背景和基本假设
狭义相对论的基本假设：
1.物理定律在所有惯性系统中具有不变的形式（物理定律的形式保持不变，所有惯性系统的地位平等）
2. 自由空间中的光速保持不变
得到了洛伦兹变换、速度变换和加速度变换的运动学定律。
相对论速度变换如下（S'相对于S，v沿x轴正方向移动）：
begin{cases}u_x'= frac{u_x-v}{1- frac{vu_x}{c^2} }\u_y'= frac{u_y sqrt{1- frac{v^2} {c^2} } }{1- frac{vu_x}{c^2}} \u_z'= frac{u_z sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }{ 1- frac{vu_x}{c^2}} end{cases}\
在洛伦兹变换下，加速度不是不变量，与牛顿力学不一致。 现在我们希望获得符合相对论原理的新的动力学定律。
在推导加速度变换时，我们发现形式极其复杂，因此推测力和加速度在牛顿力学中不再占据主导地位； 动量守恒定律和能量守恒定律可能更为重要。
现在我们希望在承认相对性原理以及所有惯性系统中孤立系统动量和能量守恒的基础上找到动量、能量和力的具体定义和表示。
导出动量形式的想法
由于能量和力的具体形式尚未获得，因此应避免使用。
想象动量以 {p}=m(u){u} 的形式表示。
为了避免涉及力的形式，可以研究两个粒子的碰撞。 当讨论碰撞满足动量守恒、能量守恒和相对性原理时，动量应满足的条件实际上就是质量m(u)应满足的条件。
但粒子碰撞还涉及到“机械能是否守恒”的问题。 无论碰撞是“弹性”还是“非弹性”，由于能量的具体形式尚未确定，因此很难确定碰撞后的速度。 对于这个问题，在下面的分析中继续讨论——我们会发现关键在于“初始条件是对称的”。
使用完美弹性碰撞导出
在承认能量守恒的基础上，我们认为“完全弹性碰撞”所要求的“机械能守恒”也是可以发生的。 但如上所述，能量的具体形式尚未得到，很难判断满足机械能守恒定律的速度结果。 那么，将其命名为“使用完美弹性碰撞的推导”是否不合适？
然而，正如您将在下面看到的，方法（1）和（3）使用对称性来直接断言基于机械能守恒的碰撞后速度； 方法（2）不能直接根据机械能守恒来判断，但实际上也隐含着“机械能守恒”。 ”条件，因此这三种方法在这里被称为“完全弹性碰撞推导”。
方法一）
假设S0参考系中有两个相同的粒子（质量m(u)的函数形式、形状等都相同，简言之，它们是相同的），以完全相同的速度向对方运动率，总动量为0，碰撞后可以相互形成一定角度离开（非中心碰撞）。
为了满足动量守恒，碰撞后粒子的速度必须完全相反。 颗粒是完全一样的。 为了满足对称性，碰撞后两个粒子之间的速度应该完全相同。 假定这种碰撞是完全弹性碰撞并且满足“机械能守恒”。 那么碰撞后的速度就与碰撞前相同——碰撞前后的所有物理量都相同。 由此可以得出“碰撞是满足机械能守恒的弹性碰撞”。
至此，利用对称性和机械能守恒，S0处的碰撞情况已经完全确定。 它还必须满足相对论的变换条件——在另一个参考系S1中，它也满足动量守恒。
令u_x=v。
在粒子 A 和 B 的对称轴上建立如图所示的坐标。为了便于计算，假设 S1 相对于 S0 以 v 的方式沿 x 轴负方向移动，因此粒子 B 没有水平速度。
S1 满足 y 方向动量守恒，可得：
m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\
A粒子S0和S1之间的速度变换关系满足：
u_y= frac{u_y' sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }{1- frac{vu_x'}{c^2}} , v= frac{u_x'- v}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
B粒子S0和S1之间的速度变换关系满足：
u_y= {u_2 sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}\
计算：
frac{u_2'}{u_y'}= frac{1}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
v= frac{c^2}{u_x'}(1- sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} } )\
因此有：
m(u_1')= frac{m(u_2')}{1- frac{vu_x'}{c^2} }\
m(u_1')= frac{m(u_2')}{sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} }}\
取u_y=u_y'=0，则S1中粒子B静止，粒子A的速度为u_x'，如下：
m(u_x')= frac{m(0)}{sqrt{1- frac{u_x'^2}{c^2} }}\
即质量变换关系。
方法二）
假设在S1中，相同粒子A和B碰撞，碰撞前速度为u_1'和u_2'，A的速度分量为u_x'和u_y'，B没有水平速度分量。
S2相对于S1沿x轴向前移动u_x'，预碰撞速度在S2中对称。
令u_x'=v。
为了满足S1到S2变换前后速度的对称性，有：
u_y'=u_2'{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
假设在S1中，B以相反方向反弹，速度为{u_2'}
（注：这里很难根据“满足机械能守恒的弹性碰撞”求得碰撞后速度，因为碰撞前两个球的速度不同，无法根据对称性求得结果两个球的能量形式是未知的；但“机械能守恒”实际上隐藏在S1和S2之间变换的对称性中，下面可以看到）根据前后速度的对称性从S1到S2变换后，S2中的A也以{u_2'}返回到原来的路径，没有水平速度
所以碰撞后A在S1中的水平速度仍为v。
S1中水平方向动量守恒，为：
m({u_1})v=m({u_1'})v\
A和B是相同粒子，质量m(u)的函数形式相同，所以有：
{u_1}={u_1'}\
因此，我们也有{u_2}={u_2'}，并且S1中碰撞前后的速度是对称的（因此现在可以断言机械能守恒）。
至此，利用参考系变换前后速度的对称性和x'方向动量守恒，S1中的碰撞情况已经完全确定。
它还必须满足y'方向动量守恒，因此有：
m(u_1')u_y'=m(u_2')u_2'\
现在：
m(u_1')=frac{m(u_2')}{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
取u_y'=0，则S1中的粒子B静止，粒子A的速度为v，如下：
m(v)= frac{m(0)}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}\
即质量变换关系。
方法(3)
你有没有发现，S0、S1、S2都是同一个碰撞情况在不同参考系下的表现？
假设 S0 参考系中有两个相同的粒子以完全相同的速度向彼此运动。 碰撞后，它们可以以一定的角度离开对方。
由于弹性碰撞中机械能的对称性和守恒性（见式（1）），确定了 S0 中碰撞前后的速度，它们是相同的。
假设S1相对于S0沿x轴负方向移动u_x，S2相对于S0沿x轴正方向移动u_x，则S1和S2的速度一定是对称的。
图像
得到了各参考系中碰撞前后的速度关系。
S1和S2的速度变换满足：
u_y'=u_2'{sqrt{1-frac{v^2}{c^2}}}\
然后令S2满足动量守恒，则可按式(2)同样得到质量变换关系。
讨论
事实上动量守恒定律的三个形成条件，S0、S1、S2都是同一碰撞情况在不同参考系下的表现。 方法(3)充分利用了对称性。
在推导（1）和（2）时，你可能会隐约感到不爽——
(1)虽然充分利用了同质粒子的对称性，但从S0到S1的速度变换缺乏对称性，计算过于复杂。
(2) 虽然充分利用了S1到S2速度变换的对称性，但很难直接得到结果{u_1}={u_1'}。 只有通过参考系变换的对称性才能得到{u_1}={u_1' }，直接利用“机械能量守恒”条件实际上是很难的。
原因在于，（1）和（2）都没有真正从改变参照系的角度“看到全貌”——
通过(3)我们可以发现，S0就像参考系变换中S1和S2之间的“对称中心”。
(2)中S1和S2之间必然存在完全对称的情况S0。 (2)中的假设确实满足“机械能守恒”。 (1)中的S1也必须能够得到另一个参考系中的对称情况S2。 。
事实上，后来可以发现，这样的碰撞系统的机械能在惯性系中是守恒的，相同粒子的碰撞总是可以通过适当的参考系变换转化为S0中相同速度的相对碰撞。
完全非弹性碰撞
完全非弹性碰撞
这里的“完全非弹性碰撞”仅指两个小球碰撞成一个物体。 由于能量形式尚不清楚，因此无法写出具体的能量关系。 因此，速度设定在“弹性碰撞”的推导中仍然采用对称性。 如果完全不使用对称性，将很难获得碰撞后速度——会出现无法列出的问题（实际上必须全部设置为未知数），或者必须添加其他假设（不正确的假设可能会因违反能量守恒定律而导致错误）。 如果使用过多的对称性（相同小球的中心到中心弹性碰撞），则所有碰撞情况都将通过对称性得知，列出的公式毫无意义。 最终，这取决于与静态质量的关系。 需要采用先有速度再趋于0的方法（以获得速度的存在所带来的质量关系）。 如果速度选择不当，将很难获得与静态质量的关系。 这是有关系的。
S0中两个相同的小球以相同的速度相对碰撞。 碰撞前，S1和S2存在上述对称速度关系。
碰撞后，由于S0中动量守恒，球处于静止状态，因此S1和S2中y方向没有速度。 质量公式可由动量守恒得到。
如果不使用S0而只使用S1和S2，则相当于缺少一个对称条件。 由于碰撞后速度未知，并且没有可用于获取碰撞后速度的能量关系或对称性，因此您需要对 y 方向上的碰撞后速度做出额外假设。 在此基础上，我们再利用对称性和速度变换来解决问题，如下（如果缺少一个对称条件，就必须用速度变换来弥补，需要更多的计算和判断。如果没有对称条件，恐怕无从下手。）：
没有S0的推导需要更多的计算和充分性和必要性的判断。
以上就是质量变换的三个推导。
我们仅根据相对论原理、动量守恒和能量守恒（特别是弹性碰撞中的机械能守恒），利用对称性就得到了动量的形式。
但这只是对对称碰撞情况的讨论。 基于动量形式的假设，所获得的动量应满足形式。 它包含假设并且是必要条件。
因此，实际上需要逆向证明充分性：如果动量采用这种形式，在洛伦兹变换下，确实存在“孤立系统的动量在所有惯性系统中守恒”。
即如果惯性系S内动量守恒：
sum{{p}}_i= sum{{u}}_i=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i^2}{c ^2}}} } }{{u}}_i=const\
那么在另一个惯性系S'中也存在动量守恒：
sum{{p}}_i'= sum{{u}}_i'=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2 {c^2}}} } }{{u}}_i'=const\
下面将证明其充分性。
假设S'随v相对于S沿x轴正方向移动，则动量变换公式计算为：
begin{cases}p_x'= frac{p_x}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }-frac{m_0v}{{sqrt{1- frac{u ^2}{c^2} }}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}} \p_y'=p_y \p_z'=p_z end{cases}\
你会发现，判断p_y'和p_z'的守恒性没有什么困难，但是p_x'多了一项，就很难判断守恒性了。
这是因为忘记了一件事：如上所述，在推导动量形式的过程中，还有一个基本假设：能量守恒成立。 这个条件目前还没有被使用过。
这里需要使用特定形式的能量。 由于上面已经得到了动量的形式，因此可以推导出并利用能量的具体形式。
首先明确力的具体形式——仍然保留牛顿力学“作用在质点上的力等于质点动量的变化率”的定义，即：
{F}= frac{text{d}{p}}{text{d}t}\
然后推导出能量的具体形式。
仍然保留牛顿力学中功的定义和动能定理“力对质点所做的功等于质点动能的增加”，即：
W= int_{a}^{b} {F} cdot{text{d}{r}}=E_{k2}-E_{k1}\
但动能的形式发生了变化：
E_{k2}-E_{k1}= int_{a}^{b} frac{text{d} {p} }{text{d}t} cdot {text{d} { r}}=int_{a}^{b} {text{d} {p}} cdot frac{text{d} {r} }{text{d}t}= int_ {a}^{b} {u}cdottext{d}{p}= int_{a}^{b} frac{{p}cdottext{d}{p} {m}\
笔记：
p={ frac{m_{0}}{ sqrt{1-{frac{u^2}{c^2}}} } }u\
m^2c^2-p^2=m_0^2c^2\
对两边求微分，我们得到：
{p}cdottext{d}{p}=mc^2text{d}m\
代替：
E_{k2}-E_{k1}=int_{a}^{b} c^2text{d}m\
取初始状态u=0，对应的动能E_{k1}=0，粒子质量为m_0，有：
E_k=c^2int_{m_0}^{m}dm=mc^2-m_0c^2\
这是爱因斯坦的重要假设：粒子的总能量为E=mc^2，总能量等于动能E_k和静能m_0c^2之和。
会发现，在这个假设下，低速时的动能确实符合牛顿力学中的动能形式； 与实验结果也一致。
在这个能量定义下，如果S系统满足能量守恒，即：
sum{E}_i=sum{i}{c^2}=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2}{c^ 2}}} } {c^2}=const\
p_x 的最后一项也是守恒的：
p_x'= frac{p_x}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} } }-frac{m_0v}{{sqrt{1- frac{u^2}{c ^2} }}{sqrt{1- frac{v^2}{c^2} }}}=frac{p_x-{frac{vE}{c^2}}}{sqrt{1 - frac{v^2}{c^2} } }=const\
从而证明了S'中动量守恒。
事实上，由于在获取能量具体形式的过程中做了一定的假设动量守恒定律的三个形成条件，我们也可以验证这种能量形式满足原来的基本假设：能量在各个惯性系中是守恒的。
即如果惯性系S中存在能量守恒：
sum{E}_i= sum^2=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i^2}{c^2}}} } }c ^2=常量\
那么在另一个惯性系S'中也存在能量守恒：
sum{E}_i'= sum'c^2=sum{ frac{m_{i0}}{ sqrt{1-{frac{u_i'^2}{c^2}} } } }c^2=const\
假设S'随着v相对于S沿x轴正方向移动。 发现能量转换公式满足：
E'=frac{E-vp_x}{sqrt{1-{frac{v^2}{c^2}}}}\
那么如果 S 中动量守恒且能量守恒，则 S' 中能量守恒。
在这样的动量和能量的定义下，如果能量守恒，则动量守恒，反之亦然； 如果能量在惯性系中守恒，则动量在惯性系中守恒，反之亦然。 两者密不可分。
这样的动量和能量的定义也满足了最初的基本假设：“孤立系统的动量和能量在所有惯性系统中都是守恒的”。
这里的“完全非弹性碰撞”仅指两个小球碰撞成一个物体。 由于能量形式尚不清楚，因此无法写出具体的能量关系。 因此，速度设定在“弹性碰撞”的推导中仍然采用对称性。 如果根本不使用对称性，将很难获得碰撞后速度——会出现无法公式化的问题，或者方程没有意义，或者必须添加其他假设。
S0中两个相同的小球以相同的速度相对碰撞。 碰撞前，S1和S2存在上述对称速度关系。
碰撞后，由于S0中动量守恒，球处于静止状态，因此S1和S2中y方向没有速度。 质量公式可由动量守恒得到。
如果不使用S0而只使用S1和S2，则相当于缺少一个对称条件。 由于碰撞后速度未知，并且没有可用于获取碰撞后速度的能量关系或对称性，因此您需要对 y 方向上的碰撞后速度做出额外假设。 在此基础上，我们再利用对称性和速度变换来解决问题，如下（如果缺少一个对称性条件，就必须用速度变换来弥补，需要更多的计算和判断。如果没有对称性条件，恐怕无从下手。）：
总结
根据相对论、动量守恒、能量守恒（特别是弹性碰撞中机械能守恒）的原理，我们做了适当的假设，得到了动量的具体形式，由此我们得到了力和力的具体形式。活力。
推导需要假设。 需要始终澄清推导的基本假设，避免引入太多新的假设。 同时要保证假设的合理性：可以在低速下转化为牛顿力学形式； 与实验结果一致； 理论验证符合预期。
上述推导仅关注如何在基本假设的基础上逐步得到新的动力学规律。 其实狭义相对论在提出的过程中，思考的顺序应该是不一样的，而且也有实验来支持，值得继续去理解。 事实上，根据爱因斯坦的原文，他首先得到了坐标变换公式和电磁力变换公式，然后利用带电粒子牛顿第二定律的相同形式得到了质量变换公式。 原文如下：
在推导过程中，我们也认识到动量和能量是密不可分的。 接下来你可以继续探索它的联系。
参考
[1]：约翰·威利父子公司，1968 年，第 112-114 页。
[2]郑永龄，贾启民：《力学》，高等教育出版社，2018年版，第390-392页。
[3][美]费曼：《费曼物理讲座第一卷》，郑永龄等译，上海科学技术出版社，2013年版，第173-175页。
这是我第一次发表文章。 我在学术上并不成熟。 我只是对我所看到的信息进行总结和思考。 可能有很多问题。 欢迎您指正或补充！
爱因斯坦论的原始链接在上面。
这也是我第一次写文章。 我对它比较陌生，布局也不是很好。 图片也是手绘的。 我不知道怎样才能画得更好。 。 。 也欢迎提出建议。
本文由知乎创作并发布
