永磁同步电机的数学模型包括哪些内容？
一般来说，电机的数学模型包含四个方程，即电压方程、磁通方程、转矩方程、运动方程等。
电压平衡方程：涉及矢量圆和等效电路
磁链方程：涉及电机绕组之间的自感和互感，表达气隙磁链
扭矩方程：涉及能量转换
运动方程：与转动惯量、阻尼系数等有关，表达电机与外部负载之间的运动关系。
由于永磁电机的转子部分采用永磁体，因此永磁同步电机的电压和电流仅局限于定子绕组中的电压和电流。 所有模型中都没有涉及转子电压和电流的方程。
常见的坐标系表示方法有：ABC静止坐标系、α-β静止坐标系、dq旋转坐标系、xy定子磁链坐标系。
建模之前需要做出一些假设：
1、定子绕组为Y形接法，三相绕组对称分布，轴线相差120°； （以下所有结论均基于三相永磁同步电机）
2、忽略磁芯饱和效应，忽略涡流和磁滞损耗；
3、永磁体磁场和电枢磁场在气隙中均呈正弦分布；
4、稳态运行时，相绕组中的感应电动势波形为正弦波；
5、电机长期运行不受温度、频率影响；
6、忽略电机的高次谐波，计算时不包括转子上的阻尼绕组；
7. 忽略换相时的电枢反应。
1. 物理模型
永磁同步电机是一个复杂的系统，具有多种特性和规格，物理模型通常用材料的结构、形状、尺寸和形状来表示。
永磁电机的定子绕组在定子铁芯周围的定子槽中呈正弦分布。 三相a、b、c相距120度，在稳态运行期间产生稳定的旋转磁场。
永磁电机的转子是永磁体。 永磁体磁极的直轴d与交轴q呈90度角。 直轴d位于磁极全长磁通密度最大点，即磁极中心。 d轴和q轴固定在转子上并随转子旋转。
上图中，a、b、c为ABC静止参考坐标系（又称相位变量参考坐标系）示意图，而d、q为dq磁链旋转参考坐标系（转子参考坐标系）示意图系统）。
2、ABC静止坐标系（相位变量参考坐标系、相位变量模型）
三相永磁同步电机的三相绕组呈120°对称分布，即任意一相变量都可以建模来代表其他两相的状态。
(1)电压方程：
(1-1)
Rs 为定子绕组的电阻，ψa ψb ψc 分别为 abc 的三相磁链，ia ib ic 分别为 abc 的三相相电流。
(2) 磁联动方程：
(1-2)
Laa、Lbb、Lcc为各相绕组的自感； （该值与转子位置有关）
Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca、Mcb等为绕组间的互感； （该值与转子位置有关）
L1 是空间基本气隙产生的电感分量，L2 是转子位置取决于磁力链接产生的电感分量。
ψf 是永磁体磁链，
θ为转子N极与a相轴线的夹角（转子电角）
(3) 电磁扭矩方程：
根据机电能量转换原理，电磁扭矩等于磁场储能对转子机械角位移的偏转。
(1-3)
Pn 为电机极对数，θm 为机械角，wm 为机械角速度，we 为电气角速度（rad/s），n 为机械速度（rpm）
(4)电机机械运动方程
(1-4)
Wm 为电机的机械角速度，J 为转动惯量，B 为阻尼系数，TL 为负载扭矩。
3. α-β静止坐标系
由于abc三相静止坐标系的方程相对复杂、变量较多、耦合程度较高，因此对其进行解耦和简化。 借助虚拟两相静止坐标系，将复数abc坐标系在数学上等价于两相坐标系进行分析计算。
虚拟两相静态坐标系假设：虚拟电机有两个虚拟绕组，分布在90°轴距上，正弦分布在定子槽中。 这两个绕组分别是直轴绕组和交轴绕组感应电动势的公式，即α、β轴（有些文献中也称为D轴和Q轴，请注意与旋转坐标系的小dq不同）。
为了简化分析过程，建立α-β静止坐标系时，α轴与abc静止坐标系的a相轴重合。 （在一些参考书和文献中，α轴和a轴不重叠，存在角度θ。）
将abc静态坐标系中各相物理量fa、fb、fc分别映射到α-β轴，得到虚拟物理量fα、fβ，分别表示时变电压、电流、磁链任何双绕组虚拟电机。 。 （fα、fβ 的时间变化取决于 fa、fb、fc 的时间变化）。
从abc三相静止坐标系到α-β静止坐标系的变换称为变换，用T3s/2s表示。
ABC坐标系转α-β坐标系
其逆变换称为逆变换，用T2s/3s表示。 （推导过程请参考相关书籍和文献）
坐标系变换的核心原则是电机产生的磁动势在不同的坐标系下完全一致。
一般变换公式如下：
(1-5)
(1)电压方程：
(1-6)
(2) 磁联动方程：
(1-7)
(3) 扭矩方程：
abc静止坐标系到αβ静止坐标系的变换是在功率相等的条件下进行的，因此两个坐标系的输入功率相等，P1abc=P1αβ。
(1-8)
根据等效电路，电磁功率方程为：
(1-9)更新公式
Pn 是电机极对数。
(4)变换与逆变换：
电压、电流换算：
(1-10)
电压和电流的逆变换（反向）
(1-11)
4.dq旋转坐标系
abc坐标系转换到αβ坐标系后，模型参数仍然存在随时间变化的问题。 这些参数的变化使得控制系统的设计变得复杂。 因此，1986年，Tie提出了最常用的转子旋转坐标系，即dq坐标。 通过将模型转换为固定到电机转子的旋转参考系中的两相模型，可以补偿静止坐标系中的时间变化。
转子参考坐标系有两个固定在转子上的正交轴，包括与转子永磁体磁极的磁轴对齐的直轴（即d轴）和与直轴正交的交轴（q轴）。轴。 通常规定d轴在转子旋转方向超前q轴90°。
ABC坐标系-αβ坐标系-dq坐标系之间的关系
d轴与α(A)轴之间存在空间角θ，θ的大小取决于转子速度和起始角值。
两相静止αβ坐标系到旋转dq坐标系的系统变换可以通过将αβ坐标系的物理量投影到dq坐标轴上，然后对dq轴上的各分量进行代数求和来实现。 （具体推导请参考相关书籍和文档）
从α-β静止坐标系到dq旋转坐标系的变换称为Park变换，用T2s/2r表示。 一般变换方程如下：
(1-12)
其逆变换称为帕克逆变换，用T2r/2s表示。一般变换方程如下
(1-13)
也可以直接从abc静止坐标系变换到dq旋转坐标系，也称为Park变换，用T3s/2r表示； 一般变换方程如下：
(1-14)
其逆变换称为帕克逆变换，用T2r/3s表示。 一般变换方程如下：
(1-15)
在上式中：
(1-16)
wr 为转子转速，θ0 为初始值
在无中性点接地的三相星形连接电路和三角形连接电路中，存在fa+fb+fc=0，因此零分量f0消失。
经过一系列的变换和推导，dq坐标系下电机控制的数学方程总结如下：
(1)电压方程：
(1-17)
ψf 为永磁体磁链，ωe 为转子旋转的电角速度
(2) 磁联动方程：
(1-17)
ψf 是永磁体磁链。
根据磁链法，可以判断d、q轴上的磁链分量是由各轴上的电流分量产生的。 更准确地说感应电动势的公式，d 轴磁链取决于 d 轴电流 id 和永磁体的磁链 ψf。 ，d 轴磁链仅与 d 轴电流 iq 有关。
其中 Ld、Lq 为：
(1-18)
式中，L1表示空间中基本气隙磁链产生的电感分量，L2表示转子位置根据磁链产生的电感分量。
(3) 扭矩方程：
(1-19)
从某种意义上说，这是永磁同步电机中最重要的方程之一，特别是在电机控制方面。
从扭矩方程分析可知，电机的电磁扭矩与d轴、q轴的电流id、iq直接相关，并且与电机的四个参数（永磁体磁链ψf、d轴q轴电感Ld、Lq，电机极对数Pn)。
Ld-Lq反映了电机的凸极效应。定义ρ=Lq/Ld，ρ对电机性能起着重要作用，被视为原动机设计参数
扭矩方程包含两部分，即磁体扭矩Tm和磁阻扭矩Tr。
(1-20)
(4) dq坐标系下的稳态电压方程：去掉式1-17中的微分项
(1-21)
(5) 在稳态下，功率和扭矩方程也成立。 同时，电机的功率因数为PF=cos(φ)，φ为功率因数角，φ=γ-α，即电压矢量超前电流矢量角度差。 γ是电压矢量的角度，α是电流矢量的角度。
(1-22)