夏天外出就餐时，苍蝇常常不请自来。 打苍蝇是一项技术活，因为苍蝇的飞行轨迹非常奇怪，人类仅凭双手很难找到目标。
那么问题来了，苍蝇为什么会飞来飞去呢？
你可能不知道，像这样飞来飞去的苍蝇实际上利用了强大的数学原理，使它们的飞行轨迹难以捉摸，避免被击中。 这种数学原理称为莱维飞行。 Lévy航班航线图如下：
莱维飞行是一种分形，这意味着无论放大多少倍，它看起来仍然与原始图案相似。 更重要的是，莱维的飞行是随机游走，这意味着它的轨迹无法准确预测，就像苍蝇的步伐一样幽灵般。 显然，莱维飞行可以帮助苍蝇避开捕食者和人类试图将它们的小脑袋敲扁的情况。
2008年，东京大学生物学家团队发现家蝇（Musca）的飞行路线属于Lévy飞行。 不仅是家蝇，家里常见的果蝇也是“Lévy Flyer”。 例如，果蝇 ( ) 经常沿直线飞行并快速 90 度转弯。 他们的飞行轨迹是正列维飞行图——
我们在中学时就知道一些微小的粒子具有布朗运动。
虽然布朗运动也是随机游走，但列维飞行与布朗运动不同。 布朗运动有一个特点，就是每一步的步长都集中在一个区域内，图上就是一条钟形曲线——
利维飞行的情况并非如此。 由于它是一个以长程跳跃为特征的具有马尔可夫性质的随机过程，因此当|X|→无穷大时，它具有长尾渐近形式。
也就是说，对于Lévy飞行，粒子在某些区域偶尔会发生长距离跳跃，噪声驱动方程、分数阶方程和跳跃距离都可以作为Lévy分布的CTRW理论。
在连续时间随机游走框架中，如果将等待时间分布取为泊松分布
跳跃距离分布取Lévy分布，其长尾渐近形式为
变换等待时间分布 ω(t)
以及跳跃距离分布λ(x)的变换形式
将概率分布函数p(x,t)满足的方程代入-空间，可得
在
通过逆变换，可以得到概率分布函数p(x,t)的特征函数以及p(k,t)的表达式
上式是中心对称Levy分布的特征函数。 利用Fox函数，粒子在坐标空间中的概率分布函数可以写为
由上式，我们可以得到幂律形式的渐进式
因此，其空间分布的二次距离是发散的。
可见，莱维飞行在很多不同领域都能“得心应手”、“适用”。
例如，当水从水龙头中滴落时，两滴水之间的时间差是莱维飞行； 健康心脏两次跳动之间的差距，甚至股市的走势，都是莱维飞行。 人类旅行的分布、地震行为的某些方面，甚至等离子体的碰撞动力学都可以在微观层面上使用。
比如下图是西班牙某股票价格与西班牙股指的关系——
在注意到莱维飞行在出了名的不可预测的股票市场中的应用空间后，金融科学家开始利用莱维飞行来研究金融市场。 最后，你可能想问，列维飞行和布朗运动有什么区别，它们有什么用？ 莱维飞行和布朗运动步长的不同性质直接导致莱维飞行比布朗运动更有效率。 当行走相同步数或距离时，Lévy飞行位移比布朗运动大得多，可以探索更大的空间。
布朗运动（左）和列维飞行（右）的效率比较。 显然，莱维飞行覆盖的区域更大，距离和步数更少，这对于需要在未知领域捕猎的生物至关重要。 果然，发现莱维飞行的法国数学家、 （B.）的导师保罗·莱维（Paul Lévy）是第一个发现生命的许多随机运动属于莱维飞行的人，而不是像分子那样的布朗运动。
例如，当鲨鱼等海洋掠食者知道附近有食物时，它们就会使用布朗运动。 因为布朗运动有助于椎间盘打开并清除一小部分隐藏的食物。 但当食物不足、需要开辟新领地时，海洋捕食者就会放弃布朗运动，而采用李维飞行策略。
2008年，英国和美国的一个研究小组在《》上发表了一项研究。 他们给大西洋和太平洋的 55 种不同的海洋捕食者（包括丝鲨、旗鱼、蓝马林鱼、黄鳍金枪鱼、海龟和企鹅）佩戴了追踪器，以追踪它们在 5,800 天的活动。
在对它们的动作进行了 1200 万次分析后，研究人员发现，当食物匮乏时，大多数海洋掠食者更喜欢利维特式的动作。 更有趣的是，磷虾等猎物的分布也符合莱维飞行的特点。
不仅如此，变形虫、浮游生物、白蚁、熊蜂、大型陆生食草动物、鸟类、灵长类动物、原住民在土壤中觅食时所采取的路线也有类似的模式。 李维斯的飞行似乎是一种生物资源。 在稀缺环境中生存的共同规则。
黑眉信天翁（黑-）的Lévy飞行模式图其实，对于流浪动物来说，找到下一顿饭不仅取决于运气，还取决于高等数学。 在几乎不了解猎物分布的情况下，莱维飞行的效率远高于布朗运动，这可能就是它们在碰碰运气时都会切换到莱维飞行模式的原因。 因此，后来生物学家提出了莱维飞行觅食假说（Lévy's），用来概括动物听天由命时的撒娇动作。 不要以为人类的行为能够逃脱莱维飞行的控制。 在这个世界上布朗运动是什么运动，大多数国家大多数人的生活轨迹都是布朗运动。 虽然没有办法摆脱世界瞬息万变所带来的随机性，但至少在某些时间段内，有目标、有方向、有速度，长距离直线移动是可能的。 那么，可以说，少数成功精英的运动轨迹就是李维运动。 当然布朗运动是什么运动，我们的购物轨迹也属于Lévy航班。
回想刚刚过去的双十一，购物者在购物时的随机选择，意味着我们最终的产品无法准确预测，而是具有巨大的偶然性、大规模的搜索和折线。 急转直下让我们获得了更多的信息和视野，获得了更多的选择。 这时候，你是不是想问，从我们手中出来的白色人民币是否也具有莱维飞扬的特征呢？ 1997 年，程序员 Hank Eskin 想知道所有的钱都去哪儿了，所以他建立了一个名为 的网站。 在上述网站中输入钞票上的序列号和当地邮政编码，即可追踪钞票的动向。
一些爱好者甚至制作了该网站的邮票，贴在钞票上（红色），以鼓励大家使用该网站。 用户通过在网站上输入当地邮政编码、纸币序列号等信息，即可追踪手中美元的生活史。 同时，这条法律也被认为适用于流行病的传播。 德国柏林洪堡大学的物理学家德克和他的同事在研究传染病时注意到了这个网站。 他们认为传染病的传播途径与纸币类似，因此调用该网站的数据进行分析。
在分析了46万张钞票的轨迹后，他们证实了自己的怀疑：传染病的传播和钞票的传播一样，符合莱维的飞行特征。 他们在2006年发表了这项研究，这一发现与当时的主流流行病学理论相反（主流流行病学理论认为每个人都有相同的感染概率），但莱维飞行却能够预测疾病的传播（比如SARS）比传统理论更好。 所以现在很多疫情机型都在应用Lévy飞行。
没想到逛街的小偷和满天飞的苍蝇是一样的。
我明白了，捡起硬币需要布朗运动，扔硬币需要利维飞行。