历史上，古希腊数学家阿基米德是第一个计算出球的体积和表面积公式的人。
阿基米德的结果记录在他的两卷本《论球体和圆柱体》的第一卷中，可以简单地表述为：
球体与其外接圆柱的体积之比和表面积之比都等于三分之二。
据说阿基米德希望将这一自豪的发现刻在他的墓碑上。
本文介绍阿基米德求球面积和球冠公式的方法。 适合中学生阅读。
(1)直圆锥的边面积
初中数学中，我们已经学过圆锥体的边面积公式。
使用展开图，我们可以看到直圆锥的边面积等于
其中 是基圆的半径， 是母线的长度。
此外，很容易得到直圆锥的边面积公式。
截锥体和相关锥体的轴向横截面
命题是直圆锥的侧面积等于
其中 是上、下基圆的半径阿基米德公式， 是母线的长度。
证明：用平行于底面的平面从大直圆锥上切下小直圆锥，得到直截圆锥。 因此，直立圆锥的侧面积等于两个直圆锥的侧面积之差。
假设大、小锥体的基圆半径分别为母线长度阿基米德公式，则有 和
由于三角形相似，我们有
所以得到
这就证明了这个命题。
(2)旋转体侧面面积
如图所示，圆弧绕直径旋转，得到球冠。
我们的目标是求出这个球冠的面积
为此，首先找到特殊旋转体的侧面区域。
对于任何等分弧的弧，令分界点依次为
则有弦长相等的方程：
对称地，圆弧的分点按顺序划分：
折线绕直径旋转，所得曲面的面积记为
引理 该旋转面的面积
证明：求的面积是一些截锥体（圆锥体、圆柱体）的侧面积之和。
根据上一节的命题，我们得到
单独移交
单独移交
由一系列相似的三角形
得到比例公式
根据组合定理，我们得到
所以
这就证明了引理。
俗话说：它们分别称为球冠的斜边和高。
(3)球冠面积
阿基米德利用穷举法（古希腊数学中的一种特殊极限理论）严格证明了：
当面积极限等于
使用上一节中的符号，应该有
由引理，我们直接得到
这个结论可以表示为
定理1 球冠的面积等于球冠的高度、直径和圆周率的乘积。
进一步，我们得到
定理2 球冠的面积等于以斜边为半径的圆的面积。
在同一讨论中，给出了球体面积的公式。
定理3 球体的面积等于球体大圆面积的四倍。
(4)由球体面积计算体积
众所周知，圆的面积公式可以由圆的周长公式得到：
圆的面积等于周长和半径的乘积的一半，即
非常类似，球体的体积公式可以从球体的面积公式推导出来：
球体的体积等于表面积和半径乘积的三分之一，即
利用球体的体积公式，也可以推导出面积公式。
(五)结论
阿基米德用最基本的数学知识和极限思维计算出了球冠面积的公式，令人惊叹。
根据球面几何学，球冠就是球面几何学的“圆”。
因此，球冠的面积公式可以转化为球面几何的“圆面积公式”：
具有“半径”的圆在具有半径的球体上的面积是
将正弦改为双曲正弦，即可得到双曲几何的圆面积公式。
阿基米德这个名字的意思是“伟大的思想家”，这是恰当的。
