1.法拉第定性实验
法拉第给出了感应电动势的定性实验结果，伦茨于1834年给出了感应电动势方向与磁通量的关系。M.Pixii发现电磁感应现象可以引起磁体产生较大的偏转。金箔验电器。 需要指出的是，法拉第装置并不能保证磁通量的线性变化，因此需要另寻方法来求公式。
这里，我想提一下，法拉第在解释电磁感应现象的原因时，提出了一个新概念“电紧张态”。 他认为磁力线数量的变化引起了“电紧张状态”的变化。 这产生了感应电动势。
2.电动势定量表达的研究
定量公式由Weber和在1840年代基于韦伯力和电动力势证明：
1.韦伯推导出动电动势公式
韦伯将韦伯力所做的功转化为电磁感应电能，推导出动电动势的表达式（韦伯力是韦伯根据库仑定律和原始安培公式导出的带电粒子之间的电磁相互作用）。 但后来发现，原来作为韦伯力公式基础的安培公式是错误的。 为了解释霍尔效应，最终确定磁力不是像麦克斯韦所说的那样作用在载流导线上，而是作用在电流上。 同时感应电动势和感应电流，罗兰的转盘实验表明，移动的电荷可以产生磁场，满足安培定律。 因此，确定电流的本质是导体中电荷的定向运动引起的，那么安培力的微观本质就是运动的电荷。 由力引起（虽然之前也有关于带电流体和带电粒子的假说，但直到罗兰的实验后才真正得到证实）。 因此，qv 和Idl 在磁意义上是等价的。 尽管最初的安培力公式可以解释长直导线和闭合导体的磁力，但永远无法找到孤立的电流元件。 但在发现阴极射线之后，安培公式可以通过测量两个带电粒子之间的磁力来检验，但最终安培原来的安培公式并没有得到满足。 相反，带电粒子之间的磁力是横向力，即电流元件之间的磁力应该是横向力。 一般来说，真正符合洛伦兹力公式F=qvtimes B的是德国物理学家1846年提出的力公式，即F=Idltimes B
因此，现在一般采用洛伦兹力公式来推导动电动势。
2.纽曼感应电动势公式
纽曼（）根据最终导致感应线圈产生感应电流时遇到电阻的相互作用能的变化，推导出感应电动势的公式。 但纽曼的问题是电动势和电动势之间不存在真正的关系。 因此，纽曼虽然提出了公式，但还需要进一步的实验检验。 下面介绍纽曼的证明。
证明：
根据毕奥-萨伐尔定律，线圈的磁感应强度为：
B=ki'int_{l'}^{}frac{dl'×e_{r}}{r^2}=ki'int_{l'}^{}(▽×frac{dl'} {r})=k▽×(i'int_{l'}^{}frac{dl'}{r})
根据安培定律，感应线圈受到感应线圈的力和扭矩。 诺依曼将感应线圈视为由许多磁性分子组成的磁壳。 每个磁性分子的磁矩为dM=idS，S为线圈面积，i为感应线圈的电流强度。 这些磁性分子在受到感应线圈作用时的相互作用能为：
dU_{i}=B·dM=iB·dS
积分可以得到两个线圈的总相互作用能：
U_{i}=iint_{S}^{}B·dS
并且因为向量公式
frac{e_{r}}{r^2}=-▽frac{1}{r}
U_{i}=iint_{S}^{}B·dS =ki'iint_{S}^{}int_{l'}^{}frac{dl'×e_{r}}{ r^2}·dS =ki'iint_{S}^{}int_{l'}^{}(▽×frac{dl'}{r})·dS
根据斯托克斯公式：
U_{i} =ki'iint_{l}^{}int_{l'}^{}frac{dl'·dl}{r}
诺伊曼将电动势 A 定义为（对于 cgs 电磁单元系统 - emu）：
A=i'int_{l'}^{}frac{dl'}{r}
那么对于cgs电磁单元系统，磁感应强度可写为：
B=▽×(i'int_{l'}^{}frac{dl'}{r})=▽×A
诺依曼假设感应电动势与 i'int_{l}^{}int_{l'}^{}frac{dl'·dl}{r} 的时间变化率成正比
因此，考虑楞次定律，感应电动势的公式具有以下形式，并带有负号： E=-frac{d}{dt}i'int_{l}^{}int_{l'} ^{} frac{dl'·dl}{r} =-int_{l}^{}frac{ A}{ t}·dl =-frac{ }{ t}int_{ S}^ {}▽×A·dS =-frac{d }{dt}int_{S}^{}B·dS
综上所述，E=-frac{dPhi}{dt}
可见，这就是法拉第电磁感应定律的公式。 麦克斯韦看到诺依曼的推导后，直接将矢量势A与法拉第的电紧张态联系起来，并称A为电紧张函数。 麦克斯韦提出涡旋电场假说后，涡旋电场进一步与矢量势A相关，因为涡旋电场正好等于矢量势随时间的变化率，即电张力随时间的函数。
3.亥姆霍兹电磁感应定律的推导
亥姆霍兹发现法拉第的电磁感应现象可以从能量守恒原理推导出来，亥姆霍兹的研究成果在他的论文《论力守恒定律》中给出。 继亥姆霍兹之后，威廉·汤姆森也采取了类似的方法。 然而，亥姆霍兹没有实验依据来相信电磁感应能量是守恒的。 此外，亥姆霍兹忽略了电流或动能的变化。 但让我们介绍一下亥姆霍兹的方法。
证明：
亥姆霍兹考虑了电路 1，其中总电阻为 R，电流为 i，电池电动势为 A。
该电路1与另一电路2之间存在相互作用的磁力，使得两者之间存在势能U，从而存在磁势V，满足V=U/i。 显然，这个势能就是纽曼所说的 ii'int_{l}^{}int_{l'}^{}frac{dl'·dl}{r}，所以 V=i'int_{ l} ^{}int_{l'}^{}frac{dl'·dl}{r} 。 根据纽曼的上述研究，磁势V的变化率就是磁通量的变化率。
当认为感应电流I没有明显变化时，因为di
dU=Vdi+idVidV
那么根据能量守恒定律，当电路2运动而电路1静止时，亥姆霍兹认为电路1中电池的能量转化为热能和磁能。 根据焦耳定律，列出方程：
AIdt=I^2Rdt+Ifrac{dV}{dt}dt
那么整理之后就变成了：
IR=A-frac{dV}{dt}
根据闭合电路的欧姆定律，电路1的总电动势为：
E=A-frac{dV}{dt}
若电路1为无电池的感应电路，则电池电动势A=0
因此，E=-frac{dV}{dt}
进一步论证：
根据纽曼的研究，dV/dt 为 dΦ/dt
这样我们就得到了法拉第电磁感应定律的形式：
E=-frac{dPhi}{dt}
问：但是，白碧太忙了，不相信电磁感应能量是守恒的。 亥姆霍兹没有实验基础。 而且，亥姆霍兹和开尔文都没有考虑两个线圈之间的动能和电流的变化。 因此有必要进行进一步的研究。
（通过能量守恒定律来研究电磁感应定律其实还有很多内容，将在第四部分讨论）
事实上，后来有很多科学家针对电动势公式设计了定量实验，比如比萨的费利西教授。 费利西教授1852年的实验被写入麦克斯韦的《电磁学通论》。
三、教授的实验 1.实验内容及初步结果
实验装置：如图所示，将三个面积相同的感应线圈：线圈1、线圈2、线圈3相互串联，然后另选一个并联电路。
电磁学一般理论实验电路图
实验电路图
首先将并联电路的主线绕在线圈3内感应的密绕电磁铁上，使电流方向为逆时针方向； 将并联电路的支线绕在线圈1内感应的密绕电磁铁上，使电流方向为顺时针方向； 最后将并联电路的另一支线绕在线圈2内感应的密绕电磁铁上，使电流方向也为顺时针方向；
分析： 1、这样，线圈1和线圈2的感应电磁铁所绕的线圈电流方向相同，因此感应电磁铁产生的磁场方向也相同：因此，此时当并联电路开关闭合时，线圈1和线圈2的磁通量沿相同方向变化。 根据楞次定律，线圈1和线圈2的电动势方向相同，
2、线圈1和线3的感应电磁铁所绕的线圈中的电流方向相反，因此感应电磁铁产生的磁场方向也相反：因此，在并联电路开关接通的瞬间闭合时，线圈1和线圈3的磁通量变化方向相反。 根据楞次定律，线圈1和线圈3的电动势方向相反，
3、由于主回路电流等于各支路电流之和，所以“绕在线圈1内的电磁铁上的支路电流”加上“绕在线圈2内的电磁铁上的另一支路电流”就等于“缠绕在 3" 线圈内的电磁铁上的干电路电流。 根据毕奥-萨伐尔定律，磁感应强度与电流强度成正比。 并且由于线圈面积相同，磁通量与电流强度成正比，因此线圈1内部的磁通量加上线圈2内部的磁通量等于线圈3内部的磁通量。因此，此时线圈1内部的磁通量加上线圈2内部的磁通量等于线圈3内部的磁通量。并联电路开关闭合感应电动势和感应电流，线圈1内磁通的变化率加上线圈2内磁通的变化率等于线圈3内磁通的变化率。
实验现象：在开关闭合的瞬间，电流表的偏转为0，即电路a中的总电动势为0。
结果分析：当磁通量变化时，线圈1、2、3会产生感应电动势。 根据前面的分析，我们可以知道，线圈1的电动势Eleft(frac{dphi_{1}}{dt}right)与线圈2的电动势Eleft( frac{dphi_{2}}{dt} right) 具有相同的方向。 线圈 1 的电动势 Eleft( frac{dphi_{1}}{dt} right) 与 电动势 Eleft( frac{dphi_{1}}{dt}线圈3的+frac{dphi_{2}}{dt} right)方向相反（注意括号内的磁通变化率只代表绝对值，电动势只代表大小，不代表电动势大小）方向）。 根据电路总电动势为0以及电动势的方向关系，可得：
Eleft( frac{dphi_{1}}{dt} right)+Eleft( frac{dphi_{2}}{dt} right)-Eleft( frac{d phi_{1}}{dt} +frac{dphi_{2}}{dt} right)=0
所以 Eleft( frac{dphi_{1}}{dt} right)+Eleft( frac{dphi_{2}}{dt} right)=Eleft( frac{ dphi_{1}}{dt} +frac{dphi_{2}}{dt} right)
因此，感应电动势的大小和磁通量变化率的大小满足可加性，因为满足可加性，并且因为函数 Eleft( frac{dphi_{} }{dt} right) 它们只代表大小，所以自变量和因变量都大于等于0，所以函数Eleft( frac{dphi_{}}{dt} right) 满足下一节中柯西方程的解。
2.柯西方程的解
定理：柯西方程f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})， x∈R_{+}vee {0}，以及函数值大于或等于 0，则柯西方程的解必定是比例函数。
证明： (i) 对于 f(na)， (n∈N_{+}wedge a∈R_{+}) ，因为 f(1·a)=f(a)
若f(ka)=kf(a)，则根据柯西方程f[(k+1)a]=f(ka)+f(a)=kf(a)+f(a)=(k+ 1)f(a)
根据数学归纳法f(na)=nf(a)，(n∈N_{+}楔a∈R_{+})
(ii) 对于 f(frac{n}{m}a)，(n,m∈N_{+}wedge a∈R_{+}) ，因为 f(frac{n}{m}a)= f(nfrac{a}{m})=nf(frac{a}{m})
又因为 f(a)=f(mfrac{a}{m})=mf(frac{a}{m})，因此 f(frac{a}{m})=frac{1} {m}f(a)
因此 f(frac{n}{m}a)=nf(frac{a}{m})=n(frac{1}{m}f(a))=frac{n}{m} F A）
(iii) 若0≤a≤b，则f(b)=f(a)+f(ba)且ba≥0，故f(ba)≥0
也就是说f(b)≥f(a)，所以f(x)是单调递增函数
一、对于f(0)=f(0)+f(0)，故f(0)=0=0·f(1)
二. 对于任何正有理数frac{n}{m}，f(frac{n}{m})=frac{n}{m}f(1)
三． 对于任何正无理数 α，对于任何正整数 n，0">frac{1}{2^{n}}>0
根据阿基米德定理，存在一个自然数 fn 使得 frac{f_{n}}{2^{n}}leqalpha