例15 已知两个均质轮O、C的重量分别为P、Q，半径为r。 主要动力偶M作用在O轮上，C轮在斜面上纯滚动，斜面的倾角为α。 求轮心加速度C.分析？ 这个问题可以通过利用粒子系统求解定轴动量矩定理来解决； 问题的关键是如何求C轮相对于O轴做平面运动的动量矩。 C α α OQPM 施加在系统上的绕 O 轴的外力矩是根据粒子系统绕固定轴的动量矩。 定理§11-6 刚体平面运动微分方程的分析：在动力学研究中，刚体的运动必须与其所受到的力有关。 强制连接。 此时，刚体质心的运动仅通过质心运动定理与外力系统主矢量联系起来； 相对于质心的动量矩定理将刚体的旋转与外力系统的主力矩联系起来。 因此：在动力学中，必须选择质心为基点，才能得到刚体平面运动的微分方程。 复习：刚体平面运动章节中，刚体平面运动分解为沿基点的平移和相对基点的旋转。 刚体的运动可以完全用基点的运动方程和绕基点的旋转方程来描述。 在运动学中，基点是任意选择的。
O xy y' x' F1 F2 Fi Fn φ DC ω 选择质心 C 为基点，建立平移坐标系 Cx'y'。 CD 与 x 轴之间的角度为 φ。 刚体的运动分解为平动和与质心C的相对运动。质心C的旋转。刚体相对于质心C的动量矩为LC=JCω。 假设刚体上的力如图所示。 根据质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，有刚体平面运动的微分方程、矢量方程、代数方程和刚体平面运动微分方程的投影。 注：求解时，常常需要建立质心速度或加速度与绕质心旋转的角速度或角加速度之间的关系。 例16 均质圆柱体的质量为m，半径为r，从静止开始沿倾斜角为φ的固定斜面。 要滚动而不滑动，斜面与圆柱体之间的静摩擦系数为fs。 求圆柱体质心C的加速度以及保证圆柱体滚动而不滑动的条件。 xy OCA FN F mg α φ aC 平移 纯滚动 连续滚动和滑动 2. 粒子系统动量守恒定律 粒子系统动量矩相对于不动点守恒： If = 常数向量 If =常数 粒子系统相对于定轴的动量矩守恒：即：当外力作用于某一固定点的主矩为零时，粒子系统在该点的动量矩保持不变不变。 即：当某一固定轴上的外力力矩代数和等于0时，粒子系统在该轴上的动量矩保持不变。 O 粒子系统绕轴 O 的动量矩守恒且等于 0。
mAg mBg FO vA vB 即：两只猴子的绝对速度永远相等，游戏中没有赢家！ 动量矩定理的应用是建立运动微分方程或求已知外力矩的运动； 求已知运动的力或力矩； 粒子系统的动量矩守恒。 解决方案：以系统为研究对象。 例1：均质圆轮的半径为R，质量为m，圆轮绕旋转轴的转动惯量为JO。 圆轮在重物P的带动下绕固定轴O旋转。已知重物的重量为W。求：重物下落的加速度。 OPW v ? mg FOx FOy 动量矩定理的应用 例2 两个滚筒固定在一起动量矩定理的应用，其总质量为m，绕水平轴O的转动惯量为JO； 鼓的半径为r1和r2。 绳子两端悬挂的重物A和B的质量分别为m1和m2（图a），并且m1>m2。 求滚筒的角加速度。 OAB r1 r2 (a) 以滚筒、重物A、B和绳索为研究对象。 解决方案： v1 ? α v2 m1g B m2g 系统的动量矩由三部分组成，相当于考虑 v1 = r1 ? , v2 = r2 ? ，则外力主力矩仅由重力m1g和m2g产生。 如果是，我们可以得到 滚筒的角加速度方向为逆时针方向。 将动量矩定理应用到系统中，我们有 A (b) y r1 r2 O m0g F0 ω 示例 3：水平圆盘的重量为 P，半径为 R。它可以绕 z 轴旋转。 乌龟的重量为Q。根据S=at2/2的定律沿着板的边缘行走。
若初始时圆盘的角速度为ωo，求任意时刻t时圆盘的角速度和角加速度。 解：研究圆盘和海龟系统，受力分析如图所示。 ∵ ΣMz(F(e)) = 0 ∴ 系统相对于 z 轴的动量矩守恒。 ∵ 在初始时刻，乌龟相对于圆盘的速度为零，它只是随圆盘绕 z 轴旋转。 ∴系统相对于z轴的动量矩即Lz=常数！ zyx AB FBx FBy ω0 PQS FAy FAx FAz zyx AB α S ω ve vr 假设瞬时 t，圆盘的角速度为 ω，角加速度为 α，乌龟相对于圆盘的速度为绝对速度为 ∴ ，则系统相对于z轴的动量矩为 由Lzo=Lz，可推导上式，推导出例4。水流通过固定导叶进入叶轮。 入口和出口处的流速分别为v1和v2。 它们与叶轮外周切线和内周切线的夹角分别为θ1和θ2，水的体积流量为qV，密度为θ，叶轮进、出口处的半径为r1和r2分别为，叶轮水平放置。 求：水流作用在叶轮上的驱动力矩。 重力——由于涡轮机水平放置，O轴上的重心等于0； 邻近水流的压力-被忽略； 叶轮的反作用力矩——等于水流作用在叶轮上的驱动力矩，但方向相反。 abcd 解：在 dt 时间间隔内，当水流 ABCD 截面的水流运动到 abcd 时，其所受到的力及其绕 O 轴的力矩： abcd 应用动量矩定理 Mz 例 5 的质量两个小球为m，初始角速度。
求：剪断绳子后，角度是多少？ 起、时、解：时、例6 高炉内运输矿石所用的绞车如图所示。 已知滚筒的半径为R，质量为m1，滚筒绕O轴旋转。 台车和矿石的总质量为m2。 作用在滚筒上的力偶力矩为M，滚筒相对于转轴的转动惯量为J，轨道的倾斜角度为θ。 假设忽略绳子的质量和各处的摩擦力，求小车的加速度a。 θ OM ω W1 v W2 FN 将小车和滚筒组成一个粒子系统，将小车视为一个粒子。 以顺时针为正，该粒子系统相对于 O 轴的动量矩为 θ OM ω W1 FOx FOy v W2 W2N W2t FN 解：且 W2t = P2 sin θ =m2g sin θ ，则系统相对于O轴的外力为W1，FOx、FOy在O轴上的力矩为零。 将W2沿轨道及其垂直方向分解为W2t和W2N，W2N抵消FN。 根据粒子系统相对于O轴的动量矩定理，有一个原因， ，所以如果求得解，那么小车的加速度将沿着斜坡向上。 §11-3 刚体绕定轴旋转的微分方程 vi ri mi F1 F2 Fn Fi yxz ？ FN1 FN2 Lz=Jzω 根据轴承约束力，绕 z 轴的力矩为零，因此得出刚体绕固定轴的转动惯量等于 角加速度的乘积等于作用在刚体上的主动力绕轴的力矩的代数和。
假设刚体上作用有主动力F1、F2、...Fn，并承受约束力FN1、FN2。 这些力都是外力，它们使刚体绕z轴以角速度ω旋转。 设刚体相对于z轴的转动惯量为Jz，则刚体相对于z轴的动量矩为： 这三个方程都称为刚体的旋转微分方程绕固定轴。 (1)主力作用于刚体在旋转轴上的力矩改变了刚体的旋转状态； 讨论： (2) 若作用在刚体上的主力在旋转轴上的力矩代数和为零，则刚体匀速旋转； 如果主力作用在刚体上，则旋转轴力矩的代数和为零。 如果绕旋转轴的力矩恒定，则刚体匀速旋转； (3) 刚体转动惯量的大小表明了改变刚体转动状态的难度。 惯性矩是刚体旋转时惯性的量度。 这三个方程都称为刚体绕定轴的旋转微分方程。 解决两类问题： ? 给定作用在刚体上的外力矩，求刚体的旋转规律。 ？ 给定刚体的旋转规律，求作用在刚体上的外力（力矩）。 然而，轴承处的约束力无法获得，必须使用质心运动定理来求解。 C 毫克 O ? 解：以单摆为研究对象例7 已知：m，a，JO。 求：微小振荡的周期。 钟摆作小幅摆动，如下所示： 该方程的通解是周期。 例8 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，驱动滑轮的皮带的拉力为F1和F2。 求滑轮的角加速度α。 R α O F1 F2 根据刚体绕定轴旋转的微分方程，由上式可知，只有当定滑轮匀速旋转（包括静止）或不匀速旋转时，速度均匀，但皮带轮的转动惯量可以忽略不计，定皮带轮的皮带张力相等。
解：例9 飞轮副O的转动惯量为JO，绕水平轴O以角速度ωO旋转，如图所示。 制动时，制动块向车轮施加正压力FN。 已知制动块与车轮之间的滑动摩擦系数为f，车轮半径为R，忽略轴承的摩擦。 求制动所需的时间t。 O ωO F FN FOx FOy W 以车轮为研究对象。 作用在车轮上的力除FN外，还包括摩擦力F、重力、轴承结合力等。 以逆时针方向为正，刚体转动微分方程对上式进行积分，根据已知条件确定积分的上下限，得到解： 例10 传动轴为如图所示。 假设轴 I 和 II 的转动惯量分别为 J1 和 J2，传动比 R1 和 R2 分别为车轮 I 和 II 的半径。 现在，主动力矩 M1 作用在轴 I 上，阻力力矩 M2 作用在轴 II 上。 转向如图所示。 假设忽略各处摩擦，求I轴的角加速度。 Ⅱ Ⅰ M1 M2 分别以Ⅰ、Ⅱ轴为研究对象，其受力情况如图所示。 因此，可得 Ⅱ Ⅰ M1 M2 M1 α1 R1 F' F'N M2 α2 R2 FN F 解：两轴绕轴线旋转的微分方程如例11所示。 减速齿轮系简化图绞车的结构如图所示。 假设I轴齿轮C受主力偶力矩M作用，滚筒起升重量为W=mg。 I轴和II轴连同安装在轴上的旋转部件（包括齿轮和滚筒等）的转动惯量分别为J1和J2。 齿轮A和B的节圆半径为r1和r2，卷筒半径为R，不包括轴承摩擦和钢丝绳质量。
求重物的加速度。 r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW 选择轴Ⅰ和齿轮A、C为研究对象，应用刚体定轴旋转微分方程选择轴Ⅱ、齿轮、滚筒和重物W为研究对象，应用粒子系统至轴Ⅱ动量矩定理 (a) (b) 当齿轮A、B啮合时，速比 ω1 α1 α1 ω1 MM ω2 ω2 α2 α2 BACBA r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW FtA FnB FtB FnA aavv 解：卷筒角度速度ω2与重量上升速度v之间，相对于时间t的导数为(d)。 求解上式，可得到对时间 t 的导数 (c) ω1 α1 α1 ω1 MM ω2 ω2 α2 α2 BACBA r1 r2 RC Ⅰ Ⅱ J2 J1 WW FtA FnB FtB FnA aavv OC 例 12 已知：m，R。求： O 是结合力。 解：以圆轮为研究对象？ mg FOy FOx 解：根据质心运动定理 例13 半径为R、质量为m0的圆柱形自转卫星绕对称轴旋转，无外力矩。 两颗质量各为 m 的卫星，每个粒子沿径向对称向外延伸，距旋转轴的距离 x 不断增大，如图所示。
忽略连接卫星和粒子的变长杆的质量，假设粒子离开卫星表面时卫星的初始角速度为ω0。 试计算卫星自转角速度ω的变化规律。 设 m0 R ω xx 为转动惯量的初始值。 根据动量矩守恒定律，卫星相对于自转轴的转动惯量Jz的解可写为： 自转卫星的角速度ω随着质点的伸长而不断减小。 m0 R ω xx §11-5 粒子系统相对于质心的动量矩定理。 对于与质心平行的运动，质心运动定理已在动量定理一章中讨论过。 为了讨论粒子系统相对于质心的旋转，我们首先要研究粒子系统相对于质心的动量矩。 一般情况下，在研究粒子系统动力学时，通常会建立以质心C为原点的平移坐标系Cx'y'z'，将粒子系统的运动分解为平移系统Cx 'y'z 与质心。 相对运动系统Cx'y'z'的平移和旋转，或者简称为以质心平移和绕质心旋转。 x' z' y' xozy rC CCC ri ri' vi C mi 粒子系统相对于不动点 O 的动量矩是相对于粒子点 mi 而言，ri = rC + ri' 结论：动量矩粒子系统相对于任意固定点的动量矩等于粒子系统相对于质心的动量矩 粒子系统（位于质心处）的相对动量矩与动量矩的矢量和）在固定点。 1、质点系相对于质心C的动量矩x'z'y'mi vi相对于质心C的动量矩为： 图中动量矩定理的应用，杆的长度为l ，质量为m，均质圆盘的半径为R，质量为m，圆心为A点。
已知杆 OA 绕 O 轴以角速度 ? 旋转，试求以下情况下圆盘相对于固定点 O 的动量矩： (1) 圆盘固定在 OA 杆上。 (2) 圆盘相对于杆绕轴 A 以角速度 –? 旋转。 (3) 圆盘绕轴A相对于杆以角速度δ旋转。 (4) 圆盘绕A轴以绝对角速度旋转？ (5) 圆盘绕A轴以绝对角速度-?旋转。 奥？ 粒子-粒子系统的动量定理：动量的变化—
