概括
本文首先利用时空区间的不变性和一些简单的线性代数知识推导洛伦兹变换和四维向量。 最后，讨论并论证了相对论中如何定义力和动量，这是教科书和科学文献中没有讨论和论证的。
四维动量的前三个维度定义为动量，动量相对于时间的导数定义为力。 但有一个问题，即动量定义的合理性尚未得到讨论和证明。 力和动量不能任意定义。 因为只有正确的定义才能保证当我们用恒定的力加速物体时，如果我们的感官足够灵敏和复杂的话，动量会以恒定的速度增加。 经典力学中无需讨论，因为经典力学中力与加速度成正比，力在前，动量在后。 但在相对论力学中，先有动量，后有力，这恰恰相反。 因此，讨论和论证相对论中力和动量的定义非常重要。
另外，同样的物理过程不依赖于时空点，这意味着洛伦兹变换一定是线性变换，因此我们可以利用时空的不变性推导出洛伦兹变换和四维向量区间和一些简单的线性代数知识。
介绍
在经典物理学中，时间和空间是相互独立的。 在不同的参考系中，满足空间分离不变性，且不影响时间。 例如，一根杆子的长度无论在什么参照系下测量都是固定的。然而，由于电动力学的发展，麦克斯韦提出了与电磁学相关的四个微分方程，形成了时间和长度等权重的方程组。空间。 因此，从经典时空的角度来看，方程组不再满足从一个参考系到另一个参考系的协方差。 所谓协方差，直观地解释为物理定律不会因为参考系的切换而改变。 从数学上讲，这意味着运动方程的形式在不同的参考系中是一致的。 狭义相对论和广义相对论分别由爱因斯坦于1905年和1915年提出。
我们知道，物理书籍和科学文献中对力的定义如下
begin{} bm{F}=frac{dbm{P}}{dt} =frac{d(m_{0}frac{bm{}}{sqrt{1-frac {^{2}}{c^{2}}}})}{dt} =frac{m_{0}d(frac{bm{}}{sqrt{1-frac{ ^{2}}{c^{2}}}})}{dt} end{}
其中bm{P}表示物体四维动量的前三个维度； m_{0}表示物体的固有质量，即静止质量； bm{} 表示物体的速度； 表示物体的速度，即速度的大小； c代表光速。
但有一个问题，即动量定义的合理性尚未得到讨论和证明。 力和动量不能任意定义。 因为只有正确的定义才能保证当我们用恒定的力加速物体时，如果我们的感官足够敏感和复杂的话，动量会以恒定的速度增加。 但历史文献和教科书未能证明这一定义的合理性。
经典力学中无需讨论，因为经典力学中力与加速度成正比，力在前，动量在后。 但在相对论力学中，动量在前，力在后动量守恒定律定义，这恰恰相反。 因此，讨论和证明相对论中力和动量的定义具有重要意义。
另外，洛伦兹变换和四维向量的求导也可以有更简单的方法，因为同一个物理过程不依赖于时空点，这意味着洛伦兹变换一定是线性变换，所以我们可以使用时空区间不变性和一些简单的线性代数来得出这些结论。
在第二节和第三节中，我们首先使用了一种新的方法——时空区间不变性来推导狭义相对论的结论，这种方法更简单、更自然。 在第四节中，我们讨论并演示相对论中力和动量是如何定义的。
利用时空区间不变性推导洛伦兹变换
本节使用一种新的方法——时空区间不变性和一些简单的线性代数知识来推导狭义相对论的结论。
在经典力学中，满足空间区间不变性。 由于时间和空间在相对论中具有同等的权重，因此应满足两个事件之间的时空间隔不变性——即两个事件之间的时空间隔在不同的参考系中保持不变。 ，时空间隔定义如下
begin{} c^{2}(Deltatau)^{2}=-[(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2 }-c^{2}(Delta t)^{2}] end{}
一方面，严格来说，时空间隔不变性已经包含了光速不变的原理。因为当Deltatau=0时，无论我们处于哪个惯性系，都有
begin{} v=frac{sqrt{(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2}}}{Delta t}=c 结尾{}
这意味着光速在任何惯性系中都不会改变。
正是由于空间和时间间隔的不变性，才能保证空间和时间的因果结构。 否则，在一个参考系中，两件事同时在不同的地方发生，且瞬时空间间隔不大于零，光子无法在这两个事件之间建立联系。 本来没有因果关系，但当变换到另一个参考系时，时空间隔小于零，光子就能在两者之间建立联系。 即当一个事件发生时，光子离开发生地，在另一个事件发生前传播到另一个事件发生地，建立了两个事件之间的因果关系，破坏了时空的因果结构，从而产生了矛盾。
在狭义相对论中，时空间隔可以用矩阵来表示，即
begin{} left( begin{array}{cccc} Delta x & Delta y & Delta z & cDelta t \ end{array} right) left( begin{array}{ cccc} 1 & 0& 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \ end{array} right) left( 开始{数组}{c} Delta x\ Delta y \ Delta z\ cDelta t \ end{array} right) end{}
在
begin{} G= left( begin{array}{cccc}1 & 0& 0 & 0 \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \0 & 0 & 0 & - 1 \ end{数组} right) end{}
是惯性时空的度量矩阵。 这个空间称为闵可夫斯基空间。 在欧几里得空间中，正交变换使向量的长度保持恒定。 闵可夫斯基空间是一个不定空间，但是有相应的伪正交变换，保持向量长度不变，实时空间间隔不变。与欧几里得空间类似动量守恒定律定义，为了保证向量长度不变从一个惯性系切换到另一个惯性系后，变换后的度量矩阵保持不变，这显然等价于A满足
开始{} A^{T}GA=G 结束{}
为了简单起见，假设移动参考系沿静止参考系的x轴以匀速bm{}直线移动，并且y和z方向不受影响，我们可以得到
begin{} A= left{ begin{array}{c} left( begin{array}{cccc}coshtheta & 0 & 0 & sinhtheta \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \sinhtheta & 0 & 0 & coshtheta \ end{array} right) \ left( begin{array}{cccc}cosh theta & 0 & 0 & sinhtheta \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \-sinhtheta & 0 & 0 & -coshtheta \ end {array} right) \ left( begin{array}{cccc}-coshtheta & 0 & 0 & -sinhtheta \0 & 1 & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & 0 \sinhtheta & 0 & 0 & coshtheta \ end{array} right) end{array} right。 结尾{}
在
begin{} coshtheta=gamma=frac{1}{sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}}geq1, sinhtheta= pmsqrt{gamma^{2}-1} end{}
后两种形式是不可行的，因为结合物理现实，时空只能发生伪旋转，而不能发生时空反转。 因此，只能采用第一种形式。将其写成方程，我们可以得到
begin{} Delta x'=gamma(Delta xpmfrac{}{c}cDelta t)\ cDelta t'=gamma(pmfrac{}{c }Delta x+cDelta t) end{}
这是不同惯性系之间的变换，称为洛伦兹变换。
现在我们将上面提到的 τ 定义为固有的，当它是参考系中两个事件之间的时间间隔（其中两个事件发生在同一位置）或者可以将其视为绑定到运动粒子的时钟间隔。
根据
begin{} c^{2}(Delta tau)^{2}=-[(Delta x)^{2}+(Delta y)^{2}+(Delta z)^{2 }-c^{2}(Delta t)^{2}] end{}
可用的
begin{} frac{Deltatau}{Delta t}=sqrt{1-frac{v^{2}}{c^{2}}}=frac{1}{gamma} leq 1 end{}
通过洛伦兹变换，我们发现了时间和空间的相对性。例如，如果一列火车以速度bm沿x轴行驶，对于火车上不同时间、同一地点发生的两个事件，两个事件之间的时间间隔之间的关系是
begin{} Delta t'=gammaDelta t end{}
其中t'为地面惯性参考系中的时间，t为列车惯性参考系中的时间。 地面上测量的时间间隔比火车上测量的时间间隔长。 地面上的人会感觉火车上的所有物理过程，包括人的新陈代谢都会减慢。 这就是著名的慢时钟效应。 当然，运动是相对的，所以火车上的人也会感觉到地面上的物理过程变慢了。
当测量火车上沿运动方向放置在地面上并同时与地面相对静止的杆时，我们有
begin{} Delta x'=gammaDelta x end{}
也就是说，火车上的人测量的横杆在地面上的长度比人在地面上测量的横杆的长度短。 这就是所谓的规模缩小效应。 这是因为火车上的人同时读取杆子两端两个坐标的动作对于地面上的人来说是不同的时间，导致地面上的空间间隙较大。
利用时空区间不变性推导四维不变量
洛伦兹变换表达式的第二个公式可以写为
begin{} cDelta t'=gamma(pmfrac{}{c}VDelta t+cDelta t) end{}
在
begin{} V=frac{Delta x}{Delta t} end{}
是物体相对于火车的速度。我们用它除以洛伦兹变换的第一个公式得到
begin{} '=frac{+V}{1+frac{ V}{c^{2}}} end{}
这就是相对论速度的综合公式。 也就是说，第二个物体相对于第一个物体的速度为，第三个物体相对于第二个物体的速度为V，那么第三个物体相对于第一个物体的速度是'。 当然，这是两个速度共线的情况。 非共线的情况可以通过向量分解和合成来解决。
当然，还有另一种推导相对论速度合成公式的方法。因为矢量
begin{} (Delta x, Delta y, Delta z, cDelta t)^{T} end{}
是一个在洛伦兹变换下长度不变的向量，Deltatau 是固有的时间间隔并且是不变的，所以
begin{} (frac{Delta x}{Deltatau}, frac{Delta y}{Deltatau}, frac{Delta z}{Deltatau}, cfrac {Delta t}{Deltatau})^{T} end{}
也是模长度恒定的向量，因此根据
begin{} (frac{Delta x'}{Deltatau}, frac{Delta y'}{Deltatau}, frac{Delta z'}{Deltatau}, cfrac{Delta t'}{Deltatau})^{T}=A(frac{Delta x}{Deltatau}, frac{Delta y}{Deltatau} , frac{Delta z}{Deltatau}, cfrac{Delta t}{Deltatau})^{T} end{}
也可得到上述速度合成公式。
因为
begin{} (frac{Delta x}{Deltatau}, frac{Delta y}{Deltatau}, frac{Delta z}{Deltatau}, cfrac {Delta t}{Deltatau})^{T} end{}
洛伦兹变换下长度恒定。因此，对于内禀质量为 m_{0} 的粒子，其四动量定义为
begin{} P=(m_{0}frac{Delta x}{Deltatau}, m_{0}frac{Delta y}{Deltatau}, m_{0}frac{ Delta z}{Deltatau}, m_{0}cfrac{Delta t}{Deltatau})^{T}\ =(m_{0}gammafrac{Delta x {Delta t}，m_{0}gammafrac{Delta y}{Delta t}，m_{0}gammafrac{Delta z}{Delta t}，m_{0}伽玛 cfrac{Delta t}{Delta t})^{T}\ =(frac{m_{0}{x}}{sqrt{1-frac{^{2}} {c^{2}}}}，frac{m_{0}{y}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}，frac{ m_{0}{z}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}, frac{m_{0}c}{sqrt{1-压裂{^{2}}{c^{2}}}})^{T} end{}
由于m_{0}是不变的，所以洛伦兹变换下四动量模块的长度也是不变的。 这种不变性称为四动量守恒。
力和动量的推导
我们可以将力定义为加速度乘以惯性参考系中相对于物体静止的物体的内在质量。 这个定义的原因很简单，因为这个定义对于每个惯性参考系都是相同的，没有哪个惯性参考系是特殊的。 然后我们可以将该表达式恢复到一般惯性参考系，以获得力的合理定义。
当我们将物体的速度从加速到'时，为了简单起见，我们假设和'共线。根据相对论速度的综合公式，在瞬时相对静止的惯性参考系中观察到的速度变化一个对象是：
begin{} Delta bm{bar{}}=frac{bm{}'-bm{}}{1-frac{bm{}}{c}cdot frac{bm{}'}{c}}=frac{Deltabm{}}{1-frac{bm{}}{c}cdotfrac{bm{} '}{c}}dbar{bm{}}=frac{dbm{}}{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2} }} 结尾{}
根据洛伦兹变换的表达式，我们有
begin{} Delta t=frac{\Delta x'}{c^{2}sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}+frac{ Delta t'}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}} =frac{Delta t'}{sqrt{1-frac{^{ 2}}{c^{2}}}} 结束{}
其中t是静止参考系中的时间，t'是相对于物体相对静止的惯性参考系中的时间。因此，在物体以瞬时速度运动的惯性系中，物体的速度为为零，其加速度为
begin{} bm{a}=frac{dbm{bar{}}}{dt'}=frac{dbm{}}{sqrt{(1-frac{ ^{2}}{c^{2}})^{3}}dt} =frac{dfrac{bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{ c^{2}}}}}{dt} end{}
所以我们可以得到一般坐标下的力为
begin{} bm{F}=m_{0}bm{a}=m_{0}frac{dbm{bar{}}}{dt'}=frac{m_{0} dfrac{bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}}{dt}=frac{dfrac{m_{0} bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}}}{dt}=frac{dbm{P}}{dt} end {}
至此我们已经证明了四维动量的前三个维度
begin{} bm{P}=frac{m_{0}bm{}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}} end{ }
是动量的合理定义。
能量和质能方程的推导
动能
begin{} dE_{k}=bm{F}cdot dbm{s}=frac{dbm{P}}{dt}cdotbm{}dt=bm{} dbm{P} = m_{0}bm{}d{frac{bm{}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{ 2}}}}}结束{}
因此，速度为 bm{} 的物体的动能
begin{} E_{k}=int_{0}^{E_{k}}dE_{k}=int_{0}^{}m_{0}bm{}d{frac{ bm{}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}\ =m_{0}{frac{bm{} ^{2}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}|_{0}^{}-int_{0}^ {}m_{0}{frac{bm{}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}dbm{ } \ =m_{0}{frac{bm{}^{2}}{sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}} }}|_{0}^{}-frac{1}{2}int_{0}^{}m_{0}{frac{dbm{}^{2}}{ sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}\ =m_{0}{frac{bm{}^{2}}{ sqrt{1-frac{bm{}^{2}}{c^{2}}}}}|_{0}^{}+frac{1}{2}int_{0} ^{}m_{0}c^{2}{frac{d(-frac{bm{}^{2}}{c^{2}})}{sqrt{1-frac {bm{}^{2}}{c^{2}}}}}\ =m_{0}{frac{bm{}^{2}}{sqrt{1-frac {bm{}^{2}}{c^{2}}}}}|_{0}^{}+m_{0}c^{2}sqrt{1-frac{bm {}^{2}}{c^{2}}}|_{0}^{}\ =frac{m_{0}c^{2}}{sqrt{1-frac{ {}^{2}}{c^{2}}}}-m_{0}c^{2} end{}
因此，我们将物体的运动质量定义为
begin{} m=frac{m_{0}}{sqrt{1-frac{^{2}}{c^{2}}}} end{}
那么动能可以表示为
begin{} E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2} end{}
当速度远小于光速时，即
