产生的电场之和。
$$ {{B}} ( {{r}} ) = oint ,{d}{ {{B}} } = frac{mu_0}{4pi} oint frac{I ,{d}{ {{r}} '} \times hat{{{R}}} }{R^2}~$$
散度方程
$$oint {{E}} \cdot ,{d}{ {{s}} } = frac{1}{}int rho ,{d}{V } = frac{Q}{}~$$$$ {nabla}{cdot} {{E}} = frac{rho}{}~$$ 高斯电场定律
$$oint {{B}} \cdot ,{d}{ {{s}} } = 0~$$$$ {nabla}{cdot} {{ B}} = 0~$$高斯磁场定律
旋度方程
$$ oint {{E}} \cdot ,{d}{ {{l}} } = {{0}} ~$$$$ {nabla}{ times} {{E}} = {{0}} ~$$ 静电场循环定理，基尔霍夫第二定律的表达式。
$$oint {{B}} \cdot ,{d}{ {{l}} } = mu_0 int {{j}} \cdot ,{d} { {{s}} } =mu_0 I ~$$$$ {nabla}{times} {{B}} = mu_0 {{j}} ~$$ 静磁领域 电路定理（技术术语：安培电路定律）
其中$ {{r}} $为场点，$ {{r}} '$为场源位置，$ {{R}} = {{r}} - { {r}}'$是从场源指向场点的向量，${{hat R}}$是对应的单位向量。 $$、$mu_0$分别是“真空介电常数”和“真空磁导率”（根据 ，这两个常数的名称具有误导性，你只需要知道它们是两个常数即可）。
当我们拥有美丽的“场源生成的场”时，为什么我们需要散度和旋度方程（微分形式）？尽管两者可以相互“衍生”，但散度和旋度方程仍然具有（潜在的、理论上的）优点：
3.电（标准）势和磁矢量势
基于数学和物理的考虑，我们可以引入势的概念。有时候势的概念比场更加简洁和深刻。
表 3：电（标准）电势和磁矢量电势
电场 $ {{E}} $
磁场 $ {{B}} $
潜在的
$$~$$ 电势，标量函数
$$ {{A}} ~$$ 磁矢量势，矢量函数
势和场
$$ {{E}} = - \nabla ~$$ $$ ( {{r}} ) = int^{ {{r}} _0}_{ {{ r}} } {{E}} cdot ,{d}{ {{l}} } ~ $$ ($ {{r}} _0$ 为零电位参考点，一般所选无穷大电位为0，具体请参考下面的“规格”）
$ {{B}} = {nabla}{times} {{A}} ~$
潜在的任意性、“规范”
$$ += ~$$ $$ 是一个常数
$$ {{A}} += \nabla ~$$ $$ 是一个标量函数。基于此，可以控制${nabla}{cdot}{{A}}$的值
场源引起的电势
$$( {{r}} ) = frac{1}{4pi} int frac{rho( {{r}} ')}{ leftlvert { {r}} - {{r}} ' rightrvert } ,{d}{V} '~.$$ （假设无穷大势能为零）
$$ {{A}} ( {{r}} ) = frac{mu_0}{4pi} int frac{ {{j}} ( {{r}} ')}{ leftlvert {{r}} - {{r}} ' rightrvert } ,{d}{V'} ~.$$ （假设规范 $ { 纳布拉}{cdot} {{A}} = 0$)
势能方程
$$nabla^2 = -frac{rho}{}~$$ （假设无穷大势能为零）
$$nabla^2 {{A}} = - mu_0 {{j}} ~$$ （取范数$ {nabla}{cdot} {{A}} = 0 美元)
潜力的定义
引入势的数学考虑因素是（详细信息参见“向量分析概述”）：
静电场和磁场自然分别满足这些条件，因此可以分别定义电势和磁势。
对于物理考虑，请参阅“电势、电势能”。
从电场与电势的关系不难看出，静电场实际上只有一个自由度$$，而不是看上去的三个$(E_x,E_y,E_z)$。
潜力的任意性
由于电荷直接感受到的是场而不是电势（见下文“洛伦兹力”），因此只要能获得相同的场，电势的值就有一定的灵活性。例如，由于 $ {{E}} = - \nabla $，即使在势上添加常数后，仍然有 $ {{E}} = - \nabla (+) = - \nabla - \nabla = - \nabla $，即对应的电场不会改变。因此，势能总是可以相差一个常数，而不改变“实质性结果”。这有点像我们做不定积分时，总会得到一个积分常数$C$；或者在求函数的导数时，常数项不会改变导函数。选择常数的方法称为“范数”。根据相应的情况，我们会选择合适的范数来简化计算。在静态场中，我们一般将无穷远处的电势设为零，并让磁势满足 $ {nabla}{cdot} {{A}} = 0$。
势能方程
将电势的定义代入方程组，并辅以数学技术，即可得到相应电势的方程。例如，对于电势： $$left {begin{}{{E}} &= - \nabla \\{nabla}{cdot} {{E}} &= frac{rho}{}\end{}right.\{nabla}^2 = -frac{rho}{}~.$$
磁势也是如此，但它需要更巧妙地使用数学技术和规范。具体证明过程照常留给读者：$$left {begin{}{{B}} &= {nabla} {times} {{A}} \ {nabla}{times} {{B}} &= mu_0 {{j}} \{nabla} {cdot} {{A}} &= 0 \end{}right.\{nabla}^2 {{A}} = -mu_0 {{j}}~ .$$由于磁势 $ {{A} } $ 是一个向量，磁势方程实际上包括三个标量方程（笛卡尔坐标系）： $$nabla^2 {{A}} = - mu_0 {{j}} ~\左 {begin{}{nabla}^2 A_x = -mu_0 j_x\{nabla}^2 A_y = -mu_0 j_y\ {nabla}^2 A_z = -mu_0 j_z \结束{}对.~.$$
场源引起的电势
原则上，“场源产生的电势”是相应电势方程的解，但这很慢。根据电场的性质、电势的定义以及电势与积分路径无关的性质，我们可以很容易地得到“电荷引起的电势”。这也是我们高中大事理解的方法： $$ = int { {E}} cdot ,{d}{ {{l}} } = frac{1} {4pi} frac{q}{R}~,$$ 并推广为连续形式 $$ = frac{1}{4pi} int frac{rho}{R} ,{d}{V} '~.$$根据磁势方程与电势的相似性，以此类推，可得“电流引起的磁势”。这就避免了求解偏微分方程的困难。
图 2：源 -> 潜力 -> 场
4.洛伦兹力
电磁场中点电荷所受的力由洛伦兹力公式给出： $${{F}} = q ( {{E}} + {{v}} \times { {B}} )~.$$ 注意，这个公式不包括点电荷静止或匀速运动时产生的电磁场。但当点电荷以非均匀速度运动时，就会产生辐射（即电磁波），这种辐射又会作用在点电荷上。从能量守恒定律的角度来看，电荷产生辐射并失去能量，那么动能必然减少，因此它的辐射必然是其整体对自身力的阻力。然而，一般来说，我们假设这种辐射的功率足够小，其影响可以忽略不计。
对于连续分布的电荷，我们描述单位体积（“一块”）电荷所经历的洛伦兹力。相当于上式两边都“除”$,{d}{V}$。 $$ {{f}} = frac{{d}{ {{F}} }}{{d}{V}} = frac{{d}{q}}{ {d}{V}} ( {{E}} + {{v}} \times {{B}} ) = rho ( {{E}} + {{ v}} \次 {{B}} )=rho {{E}} + {{j}} 次 {{B}} ~.$$
有时我们假设电流伴随着符号相反的静电荷，因此电流整体上没有静电荷，不会产生电场。
防撞说法：与电动力学紧密结合的狭义相对论告诉我们，这种说法并不严谨。
与静电场中电荷可以任意放置不同，在静磁场中我们不能“任意放置”电流，而必须使电流形成回路或延伸至无穷大。如果设计的“电路”没有形成环路，那么根据电荷守恒定律，该区域的电荷密度必然发生变化，因此不再是静态场问题。这就是为什么这个公式实际上并不能准确描述“单个移动电荷的磁场”。
为什么 $ {nabla}{times} {{E}} = {{0}} $ 缺少方程？因为在介绍电势概念时，我们已经用过这个方程：任何标量函数的梯度旋度始终为零：$ {nabla}{times} ( \nabla ) = 0$。
大卫，至，4ed
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