2.（对于 O 点），具有质量的粒子在空间中以一定速度移动。 某一时刻相对于原点O的位置向量为，粒子相对于原点的动量矩，大小：，方向：符合右手螺旋定则。 ,7. 讨论，（1）粒子的动量矩与粒子的动量和位置向量有关（取决于不动点的选择）。 ，（2）直角坐标系中的分量公式，8，（3）质点做圆周运动时：质点以角速度做半径为r的圆周运动，动量相对于的大小圆心， (4) 动量矩的大小 定义并不限制质点只能作曲线运动而不能作直线运动。 ,9,2。 刚体绕定轴旋转的动量矩，O，质点相对于z轴的动量矩，刚体上任意质量单元相对于z轴的动量矩为，z ,10、刚体上任意质量单元相对于z轴的动量矩 动量矩具有相同的方向。 ,（所有素数元素均与 z 轴对齐
3. 角动量之和），说明了动量矩与粒子动量之间的比较：Jz m, v. ,11, 2. 粒子动量矩定理和动量矩守恒定律，已知， 1.粒子动量定理，12.粒子矩定理的微分形式。 ，作用在质点上的扭矩等于质点动量矩相对于时间的变化率。 这就是粒子相对于固定点的动量矩定理。 ，粒子矩定理的积分形式。 ，积分，我们得到冲激矩，13。质点合力矩的冲激矩等于质点角动量的增量。 ，（2）粒子动量矩的变化是动量随时间累积的结果。 ，解释，（1）冲量矩是力矩的时间累积，是引起质点动量矩变化的原因。 ,14,2。 粒子动量矩守恒定律，粒子动量矩定理，粒子动量矩守恒定律。 ，那么， 15， (3) 本质上普遍适用的基本法则。 ,(2)
4、向心力的角动量守恒。 ， (4) 质点相对于轴的动量矩守恒定律：若Mz=0，则Lz=常数。 也就是说，如果轴上的力矩分量为零（或轴上的力的力矩为零），则该轴上粒子的动量矩守恒。 , (1) 守恒条件, 16, 3. 刚体绕定轴旋转时的动量矩定理和动量守恒定律，质点的动量矩定理，物体中任意质量元素的矩刚体，刚体中所有质量元素的力矩 ，1. 动量矩定理，17. 对于绕固定轴旋转的刚体，Jz 是常数，a 的动量矩定理的微分形式刚体在固定轴上旋转。 , and, or, 18. 定轴刚体旋转时动量矩定理与旋转定律的关系。 定轴刚体的旋转定律本质上是动量定理沿定轴分量的特殊形式。 ，19。 定轴旋转刚体的合外力矩的冲量力矩等于其动量力矩。
5. 增量。 ,绕定轴旋转的刚体动量矩定理的积分形式:当J不变时,当J变化时,讨论,20,2.绕定轴旋转的刚体动量矩守恒定律。 对于绕固定轴旋转的刚体，如果动量矩L不变化，则刚体：如果J不变化，则不变化。 ,非刚体：由于J是可变的，所以J的乘积保持不变。 ，当变形体绕某一轴旋转时，如果，则变形体在该轴上的动量矩，21.动量矩守恒的例子，花样滑冰，跳水，芭蕾舞等，22.求：在此时，粒子相对于三个参考点的动量矩的大小。 ,解： ,例1，质点的速度m为，如图所示，A、B、C分别为三个参考点。 此时m相对于三点的距离分别为d1、d2、d3。 ,23.例2 在半径为R的光滑圆环上的A点有一个质量为m的小球，它开始从静止状态滑动。 如果不考虑摩擦力，
6. 力量。 ,解：小球受到重力力矩的影响。 根据动量矩定理： ，求：小球到达B点时相对于O的动量矩和角速度。 ，A,B,R,O,24，即积分，25，求：什么是滑行着陆时的发射角和速度v？ ,例3 发射一艘航天器调查一颗质量为M、半径为R的行星。当航天器静止在距行星中心4R的空间时，以速度v0发射质量为m的仪器。 使仪器刚好经过行星表面。 ,26,解：,引力场（有中心力），粒子动量矩守恒，系统机械能守恒，27,例4 假设人造地球卫星在卫星的近地点A与地面的距离为439km，远地点B的距离为椭圆轨道的焦点。地面是
7、已知卫星近地点速度为vA=8.12kms-1。 求卫星在远地点 B 的速度。设地球的平均半径为 R=。 ，该解决方案以卫星为研究对象。 根据粒子动量矩守恒定律，有，28，因为，固有，29，例5。如图所示，将一个质量为m的小球绑在一根绳子的一端，绳子穿过垂直外壳。 ，使球以速度v0、半径为r0绕管芯运动，然后向下拉绳子，使球的轨迹最终变成半径为r1的圆。 求(1)当小球与管中心的距离为r1时速度v的大小； (2)从r0缩短到r1期间力F所做的功。 ，解：小球受到向心力。 根据粒子动量矩守恒定律，有 30。因此，根据动能定理，力 F 所做的功为 31。 例 6 一根均质棒，长度为 L，质量为 M，有 a现在儿子
8. 一颗子弹水平射入距轴距离 y 的细杆中。 子弹的质量为 m，速度为 v0。 ，求：子弹细杆的共同角速度。 ，解：，其中，m，子弹和细杆系统的动量矩守恒，32动量矩定理和动量矩守恒定律，例7 如图所示，将质量为m的子弹射入悬挂在杆上的固定长杆的下端。以水平速度到达顶部并昏倒。 最终速度损失为3/4。 已知杆的长度为l，质量为M。 ,m,M，解：选择子弹和杆作为系统，其动量矩守恒，因为，求：子弹穿透后的杆。 ,So,33,例8，两个质量分别为M1和M2，半径为R1和R2的均匀圆柱体可以绕各自的轴线旋转，且两轴线平行。 原来它们沿同一方向匀速旋转，角速度分别为10和20，然后平移两个轴，使它们的边缘接触，如图。 请求：最后
9、当接触点无相对滑动时，各圆柱体的角速度为1和2。，34。 两个圆柱系统的动量守恒： ，针对上述问题有以下几种解法： 当接触点无相对滑动时，两个圆柱体边缘的线速度相同，因此有： ，由上述两个方程，1、2可解。 ,其中，这个解正确吗？,35,原解是系统的总动量矩是两个圆柱体各自绕自己轴的角动量之和，这是错误的动量矩定理和动量矩守恒定律，因为总动量矩系统的动量只能绕同一轴。 计算。当两个圆柱体的边缘不相对滑动时，1和2的方向相反，所以应该是（1）。 动量矩定理应分别用于两个圆柱体。 由于两圆柱体接触时摩擦力大小相等、方向相反，因此扭矩和冲击力矩的大小与半径成正比，方向相同：，36，(2)，求解( 1)(2)，我们得到：,37,例9 如图所示，质量为m的粒子
10. 一颗子弹以水平速度射入悬挂在顶部的固定长杆，导致杆偏转 30o。 已知杆的长度为l，质量为M。解：将子弹和杆视为一个系统，系统的动量矩在很短的时间内守恒。 ，求：子弹的初速度v0。 ,v0,m,M,38, 子弹射入杆后，子弹、杆、土是一个系统，机械能守恒。 ,初速度,39,例10 一根长度为l、质量为M的均质棒悬挂在一端。 杆可以在垂直平面内绕悬挂轴线自由旋转。 杆最初处于静止状态，脉冲 I 作用在杆的中心，其方向垂直于杆，如图所示。 求杆在冲量结束时获得的角速度（假设冲量作用时间很短且杆在动作过程中不移动），解法基于动量定理，40, 41，例11 质量为M、半径为R的转盘可绕导程公转 直轴无摩擦旋转。
11. 圆盘的初始角速度为零。 质量为m的人从静止在转盘上开始，相对于转盘沿半径为r的圆作匀速运动，如图所示。 求当人在转盘上打一轮并返回到转盘上的原始位置时，转盘相对于地面旋转了多少角度。 ，解：以人与转盘组成的系统为研究对象，人相对于转盘的速度为vr，转盘相对于固定转盘的角速度为，则人相对于固定转盘的速度为到转盘是vr + r。 ,42。 系统绕轴的动量矩守恒，即假设时间内圆盘相对于地面旋转的角度为 ，则 ， 43。 其中 是人相对于转盘旋转的角度，因此角度为圆盘相对于地面旋转 角度为44° 例12 一端悬挂一根长度为l、质量为M的均质棒，它可以绕着穿过点O并垂直于纸面的轴线旋转。 杆从水平位置落下，没有初速度。 它与质量为m的物体A在垂直位置发生完全非弹性碰撞。 如图所示，碰撞后，物体A凭借摩擦系数沿水平面滑动。 求物体A沿水平面滑动的距离。 ，解：第一阶段，以杆为研究对象，设为本阶段结束时的角速度。 根据动能定理， 45. 第二阶段，以杆和物体A为研究对象。 设碰撞结束时杆的角速度为动量矩。 守恒，解为， 46。第三阶段，以物体A为研究对象，物体A滑动的距离为S。根据粒子动能定理，有，
