前面已经说过了
建立对计算电磁学更加“系统”的理解，将有助于电磁CAEer站在更高的视角，审视我们平时使用的各种电磁CAE软件以及适合不同计算场景的各种电磁应用。 计算算法，这一直是作者希望做但还没有做的事情。 直到去年笔者看到胡军教授在“电子波传播年会”上发表的会议报告，记忆不由得被拉回到8年前的“计算电磁学”。 在课堂上，笔者始终对他“清晰的叙述逻辑、缜密的推理过程、谦逊温和的语气”印象深刻。 我觉得通过这个视频来系统回顾一下电磁计算方法的发展是非常有意义的。 追踪这些计算电磁学巨头的研究足迹，了解这段波澜壮阔的历史，将是非常有意义的。
全文的编写主要依据胡军教授的会议报告和金建明教授的著作《计算电磁学（第二版）》。 胡军教授会议演讲视频如下：
金建明，伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校（UIUC）电气与计算机工程学院罗元智讲席教授，IEEE电磁学实验室和计算电磁学中心主任。 着有《The in, Third》和《and in》； 他与人合着了《of》、《of and》和《Fast and in》，并被 ISI 列入高被引作者名单。 作者之前关于计算电磁学的文章还包括《计算电磁学》一书的参考译文。 全书体系完整，层次清晰，文字简洁，可读性好。
文章附件提供了全文涵盖的各种电磁计算方法的“经典专着”和“开创性著作”，方便有兴趣进一步探索的读者深入学习。 点击文末“阅读原文”自行下载。
文本
自从麦克斯韦方程组建立以来，一百多年来，求解已知激励和特定边界条件下的麦克斯韦方程组一直是人们最关心的问题之一。
围绕麦克斯韦方程组的解，无数科研人员努力奋斗，才成就了计算电磁学现在的面貌。 发展历程大致可分为四个阶段：
一
第一阶段：分析方法
对于结构形式简单的模型，依靠高超的数学技能，根据方程和边界条件，可以计算出空间场分布，即解析解。 它的优点是结果是经过严格的数学推导，结果完全正确，没有错误。 因此，它可以作为验证各种计算方法正确性的标准。 在RCS测试中也常被用作校准体，对测试系统进行校准。
1908年，米氏通过均匀球体给出了平面波散射的严格解（米氏理论）。 具体理论推导可参考蒋昌银1996年发表在《无线电波科学学报》上的论文。
利用CST仿真软件的时域求解器()计算球的宽带单站RCS：球的半径为50mm，计算频率为0.1GHz~20GHz，参考文献对求解结果进行划分： 1）0.1GHz~1GHz频段，波长远大于球体半径，为瑞利区。 此时，单站RCS随着频率的增加而迅速增加； 2）在1GHz~10GHz频段，波长相当于半径，即米氏区，单站RCS随频率增加而增大。 频率增加并呈现振荡波动； 3）10GHz~，波长远小于半径，为光区，单站RCS随频率变化基本稳定。
采用FEKO仿真软件计算金属球在单频点（10GHz）下的两站RCS。 两站RCS的分布形式与之前文章介绍的阵列天线的方向图有些相似，但与感知上的感知有所不同。 ，其最大散射方向不是向后，而是向前，即与入射电磁波方向相同。 这就是科幻小说《三体》中利用太阳作为无线电放大器的理论依据吗，哈哈。
“收敛”的由来——方程与解”，正如《方程与解》中提到的，球体等规则形状的目标，借助高超的数学技巧，仍然可以进行解析计算。但是，一旦模型的形状发生变化，复杂的形状会带来复杂的边界条件，导致方程组无法解析求解。
二
第二阶段：近似方法
在那个“计算能力”尚未发达的时代，无法实现“全波模拟”这样的精确计算方法。 近似方法因其“计算能力要求”较低而被广泛使用，其中几何光学算法（GO）和物理光学算法（PO）应用最为广泛。
GO（几何光学）
几何光学的基本思想是基于：高频电磁波的传播与光的传播类似，因此可以通过光线追迹（Ray-）来解决波的传播问题，从而使得场的振幅可以根据波前表面的形状来确定。 显然，采用几何光学方法，阴影区域的场完全为零，而照明区域的场是单独的入射场或入射场与反射场的叠加。 完全忽略物体边缘和割理的衍射场，总场有两个非物理不连续点：一个在亮区和阴影区的边界处（称为入射阴影边界，ISB），另一个是边界反射区域和反射无法到达的区域（称为反射阴影区域，RSB）之间。
入射场和反射场可以通过以下公式获得：
入射场和反射场是否设置为零取决于系数和的值：
GTD（衍射几何理论）
我们可以在几何光学的解中加入衍射场，以提高几何光学解的精度，从而产生了衍射几何理论（GTD）。 GO 的修改衍射线在结构不连续性和材料不连续性处以及当电磁波入射到光滑凸表面时产生。 主要有以下几种集中类型：
UTD（均匀衍射理论）
导出的 GTD 理论在亮区和暗区边界两侧的过渡区域失效。 如图所示，以无限导带的散射为例，根据GTD理论，在两个边界处会发生无限散射。 该场与客观事实不符，但UTD通过引入比例系数将过渡区的场控制在有限范围内，计算精度更高。
PO（物理光学）
另一类高频近似技术从物理光学（PO）出发，将电大导体亮区表面的感应电流密度近似为 ，而暗区的电流密度近似为 。 然后根据源场关系可以得到自由空间中的场分布：
物理光学算法广泛用于计算反射面天线的辐射特性。 馈源采用全波算法，反射面采用PO算法。 两种算法混合使用，对于电学大尺寸的反射面可以快速得到相对准确的计算结果。
PTD（衍射物理理论）
物理光学理论（PO）近似忽略了几何不连续性对感应电流的影响，因此近似的感应电流在亮区和暗区的边界处存在不连续性。 这种不连续性会影响计算结果的准确性。 通过在电流中加入非均匀边缘电流来提高物理光学的计算精度。 这个想法导致了衍射物理理论（PTD），详细内容可以阅读Petr教授的书《论》。
世界著名的第一架隐身战斗机F-117的隐身设计就是基于这一理论。
SBR（和光线弹跳光线算法）
结合几何光学和物理光学的方法，开发了一种强大的算法来计算大规模复杂目标的电磁散射。 这种混合技术称为弹跳射线 (SBR) 方法。 在此方法中，源自源的入射波由指向物体的射线簇表示。 当每条光线反弹时，都会跟踪其相关的振幅和相位，并且反弹过程由几何光学控制。 应用物理光学方法在射线与目标的每个交点处进行积分，以确定射线对散射场或辐射场的贡献。 最终的解是所有光线贡献的总和。 该算法已实现并广泛应用于计算雷达散射特性、大型平台上天线的辐射特性以及复杂城市环境中的电磁波传播。
依靠CST软件（渐进式求解器）的SBR算法，使用个人笔记本电脑（8GHz内存）即可完成电尺寸为200倍波长的按比例缩小的船模散射特性的计算。 计算效率可以说是相当高了。
三
第三阶段：数值方法阶段
随着电子计算机“ENIAC”的诞生以及随后“计算能力”的快速发展，基于“数值计算”的全波分析方法也迎来了爆发式发展。 其中时域有限差分算法（FDTD）、有限元算法（FEM）和矩量法（MOM）最为完善，已成为三种最主流的电磁数值计算方法。
FDTD（时域有限差分）：
1966年，加州大学伯克利分校的Kane S. Yee教授发表了一篇关于基于交替网格的有限差分方程的论文。 1980年，该方法被命名为FDTD，全文被引用达8000次。 其离散对象直接是时域微分形式的方程组：
FDTD使用的离散形式也是最简单的立方网格，每个立方网格是一个Yee单元。
每个细胞上的电场和磁场可以在笛卡尔坐标系中分解为三个方向分量 、 和 。 上述向量形式的方程可以展开为标量形式的方程：
从标量形式方程可以看出，该方程包含了电场和磁场分布函数的时间微分运算和空间微分运算。 以电场为例，其中 代表时间的微分运算， 代表空间的微分运算，其中 和 ，最终都可以分解为 、 的组合，这四个微分运算可以用下式来描述：一般表达式，可以近似为简单的微分形式：
利用这种近似运算，可以将电场对时间的微分运算转化为前一时刻的电场与下一时刻的电场之间的运算关系。 类似地，电场E的空间微分运算转化为前一位置的电场与后一位置的电场之间的运算关系。 因此，只要给定电磁场的初值和（初始条件）和边界值和（边界条件），即根据差值关系，通过不断循环迭代，得到电磁场的和与和可以求解任意时间、任意位置的电磁场分布。
想要进一步了解FDTD的读者可以阅读IEEE和西北大学教授Allen所著的教材《：The-Time-》。 教材位于《The》第629~670页（见附件）。
MOM（矩量法）：
矩量法的基本数学概念最早于20世纪初提出。 直到20世纪60年代中期，KK Mei教授等研究人员将其引入电磁学数值计算中，才逐渐引起广泛关注。 1968年，教授在其开创性的专着《Field by》中对矩量法进行了统一的解释。 此后，矩量法得到进一步发展并广泛应用于解决各种重要的电磁问题。
FDTD 和 FEM 的控制方程都是基于微分形式的方程。 它们的特点是： 1）通过直接求解“场”（电场或磁场）满足的方程来获得电磁场在空间的分布； 2）求解对象为“微分型”方程。 MoM 基于完全不同的解决方案理念。
MoM算法理论主要分为两部分：一是矩支持理论方法，主要包括“格林函数”、“源场关系”和“等价原理”三个子理论。 它们使得 MoM 算法如此独特。 根本原因； 另一种是矩量法的计算理论，主要包括建立控制方程->离散化->匹配->矩阵求解四个步骤，与FEM或FDTD算法的求解过程没有明显区别。 作者在之前的文章《作为CAE设计师，你需要了解计算电磁学吗？》中详细演示了详细的推理过程。 这里不再重复。
FEM（有限元）：
1969年，PP利用有限元方法分析了空心波导中的波传播。 这是有限元方法首次应用于微波工程和电磁学领域。
有限元方法基于频域方程，其求解的对象是时谐电磁场。 即电磁场在时间维度上呈周期性分布，周而复始，无始无终。 时间变量自然就失去了意义，电磁场只是空间变量。 分配功能：
它采用拟合效果较好的四面体网格来分割解区域体积。
求解完空间离散化后，下一步就是对空间中待求解的电磁场分布进行离散化。 核心思想是找到一组扩展未知解的基函数：
其中 是第 j 条边的切向分量， 是要查找的切向分量， 是相应边上的相应基函数。 一旦解决了所有未知量，整个空间的电场分布就解决了。 这类似于使用三角函数来展开傅立叶级数中任何形式的周期函数。 需要做的就是求解每个基函数先前的系数。 然而，对于形状不规则的电磁问题，找到这样的基函数是极其困难的。 甚至不可能。 有限元方法的做法是将目标离散成小单元（三角形、四面体），然后使用非常简单的线性函数或二次函数来逼近该单元上的未知解。 这些简单的基函数就是子域基函数，与上面提到的傅里叶级数展开中的全局基函数有很大不同。 利用有限元对目标进行离散化，根据空间Ω中电场E满足的波动方程以及边界Γ上满足的边界条件，建立子域基函数系数满足的方程组：
该方程的未知量是子域基函数的系数，所有未知量均已求解。 整个空间的电场分布可以表示为子域函数的叠加。
想要进一步了解FEM算法的读者可以进一步阅读金建明教授的书《The in》或者John L.教授的书《For》。
四
第四阶段：快速计算
传统数值方法（FEM/FDTD/MOM等）精度较高，但对于复杂电大目标，需要大量未知量进行离散化，计算存储量巨大，效率低下。 高频逼近方法（GO/GTD/UTD/PO/PTD等）要求存储容量低、计算速度快，但精度很难满足要求。
寻找准确、高效的数值建模方法是计算电磁学领域备受关注的重要课题。 直到世纪之交，快速算法的出现及其随后的快速发展大大降低了计算的复杂度和存储量。 由于电子科技大学胡军教授的电磁辐射/散射研究团队主攻“积分方程方法”，因此会议报告中“快速算法”的一些进展主要围绕“积分方程”展开。 积分方程法的主要特点是：
根据求解方法，快速算法可分为迭代求解技术和直接求解技术。 迭代求解技术速度较快，但在处理病态矩阵时会出现不收敛问题。 直接求解技术不存在收敛问题，适合处理多个右手项。 问题。
FMM（快速多级）：
FMM（快速多级算法）最初是由耶鲁大学教授提出的，用于快速求解粒子之间的相互作用和静态方程。 后来，WC Chew教授引入了计算电磁学，大大降低了计算复杂度和内存消耗。 随后，我国聂在平教授领导的团队在该领域独立率先取得突破。
在矩量法中，矩阵向量积的计算可以等价地视为计算多个电流单元的自作用和相互作用，即计算每个电流单元辐射并被所有电流单元接收的场。 快速多级的基本思想是基于：首先将当前元素按照其在空间中的位置分为若干组。 每组都是相互相邻的当前元素的集合。 然后，根据加法定理，将组中不同的当前元素从不同的中心分离出来。 发射的辐射场转变为从公共中心辐射的场。
作为一名 CAE 设计师，您需要了解计算电磁学吗？ 从图中可以看出《》中“跨省快递”的类比：快速的多级子算法大大减少了单元之间耦合的计算量。
CG-FFT（共轭梯度快速傅立叶变换）：
历史上为计算电磁学开发的第一个快速算法是共轭梯度快速傅里叶变换方法，由于其简单性，该方法至今仍然是最有效的快速算法。 该算法的核心思想是将矩量法的矩阵分解为近相互作用和远相互作用两部分。 这个思想和后来的fast subon有着相同的核心思想。
关于共轭梯度快速傅里叶变换算法（CG-FFT）更深入的数学推导，受限于作者目前的认知水平和精力电磁学发展史，暂时只能留下相关的研究著作和参考文献。 互相鼓励，满足进一步深入学习的需要。
以上简单介绍了两种基于迭代求解技术的快速算法。 有关直接求解方法和其他“快速算法”研究方向的更多信息，可以进一步阅读《The IEEE》杂志2013年第二期关于“快速算法”的专刊，其中介绍了当前快速算法的研究现状进行了系统的讨论和论证。 文末附件摘录了部分文章供阅读。
延伸：基于积分方程的方法的一些最新进展
由于胡军教授的研究团队主要致力于“积分方程法”的研究，目前电磁计算的前沿研究“延伸”主要集中在积分方程法（IE）。
随着电磁计算方法的日益广泛应用电磁学发展史，所面临的求解问题也越来越复杂。 复杂目标电磁建模面临的困难主要分为以下几个方面：
针对这些问题，主要研究思路是：1）发展区域分解方法； 2）开发直接求解器...
DDM（域分解算法）
2013年，IEEE学生、俄亥俄州立大学教授Jin-Fa Lee发表论文《A for Wave From》，并于次年获得“最佳论文奖”，引发了一阵热潮。积分方程研究。 领域分解方法（IE-DDM）的研究动态。
传统的积分方程方法（ ），例如我们在FEKO仿真软件中使用的矩量法（MOM）或者基于其改进的多层快速多级子算法（MLFMM），由于需要保持网格在边缘上不会有电荷积累，所以对网格的要求是必须是共形的，即所有细分单元必须共享边缘。 这就是为什么当使用 FEKO 细分接触模型时，需要并集以确保相邻模型集成并保持保形条件。
网格共形的要求在处理一些“多尺度问题”（既包括精细结构，也包括平面结构）时会带来很大的麻烦：如下图所示，尖点模型的示意图，如果需要的话更好的贴合头部的形状（精细结构），细分尺寸会小，根部平坦区域的网格会显得太密，网格数量会多。 如果按照根部平坦区域设置细分大小，则网格在拟合头部区域时会造成网格扭曲，影响计算精度； 同时，模型表面网格尺寸增长过快也会导致矩阵性能恶化，导致收敛不良。
IE-DDM的思想是根据细化程度对模型进行分类。 不同的地区按照不同的划分规模划分，分别计算，分而治之。 需要克服的主要困难是解决栅极不连续处的电荷积累问题。 具体的理论推演可以阅读振鹏的原文，这里不再赘述。
文章中，作者挑战了F-16战斗机的电磁计算问题，其中包括天线罩、机载天线、进气道、挂载武器等各个部件，使得积分方程变得更加麻烦。 分别计算了战斗机在3GHz和10GHz频率下的表面电流分布。
（直接求解法）
围绕“积分方程”方法，提出了两种求解思路，一种类似于上述共轭梯度快速傅里叶变换算法和快速多级子算法的迭代求解方法。 此类方法计算速度快、内存消耗小，是大多数电磁计算问题的最佳选择。 但不适合以下情况：
当遇到这些场景时，高效的直接求解算法可能是更好的选择。 直接求解法围绕散射矩阵直接进行计算，因此不存在收敛问题。 对于有多项右手项的问题，只需要计算一种状态，其余的状态就可以快速给出。 因此，当状态较多时，这是一个很好的解决方案。 选择。
针对“传统直接求解算法”矩阵计算速度过慢、内存消耗过大的问题，开发了高效的直接求解算法。 它们通常基于低阶压缩。 主要方法有：
由于详细介绍不是笔者了解的领域，所以暂时不展开，留下一些相关参考资料以供后续深入学习。
总结
参考电子科技大学胡军教授的会议演讲视频和UIUC金建明教授的《计算电磁学》一书，完成了《电磁计算方法的发展与展望》一文。 希望通过这篇文章，能够帮助读者更加系统的学习。 了解计算电磁学的发展历史和主要算法的核心概念； 另一方面，对各种电磁计算方法的开创性作品和经典专着进行了整理，这是一个促进那些有兴趣更快加深相关主题的人的入口处。