15-1 碰撞问题的基本假设采用准刚体模型，即物体仍然被视为刚体，但在碰撞点处可以在很小的范围内变形。 碰撞过程分为两个阶段：变形阶段和恢复阶段。 碰撞过程很短，因此物体的位移可以忽略不计； 即碰撞前后物体的位置保持不变。 另外，只会研究碰撞前后物体运动（速度、能量等）的变化，不会研究碰撞过程中力变化的细节。 因此，将采用各种一般定理的积分形式（有限形式），并且碰撞力仅考虑碰撞力的累积效应——碰撞冲量。 15-2 碰撞过程的基本定理，质量系统动量定理（也称为冲量定理）（15-1）的积分形式，分别是粒子 i 在时间 t2 和 t1 时的速度，并且是作用在粒子 i 上的外力。 字面表达为：t2和t1时质量系统动量的变化等于同一时间间隔内作用在质量系统上的外部碰撞冲量的主矢量，可以写成中心的形式质量运动定理 (15-2) 质量系统动量矩定理 (冲矩定理) (15-3) 的积分形式是分别在时间 t2 和 t1 时质量系统相对于 O 点的动量矩，并且为质点 i 的矢量半径。 根据前面的假设，在碰撞过程中它是不变的。 字面表达为：t2和t1时质量系统在O点的动量矩的变化等于同一时间间隔内外部碰撞冲量作用于质量系统上同一点的主力矩。 可以在固定点O（15-4）处取力矩中心，以在刚体上进行平面运动。 碰撞会导致物体变形、发出声音、发热，甚至发光。 因此，碰撞过程中会损失机械能，很难计算力的功。
因此，碰撞时动能定理一般不方便应用； 但在某些特殊情况下，也可以推导出动能损失的公式。 碰撞过程除了受动力学定律的制约外，还与材料的变形恢复性能密切相关。 因此，解决碰撞问题，除了动力学方程外，还需要补充与材料变形恢复性能相关的物理条件。 15-3 两球的碰撞恢复系数 两球的向前碰撞 两球的速度在两球中心连线上的碰撞称为向前碰撞。 图15-1（a）展示了两个球的碰撞过程，图15-1（b）展示了两个球在变形阶段和恢复阶段的受力图（碰撞问题中使用冲量代替力） 。 列出两个球的动力学方程。 变形段： (15-4)恢复段：分别是变形段和恢复段中两个球之间的碰撞冲量。 动力学方程(15-4)和(15-5)中有两个。 5 个未知量：一个方程； 身体条件必须补充。 实验表明，变形阶段和恢复阶段的碰撞冲量之比仅与两球的材料有关。 恢复系数e的值由下式定义并通过实验测量。 方程组(15-4)、(15-5)和(15-6)共有5个方程和5个未知数。 方程组是封闭的，可以求解 (15-7) 关于恢复系数的讨论 恢复系数代表了材料变形的恢复性能，各种常见材料的恢复系数见表15-1。 表15-1 各种材料的恢复系数 碰撞物体的材料 象牙色 象牙色 玻璃 玻璃的恢复系数为0.140.260.500.560.890.94。 理想情况下，可以存在，即材料变形根本无法恢复，称为塑性碰撞（如粘土）。
这时，两个球碰撞并粘在一起。 在理想情况下，也有可能发生材料变形能够完全恢复的碰撞，称为完全弹性碰撞。 此时，两球碰撞后的速度可由式（15-7）求得。 将式(15-7)最后两个方程相减，可得(15-8)。 该方程通常称为牛顿碰撞公式。 它有明确的物理意义。 恢复系数等于碰撞后两球的分离速度与碰撞前两球的接近速度之比。 可以证明，在物体间单点碰撞的情况下，式(15-6)和式(15-8)是等价的。 因此，式（15-8）也可以作为回收系数的定义。 对于球与固定表面碰撞的情况，可利用式（15-7）求得碰撞后球的速度。 由此动量矩定理的积分形式，可以推导出恢复系数的实验测定方法。 球在h1高度处开始从静止处自由下落，击中固定面后弹回。 弹跳的高度为h2，所以(15-9)分别表示碰撞过程开始和结束时粒子系统的动能，则有(15-10)，即塑性碰撞时，系统的动能损失为 (15-11) 如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止状态，即有 (15-12) 锻造金属属于 在这种情况下，当锻锤也就是说，锻件和砧座是理想的，系统的碰撞动能损失尽可能大，从而转化为锻件的变形能很大。 为此目的而选择打桩时也是如此。 但我们希望碰撞后桩应获得最大的动能，使桩能够克服土体的阻力向前移动动量矩定理的积分形式，即碰撞过程中系统的动能损失应尽可能小尽可能。
为此，应选择两个球的斜向碰撞。 当球中心的速度不在球中心连线上时，两个球就会倾斜碰撞。 这时，两个球的中心会在二维平面内移动（球是光滑的，所以不会出现转动）。 建立Oxy球中心运动分解坐标系（图15-5）。 沿x轴，碰撞前后两个球的动量守恒； 沿轴线，通过两球向前碰撞法即可求出两球的速度。 此时，恢复系数公式(15-8)应修改为： (15-13) 分别为碰撞前后两球沿接触公共法线方向的相对接近速度和相对分离速度观点。 例15-1 小球与固定面平滑倾斜地碰撞。 碰撞开始时的速度为 ，入射角为 ，恢复系数为 。 求碰撞结束时球的速度及其对实际材料的反射角。 因此，存在，即球的反射角总是大于入射角。 工程中，常从大量钢球（如滚球）中筛选出具有相同弹性的钢球，即采用使钢球垂直落到斜面上的方法，选出合格的钢球。球反弹到容器中。 15-4 刚体碰撞中心 研究刚体碰撞问题时，除采用刚体动力学方程的积分形式外，还应补充物理条件（15-13）。 但这里应该理解的是，碰撞刚体上的两个接触点在共同法线方向上处于相对接近速度和相对分离速度。 例15-2与光滑地面形成一个角度，以平行于杆本身的速度v撞击地面； 假设碰撞是完全弹性的，求碰撞后杆的运动。 解：杆在平面内运动。 请参见图 15-8。 杆的动力学方程为：54.7，有。 碰撞后球杆中心的垂直速度分量保持向下。
例15-3 刚体绕O轴旋转。 刚体的质量为轴的转动惯量，角速度为 。 在某一时刻已知冲量的作用下，求碰撞后的角速度和碰撞时轴承O的后碰撞冲量。 各部分尺寸如图15-9(a)所示。 解：应用定轴旋转动力学方程时，冲量垂直于连接轴O与质心C的直线OC。若其作用点K的位置也满足(15-14)，即外部碰撞冲击力不会引起支架的后碰撞。 冲动。 K点称为冲击中心（图15-9（b））。 显然，该位置也是刚体使复摆绕轴摆动时的摆中心。 图 15-10 显示了一根长的均质杆，它从水平位置绕旋转轴落下并弹回固定支架。 为了使轴承处不产生碰撞冲量，支撑件应安装在杆的冲击中心位置，即注意，在前面所有的分析中，重力是非碰撞力，可以忽略不计。 例15-4 两根均质棒具有相同的质量和长度。 它们通过光滑的铰链连接。 在冲量的作用下，两杆作固定轴，杆作平面运动。 补充方程（约束）。 上述4个方程共有4个。 未知数、方程组是封闭的并且可以求解。 讨论：在牛顿-欧拉方法中，可以将刚体系统分解为单独的刚体进行处理。 如果只需要碰撞后系统的运动，这种方法就比较麻烦，因为还涉及到系统内部的碰撞冲量。 采用下面的分析力学方法，将系统视为一个整体，可以避免内部碰撞冲量的出现，直接获得碰撞后的运动。
