牛顿第二定律：
不可缺少的：
牛顿第二定律是二阶微分方程。 积分一次后就变成了速度和位置的方程，求解起来就容易多了。 除了纯数学积分之外，牛顿力学还提供了三种物理上有用的方法，分别对应三大守恒定律：
动量守恒：
角动量守恒：
机械能守恒：
理论力学中的运动积分
我们知道动量守恒但角动量不守恒的例子，拉格朗日方程是关于广义坐标 qi (i=1,2,...,s) 的二阶微分方程。在某些情况下，有 qi 和
的一些不随时间变化的函数被称为系统的“运动积分”。
运动积分是常见守恒定律概念的延伸，例如动量守恒定律、角动量守恒定律和机械能守恒定律。 可以看出，运动积分相对于拉格朗日方程降低了一阶，是一阶微分方程。 因此，“运动积分”有时也称为“第一积分”。
力学中的“对称性”非常重要，运动积分的存在与系统的对称性密切相关。 如果一个系统有尽可能多的运动积分，将会给问题的求解带来很大的便利。
循环坐标和广义动量
在拉格朗日方程中，第一项首先求拉格朗日函数相对于广义速度的偏导数。 该结果仍将具有广义速度，即关于时间的一阶导数。 如果我们再对时间求导，我们就会得到关于时间的二阶导数，也就是说，拉格朗日方程是一个“二阶微分方程”（集合）。
我们也倾向于整合动量守恒但角动量不守恒的例子，就是降低阶数。 如果 L 没有明确包含某个广义坐标 qα，则拉格朗日方程的第二项（拉格朗日函数相对于该广义坐标的偏导数）为 0。
qα被称为“循环坐标”，因此拉格朗日方程的第一项也应该为0。
因此，括号内的内容是一个常数
定义“广义动量”：
摘要：广义动量是拉格朗日函数关于广义速度的偏导数。 如果广义坐标是循环坐标，则对应的广义动量是守恒量。
借助理论力学获得运动积分的能力并不逊色于牛顿力学，甚至更强，因为广义坐标的选择是任意的。
牛顿力学中的动量守恒和角动量守恒都包含在分析力学中的广义动量守恒中。
例如
有一个心理系统
θ 是循环坐标：
我们得到的体育积分
这是角动量守恒。
循环坐标带来的对称视角
从某种程度上来说，这里的“对称”实际上意味着“无关性”。
前面讲过循环坐标后，我们知道拉格朗日函数中并没有明确包含循环坐标。 因此，无论循环坐标如何变化，拉格朗日函数都不会改变，即相应的运动规律不会改变。 这时我们就说这个“系统在循环坐标变化下具有对称性”。
例如
例如，太阳系是一个动态系统，也是一个循环坐标系，所以如果我们任意改变行星的角度，并不会影响行星的运动模式。 反过来，我们也无法通过运动定律来判断是否所有行星在我们不注意的某个时刻突然以相等的角度运行。
行星运动
在摆的拉格朗日方程中，明确地包含了它，因此变化也会改变系统的运动。 这符合我们的知识，因为很明显，摆的重力势能（可能）会发生变化。
单摆
