牛顿当时的推导思想是这样的：
假设一个天体绕另外一个天体做匀速圆周运动，这里我们就假定研究地球m，线速度v，周期是T，绕太阳M，做半径为r，的圆周运动。
地球和太阳之间的万有引力提供向力： v=2πr/T
F=mv^2/r
代入F=m﹙2πr﹚²／rT²=4π²mr²／rT²=4π²mr³／r²T²
由开普勒第二定律：长半轴的3次方与周期的2次方之比为定值，既：r³／T²=k′
那么上式可以写成：F=4k′π²m／r²
可以看出这个引力F∝m／r²
牛顿当时想到的是这个引力是太阳和地球之间的，既然跟地球的质量m正相关，那么引力是他们的相互作用力，肯定也与太阳的质量M正相关。于是他大胆得出：
F∝Mm／r²
最后写成了：F=GMm／r²
G为引力常量，为一恒定的系数，后由英国物理学家卡文迪许测出。
1)万有引力定律严格说是实验定律不能推导
2）如果想从开普勒三大定理导出万有引力定律，可以参考《力学》或《大学物理》教材。
从历史的角度
牛顿是这样发现的
在开普勒定律发现之后[第三定律】
经过简单的数学推倒可得出分母项（距离的二次方反比）
然后根据物体的等效性。引入牛顿自己的质量概念，即得分母项（质量之积）
简单来说就是这样
实际上是当时一个呼之欲出的结果，只是牛顿抓住了机遇！
假设地球在绕太阳做公转，向心力就是它们之间的万有引力，即F=m*v^2/r (r为轨道半径），把v^2化开得F=4mrπ^2/T^2,根据开普勒第三定律，T^2=a^3/k 将T^2替换了，得F=4kπ^2m/r^2，因为4kπ为一个定值，因此可以看出F与m成正比，与r^2成反比，根据牛顿第3定律，力的作用是相互的，若m代表地球质量，M代表太阳质量，同样得F=4kπ^2M/r^2,则F与M成正比，也与m成正比，则F与Mm也成正比，但是引力常量是当时无法得出的，因此牛顿也就推导到这里，后来卡文迪许做了一个扭杆实验，测出了引力常量G，就得出F=GMm/r^2,这就是完整的推导过程。
