守恒定律表明，孤立系统的某些属性不会随着系统的发展而改变。根据诺特定理，守恒定律“与基础物理学中的对称性有关”。换句话说，对称性和守恒定律是紧密相连的。
伟大的理论物理学家、诺贝尔奖获得者理查德费曼在他的物理学教科书《费曼物理学讲义》中引用道：
“我们为什么关心对称性？首先，对称性对人类大脑很有吸引力。每个人都喜欢某种程度上对称的物体或图案。”——理查德·费曼
下面是一个包含几种对称性的例子，这个物体包含三种对称性，分别是反射对称、旋转对称、自相似。
图 1：此形状具有三种对称性：反射对称、旋转对称和自相似性。我们将在此考虑自然法则本身的对称性（而不仅仅是物体的对称性），这些对称性支配着宇宙物理系统的行为。
对此类对称变换最好的两个定义，分别由美国理论物理学家、诺贝尔奖获得者史蒂芬·温伯格和美籍华裔物理学家、作家安东尼·泽在他们的两本量子场论著作中给出。
温伯格对对称变换的定义如下：
对称变换只是改变了我们的观点，它不会改变可能的实验的结果。
Ze 给出了如下定义：
当物理定律在某些变换下不会改变时，该定律就被称为对称的。
经典的例子包括能量守恒、线性动量和角动量。它们与三种时空变换有关：空间平移、时间平移和旋转。
可以使用称为牛顿框架的装置来观察动量和能量守恒电荷守恒定律公式，如下图所示。
图 2：五球牛顿架上述变换与时空的对称性有关。正如我们将更详细地看到的，（局部）守恒定律通常在数学上表示为连续性方程。后者是偏微分方程 (PDE)，给出了“量”与该量的“传输”之间的关系。前者称为守恒量，后者称为密度。更准确地说，连续性方程表明，守恒量的数量只能随着流入或流出包含系统的体积的量而变化。如前所述，整个物理学中最重要的结果之一，称为诺特定理，指出在底层物理学中存在与每个对称性相对应的守恒电流。
在本文中，我将重点讨论拉格朗日场论，它是与通常的拉格朗日力学（处理粒子）相对应的场论。
让我们将其转化为数学形式。为此，我们首先需要了解两个重要概念：
什么是拉格朗日密度？什么是最小作用原理？拉格朗日力学和最小作用原理
拉格朗日力学是由数学家和天文学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日提出的。它有几个优点。例如：
它非常精妙，尤其是与牛顿的方法相比。它更加强大，让物理学家能够直接解决具有挑战性的问题。这是一种全新的做事方式，为经典动力学提供了一个可以扩展到所有物理定律的框架。它展示了经典力学和量子力学之间的联系。
图 3：意大利数学家和天文学家约瑟夫-路易斯·拉格朗日的经典场论中的拉格朗日力学
事实证明，迄今为止已知的所有基本物理定律（描述物理系统如何随时间变化的方程）的运动方程都可以从拉格朗日力学理论（即拉格朗日场论）中获得。要获得系统的运动方程，我们首先需要理解产生此类方程的“最小作用量原理”。
考虑一个由多个标量场组成的系统：
方程 1：一个向量，其分量是多个标量场的集合。
图 4：二次势理论中标量场的运动，其中 x = (t, x, y, z)。在拉格朗日场论中，运动方程是使用上面描述的最小作用原理获得的。对于某个场 _a，这可以写成：
公式2：如何用最小作用量原理解运动方程。我先解释一下公式中各项的含义。括号中的曲线L是拉格朗日密度，它取决于公式1中的场、它们对应的空间和时间导数以及坐标t、x^1、x^2、x^3。花括号“{}”表示系统的n个独立变量（包括时间变量），μ=0,1,2,3。应用上述最小作用量原理，我们得到运动方程：
方程：欧拉-拉格朗日方程 诺特定理
这个强有力的定理于 1915 年由名不见经传的数学家埃米·诺特 (Emmy ) 证明，并于三年后发表。
艾米·诺特是谁？
德国数学家和物理学家埃米·诺特是有史以来最伟大的无名科学英雄之一。尽管她在辉煌的职业生涯中饱受偏见，但她的同事们却认可她几乎无与伦比的才华。
图 5：埃米·诺特的肖像和她证明定理的文章的第一页 她对抽象代数和理论物理学的贡献是巨大的。诺特定理是现代物理学的基石。此外，她对现代代数的掌握让数学家欧文·卡普兰斯基称她为“现代代数之母”。
1935年，爱因斯坦在给《纽约时报》的一封信中写道：
诺特小姐是自女子高等教育开始以来出现的最具创造力的数学天才。在代数领域，这个几个世纪以来最有天赋的数学家一直忙碌的领域，她发现了一些方法，这些方法对当代年轻数学家的发展具有重要意义。——阿尔伯特·爱因斯坦
然而，即使被哥廷根大学录取，由于性别原因，她也很难找到一份有偿工作。即使大学开始给她发工资，她也没有成为正教授。当时最杰出的科学家之一、数学家和物理学家赫尔曼·韦尔说：
“我感到很谦卑，因为我知道她在很多方面都是我的老师。”——赫尔曼·韦尔
数学家巴特·林德特·范德瓦尔登在讣告中写道，她的创造力无与伦比，苏联数学家帕维尔·亚历山德罗夫、法国数学家让·迪厄多内等人也称她为当代最伟大的数学家之一。
图 6：帕维尔·亚历山德罗夫、让·迪乌多内、赫尔曼·外尔、阿尔伯特·爱因斯坦和巴特利特·瑞安特。一群杰出的数学家和物理学家认为诺特是一位伟大的数学家。诺特定理的数学
让我们首先考虑连续对称性和无穷小变化、拉格朗日密度不变性：
方程 4：对于连续对称性电荷守恒定律公式，当我们对场进行无穷小的改变时，拉格朗日量不会改变。接下来，我们需要使用欧拉-拉格朗日方程。这两个方程结合起来得到：
等式 5：两个方程的组合。然后我们将括号内的对象定义为 4-J：
等式 6 的第一部分表明 J 是守恒的：
方程 7：电流 J 守恒。能量和动量守恒
在本节中，我们将研究两种类型的转换。
平移是空间变换，将图形或空间中的每个点沿给定方向移动相同的距离。在这种情况下，连续平移对称性是物理方程组在任何平移下的不变性。
图 7：平移不变函数满足方程 f(A) = f(A + t)。时间平移是将某物以恒定间隔移动的变换。时间平移对称性的假设是运动不会改变物理定律。
图 8：2017 年，耶鲁大学物理学家发现了时间晶体的迹象，时间晶体是一种破坏时间平移对称性的物质状态。我们可以将这两个变换写成：
方程 8：时空平移 其中 x^0=t、x^1=x、x^2=y，a 是描述时空中位移的任意小参数。现在考虑一个标量场 (x)。如果我们通过一个小的扰动来改变它：
公式9采用了欧拉-拉格朗日方程，经过几行代数运算后，我们发现相应的拉格朗日量随坐标t和x的变化而变化：
公式 10 利用公式 9 可得：
方程 11：方程 9 和方程 10 的组合现在，我们可以将拉格朗日密度的变化写成：
将公式 12 与公式 11 进行比较，其中 a 是任意的，我们得到：
方程 13：由于平移参数 a 是任意选择的，因此该方程必定成立。括号中的表达式称为能量动量张量。方程 13 可以写成：
方程 14：能量动量张量的守恒。T 的 00 分量是系统的能量密度，T（i=1,2,3）的 i0 分量是场动量密度的分量。对空间积分，我们得到能量和三个动量分量。方程 14 显示了在时空中平移而不改变拉格朗日密度时能量和动量的守恒。
如前所述，场也可以在“内部空间”内变换。连续对称拉格朗日量的示例，其中对称变换是内部的：
方程 15：内部变换电流空间守恒的拉格朗日对称性
让我们考虑标量场的变换。这意味着：
方程16：标量场的变换产生拉格朗日变换。假设拉格朗日不变。与上一节完全相同，我们得到以下结果：
式17：对式14进行变换，得到守恒电流J。物理系统的拉格朗日连续对称性有相应的守恒定律。也就是说，当拉格朗日对称时，每一个守恒电流都有一个守恒电荷。
最明显的例子是电荷守恒：
公式 18：应用公式 17，其中 J 是电流密度。
图 9：电荷 Q 穿过表面 S 的通量 J。诺特定理可用于许多不同的系统，包括电磁场、广义规范理论等。它可以轻松扩展到量子力学和量子场论。