(1) 相对于点的力矩
选取空间中的某一点 O，作用力 vec F 相对于 O 的力矩定义为从 O 到作用点 vec F 的位置向量 vec r 与 vec F 的叉积，通常写为 vec M ，数学形式写为 vec M=vec rtimesvec F 。 直角坐标系中力矩的分量形式可以写成行列式vec M= begin{} hat i & hat j & hat k\ x & y & z\ F_x & F_y & F_z\ end{} 。
(2) 相对于轴的力矩
在空间中选取某一轴S，该轴上记录的单位向量为hat s。 作用力 vec F 定义为相对于 S 的力矩。力 vec F 是相对于轴 S 上任意点 A 在 S 方向上的力矩。 on 的分量通常写为 vec {M_S}，数学形式可以写为 vec {M_S} =(vec {M_A} cdot hat s)hat s =vec d times vec {F_bot }，其中 vec d 表示从 S 上任意一点到 vec F 作用点的向量，vec {F_bot} 表示 vec F 在由轴和作用点。
从定义可以看出，力相对于轴的力矩为零的情况有两种：力的作用线与轴相交；力的作用线与轴相交；力的作用线与轴相交。 力平行于轴。
冲量和角动量
前面的第三讲定义了冲量和动量来描述粒子的外部效应和运动。 本讲定义的冲量距离和角动量可以对应前两者，也可以描述粒子的外部效应。 情况和运动情况，但这两组量在不同的模型和不同的条件下具有不同的复杂程度，并且各有其适用的情况。 以下是冲矩和角动量的具体定义：
脉冲矩：时刻的积分： int_{t_1}^{t_2}vec Mdt 。 （冲量矩好像没有具体的符号，也许在特定的领域会有一个符号来表示它。需要注意的是，由于冲量可以分为相对点和相对轴两种类型，所以冲量力矩也可以分为两种：相对点和相对轴（类，下面的角动量也可以分为两种：相对点和相对轴）
角动量：
(1) 质点相对于点的角动量
O 是空间中的某一点，质量为 m、速度为 v 的质点的角动量定义为从 O 到质点的位置向量与质点动量的叉积，记为 vec L，其数学表达式为 vec L= vec r times mvec v ，在直角坐标系中的分量形式可表示为 vec L= begin{} hat i & hat j & hat k \ x & y & z \ P_x & P_y & P_z\ end{} 。
(2) 质点相对于轴的角动量
这与“力相对于轴的力矩”的定义完全一致，只不过将力 vec F 换成了粒子的动量 mvec v，所以数学形式写为 vec {L_S} =(vec {L_A} cdot hat s)hat s =vec d times mvec {v_bot} 。
正如一开始提到的，冲量矩类似于冲量，角动量类似于动量。 因此动量守恒定理推导，需要注意的是，冲量矩和冲量都是过程量，角动量和动量都是状态量。
角动量定理
(1) 粒子角动量定理
某个过程中质点角动量的变化等于该过程中质点所经历的冲量矩。 （除非另有说明，同一公式中出现的角动量和冲矩应同时为相对轴或相对点，且不能交叉出现）
微分形式： d vec L=vec M dt
积分形式： vec {L_2} - vec {L_1} = int_{t_1}^{t_2} vec M dt
推导：
frac {d vec L} {dt} = frac {d} {dt} (vec r times mvec v) =vec v times m vec v + vec r times vec F
等式右边第一项为0，从而得到微分形式 d vec L=vec M dt ，然后将两边随时间积分得到积分形式。
(2) 粒子系统角动量定理
某一过程中粒子系统角动量的变化量等于粒子系统在该过程中所受到的“外力”冲量矩之和。 也就是说，粒子系统中任意一对内力的冲量矩为零。 ，推导如下：
vec L = sum_{i}^{}{vec {r_i} times m_i vec {v_i}}
frac {d vec L}{dt} = sum_{i}{vec {M_i}}
frac {d vec L}{dt} = sum_{i}{vec {M_{i外}}} + sum_{i} sum_{j,j ne i}{vec {M_{ ji}}}
其中，vec{M_{ji}}表示第j个粒子对第i个粒子施加的力的力矩。 显然动量守恒定理推导，上式第二项为零，因此我们得到
d vec L = sum_i vec{M_{i外}}dt
角动量守恒定律
显然，如果一个质点（质点系统）相对于某一点（定轴）的力矩总和（外力矩之和）始终为零，则质点（质点系统）相对于该点的角动量（轴）是守恒。 在理论力学中，机械系统的角动量守恒代表了机械系统的空间旋转对称性。 第三讲提到机械系统的动量守恒代表了机械系统的空间平移对称性。 从这个角度我们可以更深层次地理解角动量和动量的区别。
概括
本次讲座主要介绍两个物理量：冲量矩和角动量，然后介绍两者之间的关系——角动量定理，最后简单讨论角动量守恒定律。
